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衡阳市八中 2024 届高三第五次月考
数学试卷
总分：150分 考试时间：120分钟；
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题意的.
1. 如图，在复平面内，复数z，z 对应的向量分别是 ，则|z＋z|＝( )
1 2 1 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
2. 函数 的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.3. 已知圆 为 的外接圆， ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
4. 直线 、 是异面直线， 、 是平面，若 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 至少与 、 中的一条相交 B. 至多与 、 中的一条相交
C. 与 、 都相交 D. 与 、 都不相交
5. 已知函数 的图象经过坐标原点，则曲线 在点 处的切线方程
是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数 的导函数为 ， ，且 在R上为严格增函数，关于下列两
个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“ ”是“ ”的充要条件；
②“对任意 都有 ”是“ 在R上为严格增函数”的充要条件．
A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题
7. 已知 是定义在 上的单调函数，满足 ，且 .若
，则 与 的关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 数列 是递增数列 D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 单位向量 与 的夹角为锐角，则 的取值可能为（ ）
.
A B. C. D.
10. 中，内角A，B的对边分别为a，b，则下列能成为“ ”的充要条件的有（ ）
A. B. C. D.
11. 若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正
确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 在区间 上单调递减
C. 是函数 图象的一个对称轴 D. 的图象关于点 对称
12. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个 的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），
甲、乙两人分别从 ， 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ，
为止，下列说法正确的是（ ）A. 甲从 必须经过 到达 的方法数共有9种
B. 甲从 到 的方法数共有180种
C. 甲、乙两人在 处相遇的概率为
D. 甲、乙两人相遇的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 二项式 的展开式的中间项系数为 _____．
14. 记函数 在 处的导数为 ，则 ________．
15. 设 是椭圆 的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上一个动点，且
的取值范围为 ，则椭C的长轴长为______．
16. 已知 是单位向量，向量 满足 ，且 ，其中 ，且
．则下列结论中，正确结论的序号是___________．
① ；
② ；
③存在x，y，使得 ；
④当 取最小值时， ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值.
18. 已知数列 的前 项和为 ， ，等比数列 的公比为 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前10项和．
19. 某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向 ， 两个目标投掷，
先向目标 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标 连续掷两次，每套中一次得2分，没套
中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标 的概率为 ，套中目标 的概率
为 ，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为 ．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求 的分布列及数学期望．
20. 如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 且
．
（1）证明： 平面 .
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．21. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 的最小值为1.
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线与 相交于 ， 两点，过点 的直线与 相交于 ， 两点，且 ，
不重合，判断直线 是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
.
22 设 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取
值范围.衡阳市八中 2024 届高三第五次月考
数学试卷
总分：150分 考试时间：120分钟；
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题意的.
1. 如图，在复平面内，复数z，z 对应的向量分别是 ，则|z＋z|＝( )
1 2 1 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】由题图可知，z＝－2－i，z＝i，则z＋z＝－2，∴|z＋z|＝2，故选A.
1 2 1 2 1 2
2. 函数 部的分图像大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求解函数的定义域，且 ，故函数为偶函数，排除BC；
再求出 ，排除D，选出正确答案.
【详解】 定义域为R，且 ，
故 为偶函数，所以排除选项B和选项C；
又 ，排除D.
故选：A．
3. 已知圆 为 的外接圆， ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.
【详解】如图，圆 的直径为 ，
故 ， ，
故 .故选：B.
4. 直线 、 是异面直线， 、 是平面，若 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 至少与 、 中的一条相交 B. 至多与 、 中的一条相交
C. 与 、 都相交 D. 与 、 都不相交
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可知， 共面于 ， 共面于 .利用空间两条直线的位置关系，对选项举出反例进
行排除，由此得出正确选项.
