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2023 湖南省衡阳市中考数学
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作 元，则支
出237元记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 0元 D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反意义的量的意义解答即可．
【详解】∵收入500元记作 元，
∴支出237元记作 元，
故选B．
【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．
2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【详解】A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
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3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方
面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左
面看到的图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选
项进行分析判断即可．
【详解】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；
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B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意．
故选择B．
【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．
5. 计算 的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．
6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团
员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看
把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，
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是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．据此可得出结果．
【详解】7358万 ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定 的值以及 的值是本题的关键．
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义 的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得 ，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题
的关键．
8. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
（ ）
A. AB＝CD B. AB∥CD C. ∠A＝∠C D. BC＝AD
【答案】A
【解析】
【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．
【详解】解：A、当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行
四边形，故此选项不合题意；
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C、当BC∥AD，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四
边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平
行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．
9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几
何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等量关系“鸡的只数 兔的只数 ”和“2 鸡的只数 兔的只数 ”即可列出方程
组．
【详解】解：设有x只鸡，y只兔，
由题意可得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差
分别记为 和 ，则 与 的大小关系是（ ）
测试次
1 2 3 4 5
数
1
甲 5 9 3 8
0
乙 8 6 8 6 7
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A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案．
【详解】解：甲的平均数为 ，
甲的方差为 ，
乙的平均数为 ，
乙的方差为 ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n个数据， ， ，… 的平均
数为 ，则方差 ，它反映了一组数据的波动大
小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ”．假设三角形没有一
个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大于 ，这与“三角形的内
角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．上述推理使用的
证明方法是（ ）
A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法
【答案】A
【解析】
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
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【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结
论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
12. 已知 ，若关于 x 的方程 的解为 ．关于 x 的方程
的解为 ．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，把 看做是直线
与抛物线 交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 交于A、B两点，直线 与抛物线
交于C、D两点，
∵ ，关于x的方程 的解为 ，关于x的方程
的解为 ，
∴ 分别是A、B、C、D的横坐标，
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∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把
一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13. 在平面直角坐标系中，点 所在象限是第________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解： 的横坐标为负数，纵坐标为负数，
在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ．
14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅
匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________．
【答案】 ##0.25
【解析】
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【分析】根据公式 计算即可．
【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴取出红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
15. 已知 ，则代数式 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．
【详解】解：原式=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．
16. 已知关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是________．
【答案】5
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【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，根据该方程一个根为 ，即可求出另
一个根．
【详解】解：根据题意可得： ，
∴ ，
∵该方程一个根为 ，令 ，
∴ ，解得： ．
为
故答案 ：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程
有两根为 ， ，则 ， ．
17. 如图，在 中， ．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆
与斜边 所在的直线相切时，r的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理，得 ，根据切线的性质，得到圆的半径等于 边上的高，根
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据直角三角形的面积不变性计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
根据切线的性质，得到圆的半径等于 边上的高，
∴ ,
∴ ，
故答案 ：为．
【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键．
18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3个正五边形的位置．要完成这一圆
环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．
【答案】10
【解析】
【分析】先求出正五边形的外角为 ，则 ，进而得出 ，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角 ，
∴ ，
∴ ，
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∴共需要正五边形的个数 （个），
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是
掌握正多边形的外角的求法．
三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解
题的关键．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
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解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某
学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整
理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A： ；B：
