2024-2025 学年辽宁省丹东市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪(∁ M)=( )
U
A. {2,3,5} B. {1,3,4} C. {1,2,4,5} D. {2,3,4,5}
x−4
2.不等式 ≥2解集是( )
x−1
A. {x|−2≤x≤1} B. {x|x≤−2} C. {x|−2≤x<1} D. {x|x>1}
3.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ， ，则 ( )
X N(μ,σ2 ) P(X≥1)=0.5 P(X≤0.6)=0.3 P(X≤1.4)=
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2
̂(cid:15)
4.由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得到x，y之间的线性回归方程为 ，则( )
y=−0.5x+10.5
x 6 8 10 12
y 7 t 5.5 4.5
A. 点(8,t)一定在回归直线上 B. x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位
C. t=7 D. y与x是正相关的
5.已知各项均为正数的数列 中， ， ，则 ( )
{a } a =2 √a =√a +√2 a =
n 1 n+1 n 20
A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000
1 1
6.已知命题p：a>b>0，q： < ，则p是q的( )
a−1 b−1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.记S 是等差数列{a }的前n项和，S =4，S =12，则a =( )
n n 3 6 8
16 8
A. 4 B. C. D. 8
3 3
lnx−1 1 m
8.已知函数f(x)= 在[n,m]上的值域为[0, ]，则 的取值范围是( )
x e2 n
A. B. C. D.
[e2,+∞) (1,e2 ] [e,+∞) (1,e]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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1 19.已知数列{a }，{b }均为等比数列，且项数相同，则( )
n n
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等比数列
{a2 } {a +b }
n n n
C. 数列 b 是等比数列 D. 数列 是等比数列
{ n } {√a b }
a n n
n
10.设正实数x，y满足x+ y=1，则( )
1 1
A. xy有最大值为 B. x2+ y2有最小值为
2 2
4 y 1
C. + 有最小值为5 D. √x+1+√y+2有最大值为2√2
x y
11.已知x=2是函数f(x)=a(x−1)(x−2)(x−a)的极值点，则( )
A. x=2是f(x)的极小值点 B. 直线y=0是曲线y=f(x)的切线
C. 当1<x<2时，f(x)<0 D. f(x)有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当n∈N∗时，3+5+7+…+(2n+3)= ______．
13.甲盒子中装有7个小球，其中3个红球，2个白球，2个黑球，乙盒子中装有6个小球，其中2个红球，3
个白球，1个黑球，先从甲盒子中取2个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中取出1个小球，则这个小球是红
球的概率为______．
14.已知函数 的零点为 ，则lnx ______．
f(x)=ex−3x2lnx x 0=
0 x
0
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了了解阅读量多少与幸福感强弱的关系，一个调查机构得到如下调查数据：
幸福感强幸福感弱总计
阅读量多 54 18 s
阅读量少 36 t 78
总计 90 60 150
(1)求s，t的值；
(2)根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？
(3)在所有被调查的人中，从阅读量多的人中随机抽取一人，从阅读量少的人中随机抽取一人，求幸福感
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2 1强的人数的期望．
附： n(ad−bc) 2 ，
χ2=
(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)
P(χ2≥k 0).0500.0100.001
0
k 3.8416.63510.828
0
16.(本小题15分)
S
记S 是数列{a }的前n项和，a =1，S =6，且数列{ n }是等差数列．
n n 1 3 n
(1)求{a }的通项公式；
n
{ a , n为奇数,
n
(2) 设若 b = 1 求数列 {b } 的前 2n 项和 T ．
n n为偶数, n 2n
a a
n n+2
17.(本小题15分)
lnx a
已知函数f(x)= + +1．
x x
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
若方程 有唯一解，求 的值．
(2) f(x)=ex a
18.(本小题17分)
中国科学院及其下属机构正在积极推广人工智能(AI)赋能教学的相关研究和实践工作，为了让学生更好的
适应AI学习环境，某校决定面向全校学生采取自愿报名参加AI知识普及的培训活动，并在培训后进行相
关知识的测试.已知该校男女生比例近似为1：1，共有60%的男生报名参加了培训，培训后进行的首次测
试数据统计如下：
①按参加人数统计，首次测试通过率为70%；
②按全校总人数统计，通过首次测试人数占总人数的48%．
(1)在参加培训的学生中随机抽取2人，求通过首次测试人数X的分布列；
(2)在全校随机抽取一名学生，已知该生通过了首次测试的条件下，求他刚好是男生的概率；
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3 1(3)假设每轮通过测试的概率不变且每次测试相互独立，参加培训的学生最多可参加n次测试，只要有2次
通过，则获得“AI小能手”称号，若n次测试结束后也未通过2次，则不能获得此称号，王同学参加了培
训，求王同学能获得“AI小能手”称号的概率(n≥2，结果用含n的式子表示)．
19.(本小题17分)
1 1
已知函数f(x)=(1−a)lnx− −ax− +3．
x a
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)恰有两个零点x ，x ，且x <x
1 2 1 2
(ⅰ)求a的取值范围；
x +x
(ⅱ)证明：f ′( 1 2 )<0．
2
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4 1参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.C
6.D
7.A
8.C
9.AC
10.BC
11.ABD
12.n2+4n+3
5
13.