【详解】解：由直线 、 是异面直线， 、 是平面，若 ， ， ，知：对于 选
项， 可以与 、 都相交，交点为不同点即可，故 选项不正确；对于 选项， ， ，满
足题意，故 选项不正确；对于 选项， 与 、 都不相交，则 与 、 都平行，所以 ， 平行，与
异面矛盾，故 选项不正确；对于 选项，由 ， 、 是错误的，可知 正确.由于 共面， 共
面，若 与 都平行，根据平行公理可知 平行，这与已知 异面矛盾，故 选项正确.故本小题选
.
【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，包括平行、相交、异面和平行公理的考查，属于基础题.
5. 已知函数 的图象经过坐标原点，则曲线 在点 处的切线方程
是（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由曲线过原点求 ，根据导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为函数 的图象经过坐标原点，
所以 ，所以 ，
所以
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以所求切线方程为 ，
即 ．
故选：A.
6. 已知函数 的导函数为 ， ，且 在R上为严格增函数，关于下列两
个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“ ”是“ ”的充要条件；
②“对任意 都有 ”是“ 在R上为严格增函数”的充要条件．
A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 对 于 ① ， 构 造 函 数 ， 结 合 题 设 ， 判 断 “ ” 和 “
”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，
判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.【详解】对于①：
设 ， ，则 ，
因为 在R上为严格增函数，故 ，
即 ，则 在R上单调递增，
由于 ，故 ，即 。
即 ；
当 成立时，即 ，
由于 在R上单调递增，故 ，
故“ ”是“ ”的充要条件，①为真命题；
对于②，当 在R上为严格增函数时，由对任意 ，则都有 成立；
当对任意 都有 时，假设 在R上不为严格增函数，
即 不恒大于等于0，即 ，使得 ，
由于 在R上为严格增函数，故 时， ，
此时 在 上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，
故当 趋近于负无穷时， 的值将趋近于正无穷大，
这与对任意 都有 矛盾，
则假设不成立，即“ 在R上为严格增函数”成立，
即“对任意 都有 ”是“ 在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说
明充分性成立.7. 已知 是定义在 上的单调函数，满足 ，且 .若
，则 与 的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 可求 的值，结合 在 上的单调且 即可知
为单调增函数，结合 即可得 的唯一值，进而得到 与 的关系
【详解】由 ，若令 ，则 ，即 或
∵ 是定义在 上的单调函数，而 ，知： ( 为常数)
∴ ，即 在 上为单调增函数
∵
∴ ，故 ，即有
故选：A
【点睛】本题考查了函数的单调性，利用函数单调性判断参数的大小关系，进而确定参数所构成对数的值，
从而得到参数间的等量关系
8. 已知函数 ，将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，对于
，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.C. 数列 是递增数列 D.
【答案】D
【解析】
【分析】 的极值点为 的变号零点，即为函数 与函数 图像在 交点的
横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC选项，由图
像可判断选项；D选项，注意到 ，由图像可得 单调性，后可判断
选项.
【详解】解： 的极值点为 在 上的变号零点.
即为函数 与函数 图像在 交点的横坐标.
又注意到 时， ， 时， ，
， 时， .
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A 选 项 ， 注 意 到 时 ， ， ，
.
结合图像可知当 ， .当 ， .故A错误；
B选项，由图像可知 ，则 ，故B错误；
C选项， 表示两点 与 间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即 为递减数列，故C错误；
D选项，由A选项分析可知， ，
又结合图像可知，当 时， ，即此时 ，
得 在 上单调递增，
则 ，故D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画
在同一坐标系下，利用图像解决问题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 单位向量 与 的夹角为锐角，则 的取值可能为（ ）A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令 与 的夹角为 ，则 ，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围.
【详解】由题知，令 与 的夹角为 ，则 ，
，
所以 ， ，
故选：BC
10. 中，内角A，B的对边分别为a，b，则下列能成为“ ”的充要条件的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
的
【分析】根据正弦定理判断A，利用余弦函数性质判断B，结合余弦 二倍角公式判断C，举反例判断
D．
【详解】由正弦定理 ，A是充要条件，由余弦函数的性质，三角形内角都在 上，B也
是充要条件，
中， ， ，即 ，
C是充要条件，
，满足 ，但 ， ， ，D不是充要条件．
故选：ABC．
11. 若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 在区间 上单调递减
C. 是函数 图象的一个对称轴 D. 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题可得 ，再利用余弦函数的性质即可判断.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象.
