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2017 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）要使 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
3．（3分）中国超级计算机神威“太湖之光”，峰值计算速度达每秒12.5亿亿次，为世界首台
每秒超10亿亿次运算的计算机，用科学记数法表示12.5亿亿次/秒为（ ）亿次/秒．
A．12.5×108 B．12.5×109 C．1.25×108 D．1.25×109
4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么
∠ACB的度数是（ ）
A．26° B．30° C．32° D．64°
5．（3分）如图，小聪把一块含有60°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上，并测
得∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．60°
6．（3分）下面调查方式中，合适的是（ ）
A．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
B．调查湘江的水质情况，采用抽样调查的方式
C．调查CCTV﹣5《NBA 总决赛》栏目在我市的收视率，采用普查的方式
D．要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式
7．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．x6÷x2=x3 C．x2•x3=x5 D．（﹣x3）3=x6
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件
第1页（共21页）不正确的是（ ）
A．AB=CDB．BC∥AD C．∠A=∠C D．BC=AD
9．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民
2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区
居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．200（1+2x）=1000 B．200（1+x）2=1000 C．200（1+x2）=1000 D．200+2x=1000
10．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．不在同一直线上的三点确定一个圆
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．正六边形的内角和是720°
D．角的边越大，角就越大
11．（3分）菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
12．（3分）如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且
OA⊥OB，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）﹣7的相反数是 ．
14．（3分）某班7名同学在“课间一分钟跳绳”比赛中，成绩（单位：个）分别是：150，182，
182，180，201，175，181，这组数据的中位数是 ．
15．（3分）化简： ﹣ = ．
第2页（共21页）16．（3分）化简： ﹣ = ．
17．（3分）已知函数y=﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y ），B（a，y ），其中a＞2，则y 与y 的大小
1 2 1 2
关系是y y （填“＜”、“＞”或“=”）
1 2
18．（3分）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图所示放置，点A ，A ，A 和C ，C ，C ，…
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3
分别在直线y=x+1和x轴上，则点
B 的纵坐标是 ．
2018
三、解答题（本大题共9个小题，满分66分）
19．（5分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A B C ；
1 1 1
（2）写出AA 的长度．
1
20．（5分）某校300名学生参加植树活动，要求每人植树2﹣5棵，活动结束后随机抽查了20
名学生每人的植树量，并分为四类：A类2棵、B类3棵、C类4棵、D类5棵，将各类的人数绘
制成不完整的条形统计图（如图所示），回答下列问题：
（1）D类学生有多少人？
第3页（共21页）（2）估计这300名学生共植树多少棵？
21．（6分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
22．（6分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目
为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多
少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比
赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”
的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
23．（6分）衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，
第4页（共21页）在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔
顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．（结果精确到0.1米）
24．（8分）为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公
司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y
（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式；
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
25．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=3CD，求∠A的大小．
第5页（共21页）26．（10分）如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．
①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；
②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．
27．（12分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺
时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，
第6页（共21页）GF交CD延长线于点N．
（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；
（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；
（3）连结EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．
第7页（共21页）2017年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
2．（3分）
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】二次根式的被开方数x﹣1≥0．
【解答】解：依题意得：x﹣1≥0．
解得x≥1．
故选：B．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的
被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将12.5亿用科学记数法表示为：1.25×109．
故选D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）
【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有
第8页（共21页）【分析】根据圆周角定理可得∠ACB= ∠AOB，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠ACB= ∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ×64°=32°．
即∠ACB的度数是32°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所
对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
5．（3分）
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3
代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）
【考点】V2：全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、调查你所在班级同学的身高，采用普查，故A不符合题意；
B、调查湘江的水质情况，采用抽样调查的方式，故B符合题意；
C、调查CCTV﹣5《NBA 总决赛》栏目在我市的收视率，采用抽样调查，故C不符合题意；