14
1
14.
3
15.(1)由列联表得s=54+18=72，t=60−18=42；
150×(54×42−18×36) 2
(2)由列联表得χ2= ≈12.981>6.635，
90×60×72×78
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关；
(3)由题设X可取0，1，2，
18 42 7 54 42 18 36 27 54 36 9
P(X=0)= × = ，P(X=1)= × + × = ，P(X=2)= × = ，
72 78 52 72 78 72 78 52 72 78 26
7 27 9 63
所以E(X)=0× +1× +2× = ．
52 52 26 52
S S 1
16.(1)因为a =S =1，S =6，设等差数列{ n }的公差为d，则 3=1+2d=2，解得d= ，
1 1 3 n 3 2
S 1 n+1 n2+n
所以 n=1+ (n−1)= ，即S = ，
n 2 2 n 2
当n≥2时，a =S −S =n，当n=1时，a =1成立，故a =n．
n n n−1 1 n
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5 1(2)由题意可得T =b +b +b +⋯+b
2n 1 2 3 2n
=(b +b +...+b )+(b +b +...+b )
1 3 2n−1 2 4 2n
1 1 1
=[1+3+...+(2n−1)]+[ + +...+ ]
2×4 4×6 2n×2(n+1)
1 1 1 1 1 1
=n2+ (1− + − +...+ − )
4 2 2 3 n n+1
n
=n2+ ．
4(n+1)
lnx 1 2−lnx
17.(1)当a=−1时，f(x)= − +1，则f ′(x)= ，
x x x2
所以f ′(1)=2，又f(1)=0，
所以所求切线方程为y=2(x−1)，即y=2x−2．
lnx a
(2)方程 + +1=ex有唯一解等价于exx−lnx−x−a=0有唯一正数解，
x x
1 1
令g(x)=exx−lnx−x−a，g′(x)=ex (x+1)− −1=(x+1)(ex− )，
x x
1
易知函数ℎ(x)=ex− 在(0,+∞)上单调递增，
x
而 ℎ( 1 2 )=e 1 2−2<0,ℎ(1)=e−1>0 ，则 ∃x 1 ∈( 1 2 ,1) ，使 ℎ(x 1 )=0 ，即 ex 1= x 1 ⇔x 1 =−lnx 1 ，
1
当0<x<x 时，g′(x)<0；当x>x 时，g′(x)>0，
1 1
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
g(x) (0,x ) (x ,+∞) g(x) =g(x )=x ex 1−lnx −x −a=1−a
1 1 min 1 1 1 1
依题意，函数g(x)有唯一零点，因此1−a=0，解得a=1，
所以a=1．
18.(1)根据题意得X∼B(2,0.7)，
所以 的分布列为 ， ， ， ；
X P(X=k)=Ck×(0.7) k×(0.3) 2−k k=0 1 2
2
(2)设A：学生通过首次测试，B：刚好是男生，
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6 1P(AB) 0.5×0.6×0.7 7
所以P(B|A)= = = ．
P(A) 0.48 16
法 ：设王同学第 轮测试获得通过 次的概率为 ，即
(3) 1 i(i≥2) 2 P =C1 ×0．72×0．3i−2
i i−1
，
P =0.49×(i−1)×0．3i−2
i
则王同学能获得“AI小能手”的概率为P，则P=P +P +⋯+P ，
2 3 n
，
P=0.49×0.30+0.49×2×0.31+0.49×3×0.32+⋯+0.49×(n−1)×0.3n−2
，
0.3P=0.49×0.31+0.49×2×0.32+0.49×3×0.33+⋯+0.49×(n−1)×0.3n−1
则 ，
0.7P=0.49×0.30+0.49×0.31+0.49×0.32+⋯+0.49×0.3n−2−0.49×(n−1)×0.3n−1
1−0．3n−1
所以P=0.7× −0.7×(n−1)×0．3n−1，
0.7
所以 ，则王同学能获得“ 小能手”的概率为 ．
P=1−(0.7n+0.3)×0.3n−1 AI P=1−(0.7n+0.3)×0.3n−1
