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2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 8的相反数是（ ）
A. B. 8 C. D.
2. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村
贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确 的是（ ）
A. B. C. D.
6. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩
（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 众数是82 B. 中位数是84 C. 方差是84 D. 平均数是85
7. 如图是由6个相同 的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）．
A. B. C. D.8. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为
6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（ ）．
A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米
9. 下列命题是真命题的是（ ）．
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B. 正六边形的每一个内角为
C. 有一个角是 的三角形是等边三角形 D. 对角线相等的四边形是矩形
10. 不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B. 某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C. 从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是
D. 某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学
生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人
12. 如图，矩形纸片 ，点M、N分别在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直
线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为点P，点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接．下列结论：①四边形 是菱形；②点P与点A重合时， ；③ 的面积S的取值
范围是 ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
13. 要使二次根式 有意义，则 的取值范围是________．
14. 计算： =_____
15. 因式分解： __________．
16. 底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留 ）
17. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植
树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
18. 如图1，菱形 的对角线 与 相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速
度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为 ，点Q的运动路线为 ．
设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在
段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）
19. 计算： ．
20. 如图，点A、B、D、E在同一条直线上， ．求证： ．
21. “垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活
垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情
况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
（1）图中其他垃圾所在 的扇形的圆心角度数是 度；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为
500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲
班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女
的概率．
22. 如图，点E为正方形 外一点， ，将 绕A点逆时针方向旋转 得到
的延长线交 于H点．（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知 ，求 的长．
23. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节
扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度
忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 ，单层部分的长度为 ．经测量，得到下表中数据．
双层部分长度 2 8 14 20
单层部分长度 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为 ，求L的取值范围．
24. 如图， 是 的直径，D为 上一点，E为 的中点，点C在 的延长线上，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．25. 如图， 的顶点坐标分别为 ，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴
正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运
动．过点Q作 分别交 、 于点M、N，连接 、 ．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形 面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形 的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不
存在，请说明理由；
（4）连接 ，当 时，求点N到 的距离．
26. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如
……都是“雁点”．
（1）求函数 图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点
N的左侧）．当 时．
①求c的取值范围；
②求 的度数；
（3）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线
上一点，连接 ，以点P为直角顶点，构造等腰 ，是否存在点P，使点C恰
好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
