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2024-2025 学年辽宁省丹东市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪(∁ M)=( )
U
A. {2,3,5} B. {1,3,4} C. {1,2,4,5} D. {2,3,4,5}
x−4
2.不等式 ≥2解集是( )
x−1
A. {x|−2≤x≤1} B. {x|x≤−2} C. {x|−2≤x<1} D. {x|x>1}
3.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ， ，则 ( )
X N(μ,σ2 ) P(X≥1)=0.5 P(X≤0.6)=0.3 P(X≤1.4)=
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2
̂(cid:15)
4.由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得到x，y之间的线性回归方程为 ，则( )
y=−0.5x+10.5
x 6 8 10 12
y 7 t 5.5 4.5
A. 点(8,t)一定在回归直线上 B. x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位
C. t=7 D. y与x是正相关的
5.已知各项均为正数的数列 中， ， ，则 ( )
{a } a =2 √a =√a +√2 a =
n 1 n+1 n 20
A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000
1 1
6.已知命题p：a>b>0，q： < ，则p是q的( )
a−1 b−1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.记S 是等差数列{a }的前n项和，S =4，S =12，则a =( )
n n 3 6 8
16 8
A. 4 B. C. D. 8
3 3
lnx−1 1 m
8.已知函数f(x)= 在[n,m]上的值域为[0, ]，则 的取值范围是( )
x e2 n
A. B. C. D.
[e2,+∞) (1,e2 ] [e,+∞) (1,e]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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1 19.已知数列{a }，{b }均为等比数列，且项数相同，则( )
n n
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等比数列
{a2 } {a +b }
n n n
C. 数列 b 是等比数列 D. 数列 是等比数列
{ n } {√a b }
a n n
n
10.设正实数x，y满足x+ y=1，则( )
1 1
A. xy有最大值为 B. x2+ y2有最小值为
2 2
4 y 1
C. + 有最小值为5 D. √x+1+√y+2有最大值为2√2
x y
11.已知x=2是函数f(x)=a(x−1)(x−2)(x−a)的极值点，则( )
A. x=2是f(x)的极小值点 B. 直线y=0是曲线y=f(x)的切线
C. 当16.635，
90×60×72×78
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关；
(3)由题设X可取0，1，2，
18 42 7 54 42 18 36 27 54 36 9
P(X=0)= × = ，P(X=1)= × + × = ，P(X=2)= × = ，
72 78 52 72 78 72 78 52 72 78 26
7 27 9 63
所以E(X)=0× +1× +2× = ．
52 52 26 52
S S 1
16.(1)因为a =S =1，S =6，设等差数列{ n }的公差为d，则 3=1+2d=2，解得d= ，
1 1 3 n 3 2
S 1 n+1 n2+n
所以 n=1+ (n−1)= ，即S = ，
n 2 2 n 2
当n≥2时，a =S −S =n，当n=1时，a =1成立，故a =n．
n n n−1 1 n
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5 1(2)由题意可得T =b +b +b +⋯+b
2n 1 2 3 2n
=(b +b +...+b )+(b +b +...+b )
1 3 2n−1 2 4 2n
1 1 1
=[1+3+...+(2n−1)]+[ + +...+ ]
2×4 4×6 2n×2(n+1)
1 1 1 1 1 1
=n2+ (1− + − +...+ − )
4 2 2 3 n n+1
n
=n2+ ．
4(n+1)
lnx 1 2−lnx
17.(1)当a=−1时，f(x)= − +1，则f ′(x)= ，
x x x2
所以f ′(1)=2，又f(1)=0，
所以所求切线方程为y=2(x−1)，即y=2x−2．
lnx a
(2)方程 + +1=ex有唯一解等价于exx−lnx−x−a=0有唯一正数解，
x x
1 1
令g(x)=exx−lnx−x−a，g′(x)=ex (x+1)− −1=(x+1)(ex− )，
x x
1
易知函数ℎ(x)=ex− 在(0,+∞)上单调递增，
x