对于A， 的周期为 ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，从而
即 时， 单调递减，故B不正确；
对于C， ，
所以 是函数 图象的一个对称轴，故C正确；
对于D， ，
所以 的图象关于点 对称，故D正确．
故选：ACD.12. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个 的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），
甲、乙两人分别从 ， 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ，
为止，下列说法正确的是（ ）
A. 甲从 必须经过 到达 的方法数共有9种
B. 甲从 到 的方法数共有180种
C. 甲、乙两人在 处相遇的概率为
D. 甲、乙两人相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点 到点 ，一共要走6步，
其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可
判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．
【详解】对于A，从点 到点 ，需要向上走2步，向前走1步，
从点 到点 ，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从 必须经过 到达 的方法数为 种，A正确；
对于B,从点 到点 ，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从 到 的方法数为 种，B错误；
对于C，甲从点 运动到点 ，需要向上、前、右各走一步，
再从点 运动到点 ，也需要向上、前、右各走一步，所以，甲从点 运动到点 ，且经过点 ，不同的走法种数为 种，
乙从点 运动到点 ，且经过点 ，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在 处相遇的概率为 ，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点 、 、 、 、 、 、 ，
甲从点 运动到点 ，需要向上走2步，向前走1步，再从点 运动到点 ，需要向前走1步，向右走2
步，
所以甲从点 运动到点 且经过点 的走法种数为 ，
所以甲、乙两人在点 处相遇的走法种数为 ，
同理可知，甲、乙两人在点 、 、 、 、 处相遇的走法种数都为 ，
因此，甲、乙两人相遇的概率为 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从 到 的路线转变为六步，其中每一
条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由
此得到的组合数可表示对应路线的方法数．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 二项式 的展开式的中间项系数为 _____．
【答案】20
【解析】
【分析】先确定展开式的项数，进而找到中间项求系数即可.【详解】二项式 的展开式共有7项，第四项为中间项，系数为 .
故答案为20.
【点睛】本题主要考查了二项式的展开，属于基础题.
14. 记函数 在 处的导数为 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】求导后可得 ，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】 ， ，即 ，
.
故答案为： .
15. 设 是椭圆 的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上一个动点，且
的取值范围为 ，则椭C的长轴长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，结合椭圆的范围求得 ，再列式计算
即得.
【详解】椭圆 的半焦距为c， 为 的中点，
，显然 ，于是 ，因此 ，即 ，解得 ， ，即 ，
所以椭圆C的长轴长为 .
故答案为：
16. 已知 是单位向量，向量 满足 ，且 ，其中 ，且
．则下列结论中，正确结论的序号是___________．
① ；
② ；
③存在x，y，使得 ；
④当 取最小值时， ．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由 结合数量积运算得 ；又由 ，求得 ，
进而得 ；结合基本不等式求得 ；进而得到
，同时平方即得 .
【详解】由 可得 ，即 ，①正确；
又 且 ，则 ，即 ，所以 ，又 ，则 ，同理 ，
则 ，即 ，②错误；
由 知 至少一正，若 一正一负，则 ，显然不满足 ，
故 均为正，则 ，当且仅当 时等号成立，则
，
当且仅当 时等号成立，则存在x，y，使得 ，③正确；
当 取最小值2时， ，由 可得 ，则 ，
即 ，则 ，④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】本题关键点在于由 结合 得到 ， 进
而得 ，再结合基本不等式求得 ，最后由 平方即可求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】17. ；
18.【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及两角差的余弦公式进行化简求解；（2）由余弦定理得 ，由正弦
定理得 ，即得 的值.
