文档内容
2011 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．（3分）（2011•衡阳） 的相反数是（ ）
A． B．5C．﹣5 D．﹣
2．（3分）某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示
（保留两个有效数字）为（ ）
A．3.1×106元 B．3.1×105元 C．3.2×106元 D．3.18×106元
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2011•衡阳）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
5．（3分）（2011•衡阳）下列计算，正确的是（ ）
A．（2x2）3=8x6 B．a6÷a2=a3 C．3a2•2a2=6a2D．
6．（3分）（2011•衡阳）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x≥﹣3且x≠1 C．x≠1 D．x≠﹣3且x≠1
7．（3分）（2011•衡阳）下列说法正确的是（ ）
A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是 ”表示抽奖100次就一定会中奖
B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
8．（3分）（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，
4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
第1页（共20页）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）
9．（3分）（2011•衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，则坡
面AB的长是（ ）
A．10m B． m C．15m D． m
10．（3分）（2011•衡阳）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率
是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面
所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8各小题，每小题3分，满分24分．）
11．（3分）计算： + = ．
12．（3分）（2011•衡阳）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄
灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是 ．
13．（3分）（2011•衡阳）若m﹣n=2，m+n=5，则m2﹣n2的值为 ．
14．（3分）（2011•衡阳）甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天
生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2．则甲、乙两台机床中性能
较稳定的是 ．
15．（3分）（2011•衡阳）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说
法：
①y随x的增大而减小；
②b＞0；
③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．
其中说法正确的有 （把你认为说法正确的序号都填上）．
16．（3分）（2011•衡阳）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度
数为 ．
第2页（共20页）17．（3分）（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点
C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．
18．（3分）（2011•衡阳）如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运
动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2
所示，那么△ABC的面积是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）（2011•衡阳）先化简，再求值．（x+1）2+x（x﹣2）．其中 ．
20．（6分）（2011•衡阳）解不等式组 ，并把解集在数轴上表
示出来．
第3页（共20页）21．（6分）（2011•衡阳）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD
的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
22．（6分）（2011•衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其
中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植
了多少亩？
23．（6分）（2011•衡阳）我国是世界上严重缺水的国家之一，2011年春季以来，我省遭受了严
重的旱情．某校为了组织“节约用水从我做起”活动，随机调查了本校120名同学家庭月人
均用水量和节水措施情况，如图1、图2是根据调查结果做出的统计图的一部分．
第4页（共20页）请根据信息解答下列问题：
（1）图1中淘米水浇花所占的百分比为 ；
（2）图1中安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为 ；
（3）补全图2；
（4）如果全校学生家庭总人数为3000人，根据这120名同学家庭月人均用水量，估计全校学
生家庭月用水总量是多少吨？
24．（8分）（2011•衡阳）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点
D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
第5页（共20页）25．（8分）（2011•衡阳）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0， ），B（2，0）．直线AB与
反比例函数 的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，
OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．
26．（10分）（2011•衡阳）如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上
的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，
说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
第6页（共20页）（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系
式，并写出m的取值范围．
27．（10分）（2011•衡阳）已知抛物线 ．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x﹣1与抛物线交
于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N
为顶点的四边形是平行四边形？
第7页（共20页）2011 年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．（3分）
【考点】相反数．
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【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：根据相反数的定义有： 的相反数是﹣ ．
故选D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）
【考点】科学记数法与有效数字．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是：从左边第一个
不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：3185800≈3.2×106．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方
法．
3．（3分）
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：几何体的主视图是：
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）
【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象．
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【分析】根据中心对称图形的定义解答．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，知：A、B、C都是中心对称图形；D不是中心对称图形．
故选D．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，
旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．（3分）
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘多项式；零指数幂．
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第8页（共20页）【分析】幂的乘方，底数不变指数相乘；根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的
乘法，底数不变指数相加．
【解答】解：A、（2x2）3=8x6，幂的乘方，底数不变指数相乘；故本选项正确；
B、a6÷a2=a3，同底数幂的除法，底数不变指数相减；故本选项错误；
C、3a2•2a2=6a4，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；故本选项错误；
D、 ，任何数的零次幂（0除外）都是1；故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定
要记准法则才能做题．
6．（3分）
【考点】函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+3≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣3且x≠1．
故选B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（3分）
