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龙岩一中 2024 届高三上学期第三次月考
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 取最大值时 的值为（
）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5. 已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球
表面积等于
A. 4 B. 3 C. 2 D.
6. 已知 为平面 的一个法向量， 为一条直线，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
的
7. 已知抛物线 ： （ ） 焦点为 ，点 为抛物线上一点， ，若 ，则
点 的纵坐标是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8. 如图，已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过 的直线与 分别在第一､
二象限交于 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知 ，直线 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
的
10. 如图，在棱长为4 正方体 中，E，F，G分别为棱 ， ， 的中点，点P
为线段 上的动点，则（ ）
A. 两条异面直线 和 所成的角为
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学科网（北京）股份有限公司B. 存在点P，使得 平面
C. 对任意点P，平面 平面
D. 点 到直线 的距离为4
11. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数
表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数
的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）
A. 为周期函数，且最小正周期为
B. 为奇函数
C. 的图象关于直线 对称
D. 的导函数 的最大值为7
12. 已知函数 ，数列 满足函数 的图像在点 处的切线与x轴交于
点 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题．
13. 已知 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为__________．
14. 已知函数 有2个极值点 ， ，则 ______．
的
15. 已知定义在 上 函数 在 上单调递增，且函数 为奇函数，则
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学科网（北京）股份有限公司的解集为___________.
的
16. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定 数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部
分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认
为最具有审美意义的比例数字．若数列 是以黄金分割数为公比的等比数列，且 ，
则 _________．
四、解答题：本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 的中线 长为 ，求 面积的最大值.
18. 已知 为等比数列 的前n项和，若 ， ， 成等差数列，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前n项和为 ，证明： .
19. 如图，平面 平面 ，点 为半圆弧 上异于 ， 的点，在矩形 中，
，设平面 与平面 的交线为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）当 与半圆弧 相切时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
20. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）证明：当 时， ，使得 ．
21. 已知椭圆 离心率为 ，焦距为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 分别作斜率和为 的两条直线 与 ，设 交 于 、 两点， 交 于 、 两点，
、 的中点分别为 、 .求证：直线 过定点.
22. 设抛物线C： 的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过
点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
（1）若AB过焦点F，且 ，求直线AB的倾斜角；
（2）求 的值.
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