行测必备要点—数量关系_26吉林考备考资料包_04行测资料包（笔记图推导图等）_27数量关系必备要点

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第三部分 数量关系第三部分 数量关系 第一章 工程问题 核心公式 工作总量 工作效率 工作时间 １􀆰 ： ＝ × 基本公式型 给定效率差或和 ２􀆰 ： 方程法 设其中一个效率为 ， ｘ 给定时间型 给出不同主体完成工作所需的时间 问题也问工作时间 ３􀆰 ： ， 赋值法 赋值几个时间的公倍数为工作总量 ： 效率制约型 给出不同主体的效率间关系 相等 比例 倍数等 ４􀆰 ： （ 、 、 ） 赋值法 赋值最简比例 ： 轮流做工 求周期效率 总量 周期效率 分析余数 ５􀆰 ： ① ； ② ÷ ； ③ 双人双工程 计算相对效率 让弱者干擅长的 分析剩余量 ６􀆰 ： ① ； ② ； ③ ７１行测必备要点 第二章 溶液问题 公式 溶液 溶质 溶剂 １􀆰 ： ＝ ＋ 浓度 溶质 溶液 溶质 溶液 浓度 溶液 溶质 浓度 ＝ ÷ ； ＝ × ； ＝ ÷ 方法 方程法 赋值法 十字交叉法 混合时使用 ２􀆰 ： 、 、 （ ） 反复操作类 最终浓度 初始浓度 每次剩余比例 ３􀆰 ： ＝ × 加水稀释型 克溶液与 克水混合后浓度变为原来的 Ｍ ４􀆰 ： Ｍ Ｎ Ｍ＋Ｎ ７２第三部分 数量关系 第三章 经济利润问题 名词 成本 进价 定价 售价 利润 总利润 利润率 打折 １􀆰 ： （ ）、 （ ）、 、 、 、 公式 利润 售价 成本 ２􀆰 ： ＝ － 总利润 单利润 销量 总收入 总成本 ＝ × ＝ － 利润率 利润 成本 数量关系 利润 收入 资料分析 ＝ ÷ （ ） ＝ ÷ （ ） 售价 成本 利润率 ＝ × （１＋ ） 打折 售价 定价 折扣 不是利润 折扣 ： ＝ × （ × ） 题型 ３􀆰 ： 利润率折扣型 赋值法 方程法 列表分析法 （１） ： 、 、 分段计费型 分几段就分别算几次 加和即为总数 （２） ： ； 统筹优化型 （３） ： 比总价 比单价 比优惠 枚举比较 ； ； ： 函数最值分析 收入 利润 当 时 收入 利润有最 ： ／ ＝ （ａ＋ｘ） （ｂ－ｘ）， ａ＋ｘ＝ｂ－ｘ ， ／ 大值 ７３行测必备要点 第四章 行程问题 公式 路程 速度 时间 １􀆰 ： ＝ × 题型 基础行程问题 相遇追及问题 流水行船问题 ２􀆰 ： 、 、 方法 图示法 赋值法 方程法 比例法 ３􀆰 ： 、 、 、 比例法 路程一定 速度与时间成反比 ： ， 速度一定 路程与时间成正比 ， 时间一定 路程与速度成正比 ， 基础公式型 ４􀆰 ： 关于单位的考点 （１） ： １ｍ／ｓ＝３􀆰６ｋｍ／ｈ 火车过桥 隧道 问题 路程 桥 隧道 长 车长 （２） （ ） ： ＝ （ ） ＋ 平均速度 平均速度 总路程 总时间 （３） ： ＝ ÷ 等距离平均速度 － ２ｖ１ｖ２ （４） ： ｖ＝ ｖ１＋ｖ２ 题型标志 前半段 后半段 往返 上 下坡 ： ① 、 ； ② ； ③ 、 相遇追及问题 ５􀆰 相遇问题 运动方向相反 （１） ： 公式 ① ： Ｓ＝ （ｖ１＋ｖ２） ×ｔ 