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2015年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．（3分）（2015•衡阳）计算（﹣1）0+|﹣2|的结果是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3
2．（3分）（2015•衡阳）下列计算正确的是（ ）
A．a+a=2a B．b3•b3=2b3 C．a3÷a=a3 D．（a5）2=a7
3．（3分）（2015•衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何
体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•衡阳）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．2或﹣1 B．0 C．2 D．﹣1
5．（3分）（2015•衡阳）函数y= 中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1 D．x≥1
6．（3分）（2015•衡阳）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（
）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
8．（3分）（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
9．（3分）（2015•衡阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
第1页（共16页）B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
10．（3分）（2015•衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐
出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：元）50、20、50、30、25、50、
55，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．50元，30元 B．50元，40元 C．50元，50元 D．55元，50元
11．（3分）（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900
平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x﹣10）=900 B．x（x+10）=900 C．10（x+10）=900 D．2[x+（x+10）=900
]
12．（3分）（2015•衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，
测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端
A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A．50 B．51 C．50 +1 D．101
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
13．（3分）（2015•衡阳）在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是 ．
14．（3分）（2015•衡阳）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是 ．
15．（3分）（2015•衡阳）计算： ﹣ = ．
16．（3分）（2015•衡阳）方程 的解为 ．
17．（3分）（2015•衡阳）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为
（结果保留π）．
第2页（共16页）18．（3分）（2015•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、
B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为
m．
19．（3分）（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为 ．
20．（3分）（2015•衡阳）如图，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…，△A B A 都是等腰直角
1 1 2 2 2 3 3 3 4 n n n+1
三角形，其中点A 、A 、…、A 在x轴上，点B 、B 、…、B 在直线y=x上，已知OA =1，则
1 2 n 1 2 n 2
OA 的长为 ．
2015
三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21．（6分）（2015•衡阳）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b= ．
22．（6分）（2015•衡阳）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某
中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、
不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以
下问题：
（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为 ；
（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有
人．
第3页（共16页）23．（6分）（2015•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，
2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB C ，点C 在AB上．
2 2 2
①旋转角为多少度？
②写出点B 的坐标．
2
24．（6分）（2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其
中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求
选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．
25．（8分）（2015•衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人
体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如
图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
第4页（共16页）26．（8分）（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作
CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
27．（10分）（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且
点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为
（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
28．（10分）（2015•衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点
（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作
MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
第5页（共16页）第6页（共16页）2015 年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．（3分）
考点：实数的运算；零指数幂．
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专题：计算题．
分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得
到结果．
解答：解：原式=1+2=3．
故选D．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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分析：根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指
数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、a+a=2a，故本选项正确；
B、b3•b3=b3+3=b6，故本选项错误；
C、a3÷a=a3﹣1=a2，故本选项错误；
D、（a5）2=a5×2=a10，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌
握运算性质和法则是解题的关键．
3．（3分）
考点：简单组合体的三视图．
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专题：常规题型．
分析：根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
解答：解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，
故选：C．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．
4．（3分）
考点：分式的值为零的条件．
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分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不
可．据此可以解答本题．
解答：解：由题意可得：x﹣2=0且x+1≠0，
解得x=2．
故选：C．
点评：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分
母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．（3分）
考点：函数自变量的取值范围．
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分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1．
故选：B．
点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第7页（共16页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．（3分）
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
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分析：根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的
解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示．
解答：
解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，其数轴表示为：
故选A
点评：不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的
相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这
个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，
无解．
7．（3分）
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
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专题：分类讨论．
分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的
定义列式计算即可得解．
解答：解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
8．（3分）
考点：根与系数的关系．
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分析：根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
解答：解：设一元二次方程的另一根为x ，
1
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x =﹣3，
1
解得：x =﹣2．
1
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，则
1 2
x +x =﹣ ，x •x = ．
1 2 1 2
9．（3分）
考点：命题与定理．
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专题：计算题．
分析：根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平
行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行
四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形
是正方形，则可对对D进行判定．
解答：解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．
故选A．
点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论
第8页（共16页）两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．（3分）
考点：众数；中位数．
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分析：根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个
数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
解答：解：50出现了3次，出现的次数最多，
则众数是50；
把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，
最中间的数是50，
则中位数是50．
故选C．
点评：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数
据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
11．（3分）
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
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专题：几何图形问题．
分析：首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．
解答：解：设绿地的宽为x，则长为10+x；
根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900．
故选B．
点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长×
宽是解决本题的关键，此题难度不大．
12．（3分）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据
DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．
解答：解：设AG=x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG= ，
∴EG= = x，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG= ，
∴CG= = x，
∴ x﹣ x=100，
解得：x=50 ．
则AH=50 +1（米）．
故选C．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求
解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
13．（3分）
考点：有理数大小比较．
