文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~3.2。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 经过点 ，且法向量 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知直线l的法向量是 ，可得其斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：C
2．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A．5 B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意可得 ，则 ，解之可得 .
故选：D．
3．已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】C
【详解】由题得 ，
所以 到平面 的距离为 ，
故选：C.
4．以点 为圆心，并与 轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意，圆心坐标为点 ，半径为 ，
则圆的方程为 ．故选：D．
5．空间四边形 中， ， ， ，点 在 上， ，点 为 的中点，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，连结 ，因 ，点 为 的中点，则 ，于是， .
故选：B.
6．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，上的顶点为P，且 ，则
此椭圆长轴为（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】D
【详解】因为椭圆 的两个焦点分别为 ，则 ，
又上顶点为P，且 ，所以 ，所以 ，故长轴长为12.
故选：D
7．如图，平行六面体 的各棱长均为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知可得 ，
，两边平方得，
，
所以 .
故选：B.
8．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 的右支上， 与 的
一条渐近线平行，交 的另一条渐近线于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】令 ，由对称性，不妨设直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，即点 的坐标为 ，
由 为 的中点， ，得 为 的中点，则点 的坐标为 ，
代入双曲线的方程，有 ，
即 ， ，解得 ，所以双曲线 的离心率为 ．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角为
B．若直线 经过第三象限，则 ，
C．点 在直线 上
D．存在 使得直线 与直线 垂直
【答案】ACD
【详解】对于A：直线 的斜率 ，所以该直线的倾斜角为 ，故A正确；
对于B：当 ， 时，直线 经过第三象限，故B错误；
对于C：将 代入方程，则 ，即点 在直线上，故C正确；
对于D：若两直线垂直，则 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
10．已知直线 与双曲线 交于 两点， 为双曲线的右焦点，且
，若 的面积为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为 D．
【答案】BCD
学科网（北京）股份有限公司【详解】
由题意知： ，不妨取 ，由 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以以 为直径的圆过 点，
圆心为 ，半径为 ，所以圆的方程为： ，
设 ，连接 ，则四边形 为矩形，则 ，
则 的面积为： ，且 ，
联立 ，解得 ，
再由 ，
所以离心率 ，故A错误，B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为： ，故选项C正确；
对于D，不妨设点 在第一象限，由对称性可知 ，
，代入 中，得 ，
所以 ，由对称性知：当 ， ，所以 ，故选项D正确.
故选：BCD.
11．如图，在棱长为2的正方体 中， 均为所在棱的中点，动点P在正方
体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）
A． 在 中点时，平面 平面
B．异面直线 所成角的余弦值为
C． 在同一个球面上
D． ，则 点轨迹长度为
【答案】ACD
【详解】对于选项A：取 的中点 ，连接 ，
在棱长为2的正方体 中， 均为所在棱的中点，
易知 ， 平面 ， 在面 内，
所以 ， 面 ， 面 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 面 ， 面 ，所以 ，
连接 ， 是正方形， ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
因为 面 ， 面 ， ，
所以 面 ，因为 面 ，所以 ，
综上， 面 ， 面 ，又 ，
所以 面 ， 面 ，故平面 平面 ，故A正确；
对于选项B：取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 是异面直线 所成的角，
又 ，则 ，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点 ，则 ，
所以 在以 为球心，以 为半径的球面上，故C正确；
对于选项D：因为 ，且 为 的中点，
所以 ，故 ，
所以 点轨迹是过点 与 平行的线段 ，且 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 和直线 垂直，则 ．
【答案】【详解】易知直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ,
由两直线垂直可得 ，解得 .
故答案为：
13．已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 ，若
的面积为9，则 的值为 ．
【答案】3
【详解】
，
，①
又
② ①-②得： ，
的面积为9， ，
故答案为：3.
14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面
为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 中， 分别是 ， 的中点， 是 的中点，
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 .
【答案】
【详解】解：连接 ，如图所示：
因为 是 的中点， 分别是 ， 的中点，
所以
,
又因为 ，所以 ，
所以 .故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知 的两顶点坐标为 ， ， 是边 的中点， 是 边上的高．
(1)求 所在直线的方程；
(2)求高 所在直线的方程.
【详解】（1）因为 是边 的中点，所以 ，所以直线 的斜率 ，
所以 所在直线的方程为： ，即 ，
（2）因为 是边AB的中点，所以 ，
因为 是 边上的高，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因此高 所在直线的方程为： ，即 .
16．（15分）如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 的长为
，且 .求：
(1) 的长；
(2)直线 与 所成角的余弦值.
【详解】（1）由题意得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
；
（2） ，
所以
，
， ,
，
故 ，
由于异面直线所成角的范围为大于 小于等于 ，
所以直线 与AC所成角的余弦值为 .
17．（15分）已知平面直角坐标系 内两定点 ，满足 的点 形成的曲线记
为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与曲线 相交与 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程（ 为坐标原点）
【详解】（1）由题设知 ，两边化简得 ，
所以点 的轨迹 的方程为（2）由题意知直线 的斜率一定存在，设 ，即 ，
因为原点到直线 的距离 ， ，
所以 ，当且仅当 时，取得等号，
又当 时，由 ，得到 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
18．（17分）如图，已知 平面 ，底面 为正方形， ，M，N分别为 ，
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）以 为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司则 ,
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
因为 ，所以 平面 ；
（2）
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为：
．
19．（17分）已知椭圆 的右焦点 的坐标为 ，且椭圆上任意一点到两焦点的
距离之和为4.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，试问 的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）由题意可知： ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，所以 ，即 ， ，所以椭圆的标准方程为： .
（2）由题意可知直线 的斜率不为 ，所以设直线 的方程为： ，
与椭圆的方程联立，得
消去 ，得 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
由根与系数的关系，得 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
即直线 与 轴交于一个定点，记为 ，
则 ，等号成立当且仅当 .
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