直线型多次相遇问题 ② ： 两端出发型 第 次相遇 共走 ： ｎ ， （２ｎ－１） Ｓ 同端出发型 第 次相遇 共走 ： ｎ ， ２ｎＳ 追及问题 运动方向相同 （２） ： 公式 ： Ｓ＝ （ｖ１－ｖ２） ×ｔ 环形相遇问题 （３） ： 环形 封闭轨道 ： ７４第三部分 数量关系 同点出发 ： 追及 每追上一次 多跑一圈 追上 次 多跑 圈 ： ， ； ｎ ， ｎ 相遇 每相遇一次 共走一圈 相遇 次 共走 圈 ： ， ； ｎ ， ｎ 流水行船问题 ６􀆰 ： 状态 顺流 逆流 静流 漂浮 （１） ： （ｖ船＋ｖ水）、 （ｖ船－ｖ水）、 （ｖ船）、 （ｖ水） 核心公式 顺流 （２） ： ： Ｓ＝ （ｖ船＋ｖ水） ×ｔ顺流 逆流 ： Ｓ＝ （ｖ船－ｖ水） ×ｔ逆流 ７５行测必备要点 第五章 排列组合问题 排列与组合 １􀆰 ： 排列 （１） （Ａ）： 有顺序 交换顺序影响结果 ① ： 标志词 安排 顺序 序列 ② ： 、 、 如何计算 ｍ ｍ ③Ａ ： Ｐｎ ＝Ａｎ ＝ｎ× （ｎ－１） ×……× （ｎ－ｍ＋１） þ ï ï ï ï ïï ý ï ï ï ï ï ï ü 连乘 个 ｍ 例如 ２ ： Ａ４＝４×３＝１２ 组合 （２） （Ｃ）： 无顺序 交换顺序不影响结果 ① ： 标志词 挑选 同样 ② ： 、 如何计算 ｍ ｎ－ｍ ｎ× （ｎ－１） ×……× （ｎ－ｍ＋１） ③Ｃ ： Ｃｎ ＝Ｃｎ ＝ ｍ× （ｍ－１） ×……×１ 例如 ２ ４×３ ： Ｃ４＝ ＝６ ２×１ 分类与分步 ２􀆰 ： 分步用乘法 不能独立完成整个事情 是分步 ： ， 分类用加法 能独立完成整个事情 是分类 ： ， 逆向思维 反向法解题 ３􀆰 ： 前提 正向种类太多 正向计算太麻烦 正向无法计算 ： ① ； ② ； ③ 符合要求的情况数 总数 不符合要求的 ＝ － 捆绑法 ４􀆰 ： 特征词 必须相连 必须相邻 不能分开 ： 、 、 解题方法 先捆绑有要求的元素 计算整体 再计算元素的内部 ： ， ； ７６第三部分 数量关系 插空法 ５􀆰 ： 特征词 不能相连 不能相邻 必须分开 ： 、 、 解题方法 先排列其他元素 再将不能相连的元素插入到已经排列好的元素 ： ； 中间 隔板法 ６􀆰 ： 将 个相同的东西分给 个人 时 每人至少分 个 有 ｍ－１种分法 ｎ ｍ ， ｎ≥ｍ ， １ ， Ｃｎ－１ 错位排列 ７􀆰 ： 有 个元素和 个相对应位置 每个元素都不在自己位置的放置情况为 Ｎ Ｎ ， ： Ｄ１＝ ０， Ｄ２＝１， Ｄ３＝２， Ｄ４＝９， Ｄ５＝４４…… 环形排列 ８􀆰 ： 个元素围成一圈 共有 ｎ－１种排列方式 ｎ ， Ａｎ－１ ７７行测必备要点 第六章 概率问题 核心公式 概率 满足条件的情况数 总情况数 １􀆰 ： Ｐ＝ ÷ 基础概率 概率 满足条件的情况数 总情况数 ２􀆰 ： Ｐ＝ ÷ 枚举概率 枚举法辅助求解概率问题 ３􀆰 ： 分步概率 分步用乘法 每步的概率相乘 ４􀆰 ： ， 分类概率 分类用加法 每类的概率相加 ５􀆰 ： ， 逆向概率 满足条件的概率 不满足条件的概率 ６􀆰 ： ＝１－ 比赛概率 ７􀆰 ： 比赛最后一局的胜者就是比赛的最终胜者 