法2：设一次也未通过的事件记为C，只通过一次的事件记为D，
若王同学前n−1次均为通过，则王同学不用参加第n次测试，故
，
P(C)=C0 ⋅0．70 ⋅0．3n−1=0．3n−1
n−1
若王同学只通过1次测试，则通过的这一次在前n−1次中的某次，故
，
P(D)=C1 ⋅0．71 ⋅0．3n−1=0.7(n−1)0．3n−1
n−1
则王同学能获得“ 小能手”的概率为 ．
AI P=1−0.7(n−1)0.3n−1−0.3n−1=1−(0.7n+0.3)×0.3n−1
19.(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
因此 1−a 1 (x+1)(ax−1)，
f ′(x)= + −a=−
x x2 x2
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7 1当a<0时，f ′(x)>0，
则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
1 1
当a>0时，x∈(0, )时，f ′(x)>0，x∈( ,+∞)时，f ′(x)<0，
a a
1 1
则f(x)在(0, )上单调递增，在x∈( ,+∞)上单调递减，
a a
综上所述，
当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
1 1
当a>0时，f(x)在(0, )上单调递增，在x∈( ,+∞)上单调递减．
a a
(2)(ⅰ)由(1)知，f(x)有两个零点的必要条件是a>0，
1 1
且f( )=(a−1)lna−a− +2>0，
a a
1
令ℎ(a)=(a−1)lna−a− +2，
a
1 1
则ℎ′(a)=lna− + ，
a a2
1 1
令g(x)= ℎ′(a)=lna− + ，
a a2
则 (a−1)(a+2)，
g′(x)=
a3
可得ℎ′(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，ℎ′(1)=0，
因此ℎ′(a)≥ℎ′(1)=0，
则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，
因此ℎ(a)>0，
则有a>1，
1
因为f(1)=2−a− <2−2=0，
a
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8 11 2 1 2 1
f( )=(a−1)lna2−a2− +3<(a−1)(a− )−a2− +3=2−a− <0，
a2 a a a a
对于 1且 ，有 2 1 (x−1) 2 ，
( y=2lnx−x+ x>1 y′= −1− =− <0)
x x x2 x2
1
因此y=2lnx−x+ 在(1,+∞)上单调递减，
x
则y<2ln1−1+1=0，
1
因此2lnx=lnx2<x− 恒成立，
x
即 lna2<√a2− 1
)
，
√a2
1 1 1
因此f(x)有两个零点，x ∈( , )，x ∈( ,1)，
1 a2 a 2 a
故a的取值范围为(1,+∞)．
x +x
(ⅱ)证明：由(1)知，f ′( 1 2 )<0，
2
x +x 1
可得 1 2∈( ,+∞)，
2 a
2
令F(x)=f(x)−f( −x)，
a
则 2 x+1 a(a+2−ax) ，
F′(x)=f ′(x)+f ′( −x)=(1−ax)[ + ]
a x2 (2−ax) 2
由(ⅰ)知，a>1，0<x<1，
则 1 时， ，a(a+2−ax) ，
x∈(0, ) 1−ax>0 >0
a (2−ax) 2
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9 11 1
因此F′(x)>0，则F(x)在(0, )上单调递增，F(x )<F( )=0，
a 1 a
2 2
因此f(x )<f( −x )，f(x )<f( −x )，
1 a 2 2 a 1
2 1
因为 −x ，x ∈( ,+∞)，
a 1 2 a
2
因此x > −x ，
2 a 1
x +x 1
则 1 2> ，
2 a
x +x
故f ′( 1 2 )<0．
2
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10 1