；C： ；D： ），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ________， ________， ________．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到
90分及以上的学生人数．
【答案】（1）84，100， ；
（2）200人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中
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出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出
c；
（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：∵一共抽取八年级学生15人，
∴中位数是排序后的第8个数据，
∵1+5=6，
∴第8个数据落在C组，
∴a第八名学生成绩，即 ；
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，
∴ ，
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，
∴ ；
故答案为：84，100， ；
【小问2详解】
解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为： （人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟
练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．
22. 如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A．
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（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线 ，交
x轴于点D．求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；
（2）由题意可得： 垂直平分 ，连接 ，如图，根据线段垂直平分线的性质可得 ，设
，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．
【小问1详解】
解：解方程组 ，得 ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意可得： 垂直平分 ，
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连接 ，如图，则 ，
设 ，
则 ，解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的尺
规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教
学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 米的C处，遥控无
人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的俯角为 ， 长为 米．已知目
高 为 米．
（1）求教学楼 的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒
时，无人机刚好离开圆圆的视线 ．
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【答案】（1）教学楼 的高度为 米
（2）无人机刚好离开视线 的时间为12秒
【解析】
【分析】（1）过点B作 于点G，根据题意可得： ， 米，
，通过证明四边形 为矩形，得出 米，进而得出
米，最后根据线段之间的和差关系可得 ，即可求解；
（2）连接 并延长，交 于点H，先求出 米，进而得出 ，则
，则 米，即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作 于点G，
根据题意可得： ， 米， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ 米，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∵ 长为 米，
∴ （米），
答：教学楼 的高度为 米．
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【小问2详解】
解：连接 并延长，交 于点H，
∵ 米， 米，
∴ 米，
∵ 米， ，
∴ ，
∴ ， 米，
∴ （米），
∵无人机以 米/秒的速度飞行，
∴离开视线 的时间为： （秒），
答：无人机刚好离开视线 的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确
画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
24. 如图， 是 的直径， 是一条弦，D是 的中点， 于点E，交 于点F，交
于点H， 交 于点G．
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（1）求证： ．
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据D是 的中点， 于点E，得到 ,得到 即
可得证．
（2）根据 ，设 ，运用勾股定理，得到
，结合 ，得到 ，运用勾股定理，得到
，从而得到 ，
在
中，利用勾股定理计算x即可．
【小问1详解】
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ， 是 的直径，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在
中， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ 的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周
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角定理，正弦函数是解题的关键．
25. （1）[问题探究]
如图1，在正方形 中，对角线 相交于点O．在线段 上任取一点P（端点除外），连
接 ．
①求证： ；
②将线段 绕点P逆时针旋转，使点D落在 的延长线上的点Q处．当点P在线段 上的位置发生
变化时， 的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究 与 的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形 换成菱形 ，且 ，其他条件不变．试探究 与 的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②不变化， ，理由见解析；③ ，理由见解析；（2）
，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明 ，即可得到结论；
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②作 ，垂足分别为点M、N，如图，可得 ，证明四边形 是矩形，
推出 ，证明 ， 得出 ，进而可得结论；
③作 交 于点E，作 于点F，如图，证明 ， 即可得出结论；
（2）先证明 ，作 交 于点E， 交 于点G，如图，则四边形 是
平行四边形，可得 ， 都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
② 的大小不发生变化， ；
证明：作 ，垂足分别为点M、N，如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
③ ；
证明：作 交 于点E，作 于点F，如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
作 于点M，
则 ，
∴ ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ；
证明：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
作 交 于点E， 交 于点G，如图，
则四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， 都是等边三角形，
∴ ，
作 于点M，则 ，
∴ ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定
和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加
辅助线是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，连接 ，过
B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点．在直线 上方的抛物线上
是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若
不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使 ，若存在，请求出直线 的解析式；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在 ，理由见详解
（3）存在点P，直线 的解析式为 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；
（2）设 与 轴交于点 ，设 ，过点 作 轴交 于点 ，作
于点 ，先证明 是等腰直角三角形，再表示出 的长度，根据二次函数的性质即可
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得出结果；
（3）分两种情况讨论，当点 在直线 下方时，与当点 在直线 上方时．
【小问1详解】
解：抛物线 与x轴交于点 ，
得 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：存在 ，理由如下：
设 与 轴交于点 ，由（1）中结论 ，得抛物线的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
， ，即 是等腰直角三角形，
，
，
，
设 ，过点 作 轴交 于点 ，作 于点 ，
，即 是等腰直角三角形，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
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得 ，解得 ，
故直线 的解析式为 ，
将直线 向下平移 个单位长度，得直线 的解析式为 ，
，
，
当 时， 有最大值 ，
此时 也有最大值， ；
【小问3详解】
解：存在点P，理由如下：
当点 在直线 下方时，
在 轴上取点 ，作直线 交抛物线于（异于点 ）点 ，
由（2）中结论，得 ，
，
，
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，
，
设直线 的解析式为 ，代入点 ，
得 ，解得 ，
故直线 的解析式为 ；
当点 在直线 上方时，如图，在 轴上取点 ，连接 ，过点 作 交抛物线于点 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入点 ，
得 ，解得 ，
故设直线 的解析式为 ，
，且过点 ,
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故设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
综上所述：直线 的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定
和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
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