比赛概率是按照最终获胜比分进行分类的概率问题 ７８第三部分 数量关系 第七章 几何问题 角 锐角 直角 钝角 １􀆰 ： 、 、 边形内角和公式 外角和 ｎ ： （ｎ－２） ×１８０°； ： ３６０° 平面几何 ２􀆰 ： 三角形 （１） ： 周长 面积 １ Ｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ； Ｓ＝ ａｈ ２ 性质 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 ： ， 直角三角形 ① ： 勾股定理 斜边的平方 直角边的平方和 ： ＝ 常见两组勾股数 ： ①３、 ４、 ５； ②５、 １２、 １３ 中线定理 斜边中线 斜边的一半 ： ＝ 直角三角形边长比例关系 ３０°， ６０°， ９０° ： １： ３： ２ 直角三角形边长比例关系 ４５°， ４５°， ９０° ： １： １： ２ 等腰三角形 ② ： 底角 腰长相等 底边三线合一 、 ， 顶角为 的等腰三角形 其底边长度为腰长的 倍 １２０° ， ３ 等边三角形 正三角形 ③ （ ）： 等边 等角 三边均三线合一 ， ， 面积 ３ ２ Ｓ＝ ａ ４ 补充 ④ ： 两个三角形 底相同 则面积之比等于高之比 ， ， 两个三角形 高相同 则面积之比等于底之比 ， ， ７９行测必备要点 相似三角形 ⑤ ： 判定方法 两个角相等 三边对应成比例 ： ； 性质 周长之比 对应边长之比 相似比 面积之比 相似比的平方 ： ＝ ＝ ； ＝ 正方形 （２） ： ２ 周长 面积 ２ ｌ 为对角线 Ｃ＝４ａ， Ｓ＝ａ ＝ （ｌ ） ２ 性质 四边相等 四角都为直角 对角线相等 平分 垂直 ： ； ； 、 、 长方形 （３） ： 周长 面积 Ｃ＝２× （ａ＋ｂ）， Ｓ＝ａｂ 性质 对边相等 四角都为直角 对角线相等 平分 ： ； ； 、 圆形 （４） ： 圆周率 取 直径 半径 π ３􀆰１４， ｄ＝２× ｒ 周长 面积 ２ Ｃ＝２πｒ， Ｓ＝πｒ 性质 圆的直径所对应的圆周角为直角 ： 其他 （５） ： 梯形 面积 ａ＋ｂ ： Ｓ＝ ×ｈ ２ 平行四边形 面积 ： Ｓ＝ａｈ 菱形面积 ｌ１×ｌ２ 为对角线 ： Ｓ＝ａｈ＝ （ｌ ） ２ 扇形 面积 ｎ° ２ ： Ｓ＝ ×πｒ ３６０° 不规则图形 割 补 平移 （６） ： 、 、 立体几何 ３􀆰 ： 正方体 （１） ： 性质 个面 每个面相同 ： ６ ， 表面积 ２ 体积 ３ Ｓ＝６ａ ， Ｖ＝ａ ８０第三部分 数量关系 长方体 （２） ： 性质 个面 每组对面相同 ： ６ ， 表面积 体积 Ｓ＝２× （ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ）， Ｖ＝ａｂｃ 球 （３） ： 性质 直径 半径 ： Ｄ＝２× Ｒ 表面积 ２ 体积 ４ ３ Ｓ＝４πＲ ， Ｖ＝ πＲ ３ 圆柱体 （４） ： 性质 上下底面相同 侧面展开是矩形 ： ， 表面积 ２ 体积 ２ Ｓ＝２πｒ ＋２πｒｈ， Ｖ＝πｒ ｈ 圆锥 锥体 （５） （ ）： 表面积 ２ 体积 １ ２ Ｓ＝πｒ ＋πｒｌ， Ｖ＝ πｒ ｈ ３ 锥体 １ 底面积 高 Ｖ＝ × × ３ 几何构造 ４􀆰 几何最值理论 （１） ： 平面图形中 周长一定 越接近于圆 面积越大 ① ， ， ， 平面图形中 面积一定 越接近于圆 周长越小 ② ， ， ， 立体图形中 表面积一定 越接近于球 体积越大 ③ ， ， ， 立体图形中 体积一定 越接近于球 表面积越小 ④ ， ， ， 最短距离 （２） ： 两点之间 线段最短 ① ， 点到直线 垂线最短 ② ， 一侧两点到直线距离和最短 做对称点后连接两点 ③ ： ８１行测必备要点 第八章 容斥原理 本质 去除重复的过程 １􀆰 ： 分类 两集合 三集合 ２􀆰 ： 、 解题方法 公式法 图示法 ３􀆰 ： ； 二集合容斥原理 ４􀆰 核心公式 总数 都不满足的 （１） ： － ＝Ａ＋Ｂ－Ａ∩Ｂ 两集合图示法 题目中出现 只 满足一个条件 优先使用图示法 （２） ： “ ” ， 三集合容斥原理 ５􀆰 ： 标准型 总数 都不满足的 （１） ： － ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ－Ａ∩Ｂ－Ａ∩Ｃ－Ｂ∩Ｃ＋Ａ∩Ｂ∩Ｃ 非标准型 总数 都不满足的 只满足两个条件的 （２） ： － ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ－ “ ” －２×Ａ∩Ｂ∩Ｃ 三集合图示法 题目中出现 只 满足一个条件 优先使用图示法 （３） ： “ ” ， 三集合补充公式 总数 都不满足的 只满足一个集合的 只满足两个集合 （４） ： － ＝ ＋ 的 满足三个集合的 ＋ ８２第三部分 数量关系 第九章 最值问题 最不利构造 １􀆰 ： 题型标志 至少 保证 ： …… …… 解题方法 构造最不利情形 正确答案 最不利情况 ： ① ； ② ＝ ＋１ 数列构造 已知多项和 求某一项的最值 ２􀆰 ： ， 题型标志 最多的最少 最多的最多 最少的最少 最少的最多 ： 、 ； 、 排名第几的最多 少 （ ） 解题方法 求谁设谁 构造其他 加和求解 ： ① ； ② ； ③ 多集合反向构造问题 ３􀆰 ： 题型标志 都 至少 至少 都 ： …… ……； …… …… 解题方法 反向 求和 做差 ： ——— ——— ８３行测必备要点 第十章 数列与平均数 等差数列 １􀆰 ： 求和公式 和 首项 末项 项数 中位数 项数 平均数 项数 （１） ： ＝ （ ＋ ） × ÷２＝ × ＝ × 平均数 中位数 首项 末项 （２） ＝ ＝ （ ＋ ） ÷２ 通项公式 （３） ： ａｎ＝ａ１＋ （ｎ－１） ｄ 等比数列 ２􀆰 ： ｎ 求和公式 ｑ －１ 为前 项和 为首项 为公比 （１） ： Ｓｎ＝ａ１× （Ｓｎ ｎ ， ａ１ ， ｑ ） ｑ－１ 通项公式 ｎ－１ 为第 项 为首项 为公比 （２） ： ａｎ＝ａ１×ｑ （ａｎ ｎ ， ａ１ ， ｑ ） 平均数 平均数 总数 总个数 ３􀆰 ： ＝ ÷ ８４第三部分 数量关系 第十一章 年龄问题 年龄的性质 １􀆰 ： 年之后年龄加 年之前年龄减 （１） Ｎ Ｎ， Ｎ Ｎ 两人年龄差保持不变 （２） 属相问题 ２􀆰 ： 十二生肖 子鼠 丑牛 寅虎 卯兔 辰龙 巳蛇 午马 未羊 申猴 酉鸡 戌狗 亥猪 ： 常见解法 代入法 方程法 倍数关系 ３􀆰 ： 、 （ ） ８５行测必备要点 第十二章 星期日期问题 星期日期问题 本质是周期问题 １􀆰 ： 年 能被 整除的年份是闰年 能被 整除的世纪年是闰年 ２􀆰 ： ４ ， ４００ 月 月是大月 天 ： １， ３， ５， ７， ８， １０， １２ （３１ ） 月有 天 平年 或 天 闰年 ２ ２８ （ ） ２９ （ ） 月是小月 天 ４， ６， ９， １１ （３０ ） 星期 周期规律 一年有 个星期 ： ， ５２ 常见解法 枚举法 余数分析法 ３􀆰 ： 、 常考题型 日期推断型 星期推断型 ４􀆰 ： 、 ８６第三部分 数量关系 第十三章 牛吃草问题 题型特征 草以一定的速度在生长 牛以更快的速度再吃草 既有增加又有 １􀆰 ： ， （ 消耗 ） 出现 个 需要 时间类排比句 Ｎ …… Ｔ 核心公式 ２􀆰 ： ｙ＝ （Ｎ－ｘ） ×Ｔ 代表原有草量 代表牛的数量 代表草的生长速度 代表时间 ｙ ； Ｎ ； ｘ ； Ｔ ８７行测必备要点 第十四章 函数问题 函数图像与函数的对应 １􀆰 ： 一般地 使用描点法确定函数的图像 （１） ， 临界点是分段函数的分段点 （２） 是一条直线 直线过原点 ２􀆰ｙ＝ｋｘ＋ｂ， （ｙ＝ｋｘ， ） ２ 是一条抛物线 开口向上 开口向下 ３􀆰ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ， （ａ＞０， ； ａ＜０， ） ８８第三部分 数量关系 第十五章 其他杂题 第一节 植树问题 单边植树公式 １􀆰 直线型 棵数 总长 间隔 总长 棵数 间隔 （１） ： ＝ ÷ ＋１， ＝ （ －１） × 环型 棵数 总长 间隔 总长 棵数 间隔 （２） ： ＝ ÷ ， ＝ × 楼间型 棵数 总长 间隔 总长 棵数 间隔 （３） ： ＝ ÷ －１， ＝ （ ＋１） × 双边植树问题 ２􀆰 ： 相对应单边植树问题所需棵数的 倍 ２ 第二节 方阵问题 实心方阵 １􀆰 ： 行 列的方阵 总人数 ２ 最外层人数 Ｎ Ｎ ， ＝Ｎ ； ＝４Ｎ－４ 行 列的长方阵 总人数 最外层人数 Ｍ Ｎ ， ＝Ｍ×Ｎ； ＝２Ｍ＋２Ｎ－４ 空心方阵 中空方阵 ２􀆰 （ ）： 总人数 大实心方阵人数 小实心方阵人数 最外层人数 最内层人数 层 ＝ － ＝ （ ＋ ） × 数 中间层人数 层数 ÷２＝ × 层数 最外层人数 最内层人数 ＝ （ － ） ÷８＋１ 中间层人数 最外层人数 最内层人数 ＝ （ ＋ ） ÷２ 第三节 钟表问题 本质 本质是环形的运动问题 即时针与分针的相遇追及 １􀆰 ： ， ８９行测必备要点 小时时针走 度 分针走 度 ２􀆰１ ３０ ， ３６０ 分钟时针走 度 分针走 度 速度差 度 分钟 １ ０􀆰５ ， ６ ， ５􀆰５ ／ 已知夹角求时间 已知时间求夹角 ３􀆰 、 ： Ｓ差＝ｖ差×ｔ 互换位置 相遇 ４􀆰 （ ）： Ｓ和＝ｖ和×ｔ 夹角次数 小时内 分针和时针垂直 次 重合 次 ５􀆰 ： ２４ ， ４４ ， ２２ 快慢钟 比例法 ６􀆰 ： ９０