而 ℎ( 1 2 )=e 1 2−2<0,ℎ(1)=e−1>0 ，则 ∃x 1 ∈( 1 2 ,1) ，使 ℎ(x 1 )=0 ，即 ex 1= x 1 ⇔x 1 =−lnx 1 ，
1
当0x 时，g′(x)>0，
1 1
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
g(x) (0,x ) (x ,+∞) g(x) =g(x )=x ex 1−lnx −x −a=1−a
1 1 min 1 1 1 1
依题意，函数g(x)有唯一零点，因此1−a=0，解得a=1，
所以a=1．
18.(1)根据题意得X∼B(2,0.7)，
所以 的分布列为 ， ， ， ；
X P(X=k)=Ck×(0.7) k×(0.3) 2−k k=0 1 2
2
(2)设A：学生通过首次测试，B：刚好是男生，
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6 1P(AB) 0.5×0.6×0.7 7
所以P(B|A)= = = ．
P(A) 0.48 16
法 ：设王同学第 轮测试获得通过 次的概率为 ，即
(3) 1 i(i≥2) 2 P =C1 ×0．72×0．3i−2
i i−1
，
P =0.49×(i−1)×0．3i−2
i
则王同学能获得“AI小能手”的概率为P，则P=P +P +⋯+P ，
2 3 n
，
P=0.49×0.30+0.49×2×0.31+0.49×3×0.32+⋯+0.49×(n−1)×0.3n−2
，
0.3P=0.49×0.31+0.49×2×0.32+0.49×3×0.33+⋯+0.49×(n−1)×0.3n−1
则 ，
0.7P=0.49×0.30+0.49×0.31+0.49×0.32+⋯+0.49×0.3n−2−0.49×(n−1)×0.3n−1
1−0．3n−1
所以P=0.7× −0.7×(n−1)×0．3n−1，
0.7
所以 ，则王同学能获得“ 小能手”的概率为 ．
P=1−(0.7n+0.3)×0.3n−1 AI P=1−(0.7n+0.3)×0.3n−1
法2：设一次也未通过的事件记为C，只通过一次的事件记为D，
若王同学前n−1次均为通过，则王同学不用参加第n次测试，故
，
P(C)=C0 ⋅0．70 ⋅0．3n−1=0．3n−1
n−1
若王同学只通过1次测试，则通过的这一次在前n−1次中的某次，故
，
P(D)=C1 ⋅0．71 ⋅0．3n−1=0.7(n−1)0．3n−1
n−1
则王同学能获得“ 小能手”的概率为 ．
AI P=1−0.7(n−1)0.3n−1−0.3n−1=1−(0.7n+0.3)×0.3n−1
19.(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
因此 1−a 1 (x+1)(ax−1)，
f ′(x)= + −a=−
x x2 x2
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7 1当a<0时，f ′(x)>0，
则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
1 1
当a>0时，x∈(0, )时，f ′(x)>0，x∈( ,+∞)时，f ′(x)<0，
a a
1 1
则f(x)在(0, )上单调递增，在x∈( ,+∞)上单调递减，
a a
综上所述，
当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
1 1
当a>0时，f(x)在(0, )上单调递增，在x∈( ,+∞)上单调递减．
a a
(2)(ⅰ)由(1)知，f(x)有两个零点的必要条件是a>0，
1 1
且f( )=(a−1)lna−a− +2>0，
a a
1
令ℎ(a)=(a−1)lna−a− +2，
a
1 1
则ℎ′(a)=lna− + ，
a a2
1 1
令g(x)= ℎ′(a)=lna− + ，
a a2
则 (a−1)(a+2)，
g′(x)=
a3
可得ℎ′(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，ℎ′(1)=0，
因此ℎ′(a)≥ℎ′(1)=0，
则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，
因此ℎ(a)>0，
则有a>1，
1
因为f(1)=2−a− <2−2=0，
a
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8 11 2 1 2 1
f( )=(a−1)lna2−a2− +3<(a−1)(a− )−a2− +3=2−a− <0，
a2 a a a a
对于 1且 ，有 2 1 (x−1) 2 ，
( y=2lnx−x+ x>1 y′= −1− =− <0)
x x x2 x2
1
因此y=2lnx−x+ 在(1,+∞)上单调递减，
x
则y<2ln1−1+1=0，
1
因此2lnx=lnx21，00 >0
a (2−ax) 2
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9 11 1
因此F′(x)>0，则F(x)在(0, )上单调递增，F(x ) −x ，
2 a 1
x +x 1
则 1 2> ，
2 a
x +x
故f ′( 1 2 )<0．
2
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10 1
