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2023 湖南省衡阳市中考数学
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
的
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义 量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作 元，则支
出237元记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 0元 D. 元
2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方
面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左
面看到的图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 计算 的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
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6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团
员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
（ ）
A. AB＝CD B. AB∥CD C. ∠A＝∠C D. BC＝AD
9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几
何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差
分别记为 和 ，则 与 的大小关系是（ ）
测试次
1 2 3 4 5
数
1
甲 5 9 3 8
0
乙 8 6 8 6 7
A. B. C. D. 无法确定
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11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ”．假设三角形没有一
个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大于 ，这与“三角形的内
角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．上述推理使用的
证明方法是（ ）
A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法
12. 已知 ，若关于 x 的方程 的解为 ．关于 x 的方程
的解为 ．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13. 在平面直角坐标系中，点 所在象限是第________象限．
14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅
匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________．
15. 已知 ，则代数式 的值为________．
16. 已知关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是________．
17. 如图，在 中， ．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆
与斜边 所在的直线相切时，r的值为________．
18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆
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环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．
三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
20. 解不等式组：
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某
学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整
理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A： ；B：
；C： ；D： ），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
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根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ________， ________， ________．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到
90分及以上的学生人数．
22. 如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线 ，交
x轴于点D．求线段 的长．
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教
学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 米的C处，遥控无
人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的俯角为 ， 长为 米．已知目
高 为 米．
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的
（1）求教学楼 高度．
的
（2）若无人机保持现有高度沿平行于 方向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒
时，无人机刚好离开圆圆的视线 ．
24. 如图， 是 的直径， 是一条弦，D是 的中点， 于点E，交 于点F，交
于点H， 交 于点G．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 半径．
的
25. （1）[问题探究]
在
如图1， 正方形 中，对角线 相交于点O．在线段 上任取一点P（端点除外），连
接 ．
①求证： ；
②将线段 绕点P逆时针旋转，使点D落在 的延长线上的点Q处．当点P在线段 上的位置发生
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变化时， 的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究 与 的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形 换成菱形 ，且 ，其他条件不变．试探究 与 的数量
关系，并说明理由．
26. 如图，已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，连接 ，过
B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点．在直线 上方的抛物线上
是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若
不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使 ，若存在，请求出直线 的解析式；若不存在，
请说明理由．
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