【小问1详解】
因为 ，根据正弦定理可得
在 中， ，所以有 ，
则有 ，即 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
.
根据余弦定理， ，所以
根据正弦定理， ，则有 ，
所以 .
18. 已知数列 的前 项和为 ， ，等比数列 的公比为 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前10项和．
【答案】（1） ，
（2）【解析】
【分析】（1）当 时求出 ，可得 通项与 ，由 求数列 的通项公式；
（2）利用分组求和法求数列 的前10项和.
【小问1详解】
当 时， ， ， ，
等比数列 的公比为 ，则有 ，
由 ，可得 ．
当 时， ．
经检验，当 时， 满足上式，
所以 ．
【小问2详解】
，
设 的前10项和为 ，
．
19. 某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向 ， 两个目标投掷，
先向目标 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标 连续掷两次，每套中一次得2分，没套
中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标 的概率为 ，套中目标 的概率为 ，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为 ．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求 的分布列及数学期望．
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】（1）分类讨论及利用概率乘法公式计算即可；
（2）利用随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【小问1详解】
记“小明恰好套中2次”为事件A，
分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；
则： ，
小明恰好套中2次的概率为 ；
【小问2详解】
由题意可得： 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
， ，
， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4 5所以 .
20. 如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 且
．
（1）证明： 平面 .
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，利用面面垂直、线面垂直，以及线段长度求证线面垂直即
可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，进而求出其夹角大小即可.
【小问1详解】取 中点 ，连接
都是边长为2的正三角形，
， ，
又 ， 面 ， 面 ，
面 ，
又平面 平面 ，
面 且
又 面 且
， ， ，
是正方形，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面
【小问2详解】
由（1）知 两两垂直，如图建立空间直角坐标系
由于 轴垂直面
∴平面 的法向量为又 ， ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，则 ， ，所以
∴平面 与平面 的夹角为
21. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 的最小值为1.
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线与 相交于 ， 两点，过点 的直线与 相交于 ， 两点，且 ，
不重合，判断直线 是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【答案】21.
22. 过定点，定点为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点，确定 的最小值即可得 ，从而得抛物线方程；
（2）根据直线的斜率公式结合点共线得到A、C纵坐标的关系，点斜式得到直线 ，从而确定定点.
【小问1详解】
由题意可设 ，则所以
则 的最小值为 ，则 ，得 .
所以 的方程为 .
【小问2详解】
因为A，C不重合，所以直线 ， ， 的斜率必然存在.
设 ， ， .
直线 的斜率 ，
得 .
直线 的斜率 .
得 .
由 ，可得 .直线 的斜率 .
所以直线 的方程 .
故直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键是利用三点共线得到A、C纵坐标的关系，再结合点斜式方程
写出直线AC的方程可得解.
22. 设 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取
值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求定义域，再求导，对导函数因式分解，分 ， ， 三种情况，求出单调
性；
（2）不等式转化为 ，构造 ，求导得到其单调性，得
到 当且仅当 时等号成立，并且存在 ，满足 ，故当
时，满足要求，当 时，不合要求，得到答案.
【小问1详解】
函数的定义域为 ，求导得 ，① ，令 ，得 ；令 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减
② ，令 得 ， ，
当 时， ，当 或 时， ；当 时， ，
则 在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 时， 恒成立，故 在 单调递增；
当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，
则 在 ， 单调递增，在 单调递减.
综上，当 时， ， 单调递增，在 单调递减；
在
当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问2详解】
将 代入 中，
，化简得 ，不等式两边同减去 得， ，
可化为 ，
令 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，从而 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，当且仅当 时等号成立，
令 ， ，
故当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
， ， ，
故存在 ，满足 ，
当 时， ， ，可得原不等式成立；
当 时，由于存在 ，满足 ，
从而使得 ，
而 ，于是 不恒成立.
综上，实数a的取值范围是 .
【点睛】难点点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，
本题难点是 两边同减去 得 ，从而构造进行求解.
