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2023-2024 学年度第一学期教学质量检查
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 已知复数 ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，若这 个数据的极差是它们中位数的 倍，则这 个数据
的第 百分位数是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数 的图象不可能是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
5. 在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点
A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．
已知每个直三棱柱的体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，则该正四棱台的体积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选
项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 已知函数 ， ， 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 对称轴相同 B. 与 周期相同
C. 的最大值是 D. 不可能是奇函数
10. 已知圆 ： ，圆 ： ，P，Q分别是 ， 上的动点，则下列结论
正确的是（ ）
A. 当 时，四边形 的面积可能为7
B. 当 时，四边形 的面积可能为8
C. 当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为
D. 当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为4
11. 已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ．若 是
的对称轴，且 ，则下列结论正确的是（ ）
的
A. 是奇函数 B. 是 对称中心
C. 2是 的周期 D.
12. 如图几何体是由正方形 沿直线 旋转 得到的，已知点 是圆弧 的中点，点 是圆弧
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学科网（北京）股份有限公司上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点 ，使得 平面
B. 不存在点 ，使得平面 平面
C. 存在点 ，使得直线 与平面 所的成角的余弦值为
D. 不存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 双曲线C： （ ， ）的渐近线方程为 ，则其离心率 ______________．
14. 已知向量 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是
______________．
15. 用试剂 检验并诊断疾病 ， 表示被检验者患疾病 ， 表示判断被检验者患疾病 ．用试剂 检验
并诊断疾病 的结论有误差，已知 ， ，且人群中患疾病 的概率
．若有一人被此法诊断为患疾病 ，则此人确实患疾病 的概率 ______________．
16. 若函数 的图象关于 对称，则 __________， 的最小
值为______________．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区
域内，超出指定区域的答案无效．
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学科网（北京）股份有限公司17. 数列 的前n项积为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前2n项和 ．
的
18. 如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2 正方形， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，点E，F分别为PB，PD的中点，求点E到平面ACF的距离．
19. 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且D为 ABC外接圆劣弧 上一点，求 的取值范围．
△
20. 已知椭圆 ： （ ），连接C的四个顶点所得四边形的面积为 ，且离心率
为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过椭圆 的右焦点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 ， 两点，试问 轴上是否存在定点
，使得 的内心也在 轴上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B
种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A
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学科网（北京）股份有限公司种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中 ），记第i次试验中的A种数
目为随机变量 （ ）；③记随机变量 ，利用 的期望 和方差 进行
估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
（1）已知 ， ，证明： ，
；
（2）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 （ ），并计算了数据 （
）的平均值 和方差 ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据 ．
（ⅰ）请用 和 分别代替 和 ，估算 和 ；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求 的分布列中概率值最大的随机事件 对应的随机变量的取值．
22. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若方程 有 、 两个根，且 ，求实数 的值．
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