D、要了解全市初中学生的业余爱好，采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
第9页（共21页）的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价
值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．（3分）
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数
不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后
利用排除法求解．
【解答】解：A、由于2x和3y不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、由于x6÷x2=x4≠x3，故本选项错误；
C、由于x2•x3=x2+3=x5，故本选项正确；
D、由于（﹣x3）3=﹣x9≠x6，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定
要记准法则才能做题．
8．（3分）
【考点】L6：平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；
当BC=AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；
当∠A=∠C时，可求得∠B=∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正
确；
当BC∥AD时，由两组对边分别的四边形为平行四边形可知该条件正确；
故选D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
9．（3分）
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2015年到
2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2017地区居民年
人均收入，然后根据已知可以得出方程．
【解答】解：设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
第10页（共21页）那么根据题意得2017年年收入为：200（1+x）2，
列出方程为：200（1+x）2=1000．
故选：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a
为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10．（3分）
【考点】O1：命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；
B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；
C、正六边形的内角和是720°，真命题；
D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．
故选D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
11．（3分）
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，求得
OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．
【解答】解：如图，
∵菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
∴OA= AC=6，OB= BD=8，AC⊥BD，
∴AB= =10．
即菱形的边长是10．
故选A．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的
关键．
12．（3分）
第11页（共21页）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，利用相似三角形的判定定理得
出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S ：S =1：4，进而可得出结
△AOM △BON
论．
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象上，
∴S ：S =1：4，
△AOM △BON
∴AO：BO=1：2，
∴OB：OA=2．
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数k的几何意义
是解答此题的关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义作答．
【解答】解：﹣7的相反数是7．
【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
14．（3分）某班7名同学在“课间一分钟跳绳”比赛中，成绩（单位：个）分别是：150，182，
第12页（共21页）182，180，201，175，181，这组数据的中位数是 18 1 ．
【考点】W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】先把这组数据按从小到大的顺序排列，再求出中间数即可．
【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：150，175，180，181，182，182，201，处于中
间位置的数是181，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是181．
故答案为181．
【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数
的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15．（3分）
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式=2 ﹣
= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简
二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解
答此题的关键．
16．（3分）
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】利用完全平方公式和提取公因式法对 、 的分子分别进行因式分解，然后通过约
分进行化简，最后计算减法即可．
【解答】解： ﹣
= ﹣
=x+1﹣x﹣1
=0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了分式的加减法．解题时，需要熟练掌握因式分解的方法．
17．（3分）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
第13页（共21页）【分析】先根据函数的解析式得出函数的对称轴是直线x=1，开口向下，再进行比较即可．
【解答】解：∵函数y=﹣（x﹣1）2，
∴函数的对称轴是直线x=1，开口向下，
∵函数图象上两点A（2，y ），B（a，y ），a＞2，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的图象和性质内容是解
此题的关键．
18．（3分）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点B 、B 、B 、…的坐
1 2 3
标，根据点坐标的变化找出点B 的坐标，依此即可得出结论．
n
【解答】解：当x=0时，y=x+1=1，
∴点A 的坐标为（0，1）．
1
∵A B C O为正方形，
1 1 1
∴点C 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（1，1）．
1 1
同理，可得：B （3，2），B （7，4），B （15，8），
2 3 4
∴点B 的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
n
∴点B 的坐标为（22018﹣1，22017）．
2018
故答案为：22017．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根
据点坐标的变化找出变化规律“点B 的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）”是解题的关键．
n
三、解答题（本大题共9个小题，满分66分）
19．（5分）
【考点】P7：作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）先作出△ABC各顶点关于直线BM对称的点，再画出△A B C 即可；
1 1 1
（2）根据图形中A，A 的位置，即可得到AA 的长度．
1 1
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）由图可得，AA =10．
1
第14页（共21页）【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题时注意：几何图形都可看做是有点组
成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始．
20．（5分）
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据进行计算即可得到D类学生数量；
（2）先求得调查的20人的植树量的平均数，再乘以总人数300即可．
【解答】解：（1）由图可得，D类学生有20﹣4﹣8﹣6=2（人）；
（2）（4×2+8×3+6×4+2×5）÷20=3.3，
∴这300名学生共植树3.3×300=990（棵）．
【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．一般来说，用样本去估计总体时，样
本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21．（6分）
