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南充市二〇二〇年初中学业水平考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.若 ，则x 的值是 （ ）
A. 4 B. C. D. ﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解分式方程即可求得x的值．
【详解】解： ，去分母得 ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
2.2020年南充市各级各类学校学生人数约为1 150 000人，将1 150 000 用科学计数法表示为（ ）
A. 1.15×106 B. 1.15×107 C. 11.5×105 D. 0.115×107
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的
绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1150000用科学计数法表示为：1.15×106，
故选：A．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位．
3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】A
【解析】
【分析】
B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的 的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运
动路径长度为π．
【详解】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的 的周长，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
4.下列运算正确的是（ ）
A. 3a+2b=5ab B. 3a·2a=6a2 C. a3+a4=a7 D. (a-b)2=a2-b2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可．
【详解】A．不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．3a·2a=6a2，此选项正确；
C．不是同类项，不能合并，此选项错误；
D．(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题的关键．
5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，
7，8．则下列说法错误的是（ ）
A. 该组成绩的众数是6环 B. 该组成绩的中位数数是6环
C. 该组成绩的平均数是6环 D. 该组成绩数据的方差是10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是： （4+5+6+6+6+7+8）=6（环），故本选项正确；
D、该组成绩数据的方差是：
，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
6.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
A. B. C. a-b D. b-a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
7.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD
于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出 OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ AC×BD，证出四边形 EFOG 是矩形，
EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝ OC＝ AC，EG＝ OB＝ BD，
由矩形面积即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝ OC＝ AC，EG＝ OB＝ BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝ AC× BD＝ = S；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握
菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
8.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三
角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得， ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直
角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象
与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a= ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.关于二次函数 的三个结论：①对任意实数m，都有 与 对
应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则 或 ；③若抛物线与x
轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则 或 ．其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线 ，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种
情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，
可求解，可判断③；即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴x=2+m与x=2-m关于直线x=2对称，
1 2
∴对任意实数m，都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等；
1 2
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴ ，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴ ，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴ ，
∴ ；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜ ，
综上所述：当a＜ 或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的
交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11.计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．【详解】解：
= -1+1
=
故答案为： ．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
【答案】38
【解析】
【分析】
直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
13.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任选3条，能构成三角形的概率为____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组
数，就可求出概率．
【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有：
（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）
共4个结果，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况，
故能构成三角形的概率是 ．
故答案为： .
【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率．用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔
_______支．
【答案】10
【解析】
【分析】
首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可
得 ，根据x最大且又能被5整除，即可求解．
【详解】设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则 ，
∵x最大且又能被5整除，y是正整数，
∴x=10，
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．
15.若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据 ，代入化简即可得到结果．
【详解】解：
故答案为：-2【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
的
16.△ABC内接于⊙O，AB为⊙O 直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，
tanD=3，则AB=__________．
【答案】
【解析】
【分析】
过C作CH⊥AE于H点，由旋转性质可得 ，根据三角函数可求得AC，BC长度，进而通过
解直角三角形即可求得AB长度．
【详解】解：过C作CH⊥AE于H点，
∵AB为⊙O的直径，
∴ ，
由旋转可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2，
∴HE=1，CH=3，∴AC=CE= ，
∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3，
∴BC= ，
∴AB= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共9个小题，共86分．
17.先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据AB BD，DE BD，AC CE，可以得到 ， ，