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分析：有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两
个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解答：解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0，
第9页（共16页）所以在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正
数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而
小．
14．（3分）
考点：平行线的性质．
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分析：两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答．
解答：解：∵a∥b，∠1=120°，
∴∠2=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
故答案为：60°
点评：本题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．
15．（3分）
考点：二次根式的加减法．
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分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二
次根式即可．
解答：解：原式=2 ﹣ = ．
故答案为： ．
点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
16．（3分）
考点：解分式方程．
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专题：计算题；压轴题．
分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为：x（x﹣2），去分母，化为整
式方程求解．
解答：解：方程两边同乘x（x﹣2），得x﹣2=3x，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是方程的解．
点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．（3分）
考点：扇形面积的计算．
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分析：根据扇形的面积公式即可求解．
解答：
解：扇形的面积= =3πcm2．
故答案是：3π．
点评：本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．
18．（3分）
考点：三角形中位线定理．
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专题：应用题．
分析：根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．
解答：解：∵点M、N是OA、OB的中点，
∴MN是△ABO的中位线，
∴AB=AMN．
又∵MN=20m，
∴AB=40m．
故答案是：40．
点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的
一半．
19．（3分）
考点：平方差公式．
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专题：计算题．
第10页（共16页）分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：∵a+b=3，a﹣b=﹣1，
∴原式=（a+b）（a﹣b）=﹣3，
故答案为：﹣3．
点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
20．（3分）
考点：一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
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专题：规律型．
分析：
根据规律得出OA = ，OA =1，OA =2，OA =4，OA =8，所以可得OA =2n﹣2，进而解答
1 2 3 4 5 n
即可．
解答：
解：因为OA =1，所以可得：OA = ，
2 1
进而得出OA =2，OA =4，OA =8，
3 4 5
由此得出OA =2n﹣2，
n
所以OA =22013，
2015
故答案为：22013
点评：此题考查一次函数图象上点的坐标，关键是根据规律得出OA =2n﹣2进行解答．
n
三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21．（6分）
考点：整式的混合运算—化简求值．
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专题：计算题．
分析：原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a
与b的值代入计算即可求出值．
解答：解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，
当a=﹣1，b= 时，原式=2+2=4．
点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
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分析：（1）用1减去其它各组的百分比，据此即可求解；
（2）根据优秀的人数是8，所占的百分比是16%即可求得调查的总人数，利用总人数乘
以对应的百分比即可求解；
（3）利用总人数400乘以对应的百分比即可求解．
解答：解：（1）“合格”的百分比为1﹣12%﹣16%﹣32%=40%，故答案是：40%；
（2）抽测的总人数是：8÷16%=50（人），
则抽测结果为“不合格”等级的学生有：50×32%=16（人）．
故答案是：16；
（3）该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有400×32%=128（人）．
故答案是：128．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（6分）
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
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分析：（1）分别得到点A、B、C关于x轴的对称点，连接点A ，B ，C ，即可解答；
1 1 1
（2）①根据点A，B，C的坐标分别求出AC，BC，AC的长度，根据勾股定理逆定理得到
∠CAB=90°，即可得到旋转角；
②根据旋转的性质可知AB=AB =3，所以CB =AC+AB =5，所以B 的坐标为（6，2）．
2 2 2 2
解答：解：（1）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）关于x轴的对称点分别为A（3，﹣2），B（3，﹣5），
1 1
C （1，﹣2），
1
第11页（共16页）如图所示，
（2）①∵A（3，2）、B（3，5）、C（1，2），
∴AB=3，AC=2，BC= ，
∵ ，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠CAB=90°，
∵AC与AC 的夹角为∠CAC ，
2 2
∴旋转角为90°；
②∵AB=AB
2
=3，
∴CB =AC+AB =5，
2 2
∴B 的坐标为（6，2）．
2
点评：本题考查轴对称及旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的
特点，根据题意找到各点的对应点．
24．（6分）
考点：列表法与树状图法．
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专题：计算题．
分析：列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况
数，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
男 男 女 女
男 ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） ﹣﹣﹣﹣ （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有8
种，
则P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（8分）
考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．
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分析：（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．
解答：解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
第12页（共16页）当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y= ，
将（4，8）代入得：8= ，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y= ；
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4= ，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
点评：此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
26．（8分）
考点：切线的判定；菱形的判定．
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分析：（1）连接AC，由题意得 = = ，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出
∠OCE=90°，即可证得结论；
（2）四边形AOCD为菱形．由 = ，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行
四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边
形是菱形）；
解答：解：（1）连接AC，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴ = = ，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠OCE=∠E，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）四边形AOCD为菱形．
理由是：
∵ = ，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形．
点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性
质，是中学阶段的重点内容．
第13页（共16页）27．（10分）
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物
线解析式；
（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到
AB2+AM2=BM2，可判定△ABM为直角三角形；
（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方
程，根据根的判别式可求得m的范围．
解答：解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（﹣1，0），
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，
把A、B两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣1；
（2）△ABM为直角三角形．理由如：
由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），
∴AM= ，AB= = =3 ，BM= =2 ，
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，
∴△ABM为直角三角形；
（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即
y=x2﹣2mx+m2+2m，
联立y=x，可得 ，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，
∵平移后的抛物线总有不动点，
∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，
∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，
解得m≤ ，
即当m≤ 时，平移后的抛物线总有不动点．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其
逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在
（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的
条件是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．
28．（10分）
考点：四边形综合题．
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分析：（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得
出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；
（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证
出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；
（3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式 ，得出AD，求出BD，求出四边形
BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．
解答：解：（1）作ME⊥x轴于E，如图1所示：
则∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
第14页（共16页）∵PM⊥CP，
∴∠CPM=90°，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中， ，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=4，
∴OE=t+4，
∴点M的坐标为：（t+4，t）；
（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：
连接AM，如图2所示：
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴四边形AEMF是正方形，
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN=OA=4；
（3）∵ME∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴ ，
即 ，
∴AD=﹣ t2+t，
∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣ t2+t）= t2﹣t+4，
∵MN∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四边形BNDM的面积S= MN•BD= ×4（ t2﹣t+4）= （t﹣2）2+6，
∴S是t的二次函数，
∵ ＞0，
∴S有最小值，
当t=2时，S的值最小；
∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小．
第15页（共16页）点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行
四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的
最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、
平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果．
第16页（共16页）