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①，得x≤2．
解不等式②，得x＞1，
故不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（6分）
第15页（共21页）【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中
“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率= ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率= ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（6分）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】首先证明AB=BC=10.4，在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意∠CAB=30°，∠CBD=60°，DF=AE=1.5米
∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=BC=10.4米，
在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=10.3• ≈8.9米，
∴来雁塔的高度=CD+DF=8.9+1.5=10.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角
三角函数的定义是解题的关键．
24．（8分）
【考点】FH：一次函数的应用．
第16页（共21页）【分析】（1）根据题意和函数图象可以分别求出手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）各段
对应的函数解析式；
（2）根据题意可以求得会员卡支付对应的函数解析式，再根据函数图象即可解答本题．
【解答】解：（1）当0≤x＜0.5时，y=0，
当x≥0.5时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=kx+b，
，解得， ，
即当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=x﹣0.5，
由上可得，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y= ；
（2）设会员卡支付对应的函数解析式为y=ax，
则0.75=a×1，得a=0.75，
即会员卡支付对应的函数解析式为y=0.75x，
令0.75x=x﹣0.5，得x=2，
由图象可知，当x＞2时，会员卡支付便宜，
答：当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算，
当x=2时，李老师选择两种支付一样，
当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利
用数形结合的思想和一次函数的性质解答，这是一道典型的方案选择问题．
25．（8分）
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠1，根据三角形的中位线的性质得到
OE∥AD，得到∠2=∠3，根据全等三角形的性质得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O
的切线；
（2）由AB为⊙O的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC2=AC•CD，得到
tan∠A= = ，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AO=OB，E为BD的中点，
∴OE∥AD，
第17页（共21页）∴∠1=∠3，∠A=∠2，
∴∠2=∠3，
在△COE与△BOE中， ，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE=∠ABD=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴ ，
∴BC2=AC•CD，
∵AC=3CD，
∴BC2= AC2，
∴tan∠A= = ，
∴∠A=30°．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；KH：等腰三角形的性质．
【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可
解决问题；
（2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为
y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，可得抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由
第18页（共21页），消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，可得16m2+16m=0，求出m的值即可解决
问题．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°，
∴AO=BO，
∴ •OA•OB=8，
∴OA=OB=4，
∴A（4，0），B（0，4）．
（2）①当等C在点A的左侧时，易知C（﹣4，0），B（0，4），A（4，0），
顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax2+4，（4，0）代入得到a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+4．
当点C在点A的右侧时，△ABC是以BC为腰的等腰三角形，这个显然不可能，此种情形不存
在，
综上所述，抛物线的解析式为y=﹣ x2+4．
②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），
设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，
∴抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）x，
由 ，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，
由题意△=0，∴16m2+16m=0，
∵m≠0，
∴m=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x，
由 ，解得 ，
∴N（2，2）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的性质、待定系数法、一元二次方程的判
别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．（12分）
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可
证明．
第19页（共21页）（2）有最小值．设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，由△ECB∽△HEA，推出 = ，可得 = ，推
出y=x2﹣x+1=（x﹣ ）2+ ，由a=1＞0，y有最小值，最小值为 ．
（ 3 ） 只 要 证 明 △ CFN≌ △ CEM ， 推 出 ∠ FCN=∠ ECM ， 由 ∠ MCN=45° ， 可 得
∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设
BE=BG=a，则GC=GE= a，可得a+ a=1，求出a即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠DCB，
∴∠DCF=∠BCE，
∴△DCF≌△BCE，
∴∠CDF=∠B=90°，
∴∠CDF+∠CDA=180°，
∴点A、D、F在同一条直线上．
（2）解：有最小值．
理由：设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，
∵四边形CFGE是矩形，
∴∠CEG=90°，
∴∠CEB+∠AEH=90°
CEB+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠AEH，
∵∠B=∠EAH=90°，
∴△ECB∽△HEA，
∴ = ，
∴ = ，
∴y=x2﹣x+1=（x﹣ ）2+ ，
∵a=1＞0，
∴y有最小值，最小值为 ．
∴DH的最小值为 ．
第20页（共21页）（3）解：∵四边形CFGE是矩形，CF=CE，
∴四边形CFGE是正方形，
∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，
∵NM∥EF，
∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，
∴∠GMN=∠GNM，
∴GN=GM，
∴FN=EM，
∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，
∴△CFN≌△CEM，
∴∠FCN=∠ECM，∵∠MCN=45°，
∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，
在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE= a，
∴a+ a=1，
∴a= ﹣1，
∴AE=AB﹣BE=1﹣（ ﹣1）=2﹣ ．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定
和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决
问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
第21页（共21页）