【考点】概率的意义．
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【分析】概率是表征随机事件发生可能性大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿
而改变的一种属性．了解了概率的定义，然后找到正确答案．
【解答】解：A、概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以概率是 ，也不能够说明是
抽100次就能抽到奖．故本选项错误．
B、随机抛一枚硬币，落地后正面怎么一定朝上呢，应该有两种可能，故本选项错误．
C、同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和有多种可能性，故本选项错误．
D、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到6的概率是 ．
故选D．
【点评】本题解决的关键是理解概率的意义，以及怎样算出概率．
8．（3分）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
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【分析】此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
【解答】解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP= =5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
第9页（共20页）∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
【点评】此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突
破口．
9．（3分）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
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【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得
出答案．
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，
即tan∠BAC= = = ，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10m，
故选：A．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．
10．（3分）
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】本题需先根据题意设出原计划每天修水渠x米，再根据已知条件列出方程即可求出
答案．
【解答】解：设原计划每天修水渠x米，根据题意得：
=20．
故选C．
【点评】本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量
关系列出方程是本题的关键．
二、填空题（本大题共8各小题，每小题3分，满分24分．）
11．（3分）
【考点】二次根式的加减法．
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【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式=2 + =3 ．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
12．（3分）
第10页（共20页）【考点】概率公式．
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【分析】根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号
灯时，是黄灯的概率是 = ．
【解答】解：P（黄灯亮）= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
13．（3分）
【考点】平方差公式；有理数的乘法．
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【分析】首先把多项式m2﹣n2利用平方差公式分解因式，然后代入已知条件即可求出其值．
【解答】解：∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），
而m+n=5，m﹣n=2，
∴m2﹣n2=5×2=10．
故答案为10．
【点评】本题主要考查了公式法分解因式．先利用平方差公式把多项式分解因式，然后代入已
知数据计算即可解决问题．
14．（3分）
【考点】方差．
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【分析】先计算出甲乙的平均数，甲的平均数=乙的平均数=1，再根据方差的计算公式分别计
算出它们的方差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定．
【解答】解：甲的平均数= （3+0+0+2+0+1）=1，
乙的平均数= （1+0+2+1+0+2）=1，
∴S2 甲= [（3﹣1）2+3×（0﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2 =
]
S2 乙= [（2×（1﹣1）2+2×（0﹣1）2+2×（2﹣1）2 = ，
∴S2 甲 ＞S2 乙 ， ]
∴乙台机床性能较稳定．
故答案为乙．
【点评】本题考查了方差的计算公式和意义：一组数据x ，x ，…，x ，其平均数为 ，则这组数
1 2 n
据的方差S2= （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ；方差反映一组数据在其平均数左右的波
1 2 n
动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差]越小，波动越小，越稳定．
15．（3分）
【考点】一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．
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【分析】根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．
【解答】解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确
②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确
第11页（共20页）③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0
的解为x=2，故本项正确
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，关键是
要熟练掌握一次函数的所有性质
16．（3分）
【考点】圆周角定理；垂径定理．
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【分析】根据垂径定理得出弧DE等于弧DF，再利用圆周角定理得出∠FCD=20°．
【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴ = ，
∴∠DCF= ∠EOD，
∵∠EOD=40°，
∴∠FCD=20°，
故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，灵活应用相关定理是解决问题的
关键．
17．（3分）（
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
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【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出
△ABE的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC= = =4，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．（3分）
【考点】动点问题的函数图象．
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【分析】本题需先结合函数的图象求出AB、BC的值，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D
之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说
明CD=9﹣4=5，
∴AB=5，BC=4，
∴△ABC的面积是： ×4×5=10．
故答案为：10．
第12页（共20页）【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出线段的长
度从而得出三角形的面积是本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【分析】本题需先把要求的式子进行化简整理，再把x的值代入即可求出结果．
【解答】解：（x+1）2+x（x﹣2）
=x2+2x+1+x2﹣2x
=2x2+1
当 时
原式=2× +1
=
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用
是本题的关键．
20．（6分）
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【分析】首先解每个不等式，确定两个不等式的解集的公共部分即可确定不等式组的解集．
【解答】解：解第一个不等式得：x≤3；
解第二个不等式得：x＞﹣2．
故不等式组的解集是：﹣2＜x≤3．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点
把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么
这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表
示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
21．（6分）
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得出结
论．
【解答】证明：∵D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
又∵分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，
∴CF∥BE，
∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD
∴△BDE≌△CDF，
∴CF=BE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，难易程度适中，是一道很典型的题目．
第13页（共20页）22．（6分）
【考点】二元一次方程组的应用．
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【分析】由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程
组求解．
【解答】解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
，
解得： ，
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩．
【点评】此题考查的是二元一次方程组的应用，关键是确定两个相等关系列方程组求解．
23．（6分）
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
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【分析】（1）根据扇形统计图的特点可知，用1减去其他3种节水措施所占的百分比即可解答．
（2）用安装节水设备所在的扇形的百分比乘360度，即可得出正确答案．
（3）根据随机调查了本校120名同学家庭可知总数为120，减去其他4组的户数得出答案，再
画图即可解答．
（4）先求出这120名同学家庭月人均用水量，再用样本估计总体的方法即可解答．
【解答】解：（1）淘米水浇花所占的百分比为1﹣30%﹣44%﹣11%=15%．
（2）安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为360°×30%=108°．
（3）如图
（4）（1×10+2×42+3×20+4×32+5×16）÷120×3000
=9100吨．
即全校学生家庭月用水总量是9100吨．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
第14页（共20页）24．（8分）（
【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
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【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD
的长即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA=CB，
∴ =
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC= OD
∵OA=OC=2，
∴D0=4，
∴CD= =2
【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生
掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
25．（8分）
【考点】反比例函数综合题．
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【分析】（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0， ），B（2，0）分别代入，得到a，b方
程组，解出a，b，得到直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，
再代入反比例函数解析式确定m的值；
第15页（共20页）（2）由y=﹣ x+2 和y=﹣ 联立解方程组求出C点坐标（3，﹣ ），利用勾股定理计
算出OC的长，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理计算AB，得到∠OAB=30°，从而
得到∠ACO的度数；
（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，则∠COC′=90°﹣30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而
∠OBA=60°，得到△OBB′为等边三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（0， ），B（2，0）分别代入，得 ，解得k=﹣ ，b=2
∴直线AB的解析式为：y=﹣ x+2 ；
∵点D（﹣1，a）在直线AB上，
∴a= +2 =3 ，即D点坐标为（﹣1，3 ），
又∵D点（﹣1，3 ）在反比例函数 的图象上，
∴m=﹣1×3 =﹣3 ，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣ ；
（2）过C点作CE⊥x轴于E，如图，
根据题意得 ，解得 或 ，
∴C点坐标为（3，﹣ ），
∴OE=3，CE= ，
∴OC= =2 ，
而OA=2 ，
∴OA=OC，
又∵OB=2，
∴AB= =4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°；
（3）∵∠ACO=30°，
而要OC′⊥AB，
∴∠COC′=90°﹣30°=60°，
即△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为60°时，OC′⊥AB；如
图，
∴∠BOB′=60°，
∴点B'在AB上，
而∠OBA=60°，
∴BB′=2，
第16页（共20页）∴AB′=4﹣2=2．
【点评】本题考查了利用待定系数法求图象的解析式．也考查了点在函数图象上，点的横纵坐
标满足函数图象的解析式和旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
26．（10分）
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质．
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【分析】（1）假设存在一点P，使点Q与点C重合，再设AP的长为x，利用勾股定理即可用x
表示出DP、PC的长，在Rt△PCD中可求出x的值；
（2）连接AC，设BP=y，则AP=m﹣y，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，
△APD∽△BQP，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；
（3）连接DQ，把四边形PQCD化为两个直角三角形，再用m表示出PD及CQ的长，利用三
角形的面积公式即可解答．
【解答】解：（1）存在点P．
假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP=10﹣x，
在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，
在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即PC2=42+（10﹣x）2，
在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10﹣x）2，
解得x=2或8，
故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；
（2）连接AC，设BP=y，则AP=m﹣y，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴ = ，即 = ①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴ = ，即 = ②，
第17页（共20页）①②联立得，BQ= ；
（3）连接DQ，
由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m﹣4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：
S四边形PQCD =S矩形ABCD ﹣S
△DAP
﹣S
△QBP
=4m﹣ ×4×（m﹣4）﹣ ×4×（m﹣4）=16，
当Q在BC延长线上时，S= m2﹣2m（m＞8）
∵AD=4，m＞4，△PBC中PB是直角三角形的另一直角边，
∴m＞4．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到矩形的性质、等腰直角三角形的性质
及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
27．（10分）
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）从函数的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；
第18页（共20页）（2）①由直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，求得点A，代入抛物线解析式得m，由直线
AD的斜率与直线PC的斜率相等，求得点P坐标；
②求得MN的坐标，从MN与CD的位置关系解得．
【解答】解：（1）该函数的判别式=m2﹣4m+7=（m﹣2）2+3≥3
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）由直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，
∴点A（1，0）
代入二次函数式则m=3
故二次函数式为：
当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=﹣2，
即顶点C为（3，﹣2），
把x=3代入直线y=x﹣1则y=2，
即点D（3，2）
则AD=AC=2
设点P（x， ）
由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等
则
解得：x=3或x=5
则点P（3，﹣2）（与点D重合舍去）或（5，0）
经检验点（5，0）符合，
所以点P（5，0）
②设直线AB解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（3，2）代入得直线AB：y=x﹣1，
设M（a，a﹣1），N（a， a2﹣3a+ ），
当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即（| a﹣1）﹣（ a2﹣3a+ ）|=4，
解得a=4± 或3或5，
故把直线CD向右平移1+ 个单位或2个单位，向左平移 ﹣1个单位，能使得以C、
D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
第19页（共20页）【点评】本题考查了二次函数的综合运用，求得判别式总大于等于3，而证得；求得点A，代入
抛物线解析式得m，由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，而解得；平移后得到的情况，
得到M，N的坐标而解得．
第20页（共20页）