，从而有 ，可以验证 和 全等，从而得到AB=CD．
【详解】证明：
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
在 和 中
∴ ≌
故 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角
之间的关系是解题的关键．
19.今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出20人组成的专家
组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示：（1）计算赴B国女专家和D国男专家的人数，并将条形统计图补充完整;
（2）根据需要，从赴A国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰
好是一男一女的概率．
【答案】（1）1，3，图详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出B国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求D国专家的总人数，然后减去女专家
人数即可；
（2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可．
【详解】解：（1） 国女专家： （人），
国男专家： （人），
（注：补全条形图如图所示）
；
（2）从5位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有20种情况，并且出现的可能性相等，
其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
则抽到一男一女专家的概率为： ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题
关键．
20.已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理
由．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x＋x＝2，xx＝k＋2，结合 ，即可得出关于k的方程，
1 2 1 2
解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；
（2）由一元二次方程根与系数关系，∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个
实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 ，找出关于k的方程．
21.如图，反比例函数 的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作
AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
【答案】（1） ；（2）10
【解析】
【分析】
（1）求出点D的坐标即可解决问题；
（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．【详解】解：（1）由点 在 上，则 ，
∴ ，
∵ 轴，与反比例函数图象交于点 ，且
∴ ，即 ，
∴ ，反比例函数解析式为 ；
（2）∵ 是直线 与反比例函数 图象的交点
∴ ，
∵
∴ ，则
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
22.如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC
的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF= ，求tan∠EAD的值．【答案】（1）直线 与圆 相切，证明详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝
∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）根据勾股定理得到 ，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到
结论．
【详解】解：（1）直线 与圆 相切
理由如下：连接
∵ 平分
∴
∵
∴
∴
由 ，得
∵点 在圆 上
∴ 是圆 的切线
（2）由（1）可得，在 中， ， ，
由勾股定理得
∵∴
即 ，得 ，
∴在 中，
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图
形是解题的关键．
23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x
（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数
解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条
件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）
【答案】（1） ；（2）工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是
605万元．
【解析】
【分析】（1）由图像可知，当 ，函数为常数函数z=16；当 ，函数为一次函数，设函数解析式
为 ，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到z关于x的函数解析式；
（2）根据x的不同取值范围，z关于x的关系式不同，设W为利润，当 ， ，可知
x=12时有最大利润；当 ， ，当 时有最大利润．
【详解】解：（1）由图可知，当 时，
当 时， 是关于 的一次函数，设
则 ，得 ，即
∴ 关于 的函数解析式为
（2）设第 个生产周期工厂创造的利润为 万元
① 时，
当 时， （万元）
② 时，
当 时， （万元）
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数
的解析式，能根据图像找到函数所过点；
（2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键．
24.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为
M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM=BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式
（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为 ，请直接写出AK长．
【 答 案 】 （ 1 ） 详 见 解 析 ； （ 2 ） 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 理 由 详 见 解 析 ； （ 3 ）
， 长为 或3．
【解析】
【分析】
（1）由“AAS”可证△ABM≌△BCN，可得AM＝BN；
（2）连接OB，由“SAS”可证△AOM≌△BON，可得MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性质可得
∠MON＝90°，可得结论；
（3）由勾股定理可求BK的值，由 ，四边形ABCD是正方形，可得： ，
，则可求得 ，由三角形面积公式可求得 ；点K在射线AD上运
动，分两种情况：当点K在线段AD上时和当点K在线段AD的延长线时分别求解即可得到结果．
【详解】解：（1）证明：∵
∴
又∵
∴
∴
又
∴ ≌ （AAS）
∴
（2） 是等腰直角三角形
理由如下：连接 ，
∵ 为正方形的中心
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴ ，即
∵
∴ ≌ （SAS）∴ ，
∵
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴
是
∴ 等腰直角三角形．
（3）在 中，
由 ，四边形ABCD是正方形，
可得： ，
∴ ，
∴ ，得：
∴ ，得：
∴
∴
即：
当点K在线段AD上时，则 ，
解得：x＝3（不合题意舍去）， ，
1当点K在线段AD的延长线时，同理可求得
∴ ，
解得：x＝3， （不合题意舍去），
1
综上所述： 长为 或3时，△OMN的面积为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键．
25.已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的
坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角 ，且tan = ，求点K的坐
标．
【答案】（1） ；（2）线段上存在 ，使得 ，理由详见解析；
（ 3 ） 抛 物 线 上 符 合 条 件 的 点 坐 标 为 ： 或 或 或．
【解析】
【分析】
（1）设二次函数的解析式为 ，将点C坐标代入可求解；
（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求
PB解析式，设点M ，由两点距离公式可得 ，可求 或 ，
即可求解；
（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出 ， ，由锐角三角函数
可求 ，分DK与射线EC交于点 和DK与射线EB交于 两种情况讨
论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．
【详解】
解：（1）二次函数的图象过点
设二次函数解析式为
又二次函数的图象过点 ，∴ ，即
故二次函数解析式为
（2）线段上存在 ，使得 ，理由如下：
设 中点为 ，由题意，易知 的坐标为 ，
若 ，则
∵ ，∴≈ 的中点 为
设 所在的直线为 ，则 ，得
所在的直线为
在线段 上，设 的坐标为 ，其中
如图1，分别过 ， 作 轴与 轴的垂线 ， ，设 ， 相交于点 ，
∴
∵
∴
整理得 ，解得 或
当 时， ， 重合，不合题意（舍去）∴ ，则 的坐标为
故线段 上存在 ，使得
（3）如图2，过点 作 于点 ，设直线 与 交于点
∵
∴
∵
∴直线
在 中
①若 与射线 交于点
∴
∴
∴∴直线
∴
解得 或
②若 与射线 交于点
∴
∴
∴
∴直线
，解得 或
综上所述，抛物线上符合条件的点 坐标为：
或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰
直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是
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