数学答案_2025年3月_2503032025届黑龙江省齐齐哈尔市高三下学期一模_2025届黑龙江省齐齐哈尔市高三下学期一模数学

一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求．） 1.【答案】D 【详解】因为集合A{0,1,2}，B{1,0,1}，所以AB-1,0，1,2 . 故选：D. 2.【答案】A 2 2(1i) 2(1i) 【详解】z   1i，z 1i，z 对应的点为(1,1)，位于第一象限 1i (1i)(1i) 2 故选A 3.【答案】A 1 n 1 【详解】双曲线的渐近线方程为 y  x，  ，即m4n，故选A 2 m 4 4.【答案】C 【详解】圆柱的母线长为4，底面半径为2，圆柱的体积为V r2l 22416， 故选C y D 5.【答案】C A 【详解】如图平面直角坐标系，，A(0,3),B(0,0),C(3,0)，  1   M AM  MC ，M(1,2)， BM MD，D(2,4)， 2   B x DA(2,1) DC (1,4)， C   DADC  (2)1(1)(4) 2 ，故选C 6．【答案】C 【详解】对于A选项，根据人数分布可知1416184850，所以所抽取的100名同学的成绩的中 位数不小于120，所以A选项不正确； 对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为141618307880， 故所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例低于80%，所以B选项不正确； 对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为1509060，极差最小值大于14010040， 所以C选项正确； 试卷第1页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}1490161001811030120201302140 对于D选项，成绩的平均分数x  113.2， 100 所以D选项不正确， 故选：C. 7．【答案】A  1 2 【详解】∵PN  PP'，∴P,N,P'三点共线，且 P'N  PP'，又∵PP' y轴， 3 3 3  ∴设Nx,y ，则P'0,y ，P x,y， 2  y2 3x 2 y2 9x2 y2 ∵点P在x2 上， ∴    1，即  1. 2  2  2 4 2 故选：A 8．【答案】C 【详解】因为yxx(x0)，两边取对数，可得lnylnxx，即lny xlnx， 令gxxlnx(x0)，则g'xlnx1gxlnx1，  1 当x0, 时，gxlnx10，gx 为减函数，  e 1  当x ,时，gxlnx10，gx 为增函数， e  1 1 ∴gx  g  ， min e e ∴lny   1 ，  1 ，y的最小值为  1 ， ye e e e e 故选：C. 二、多项选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．【答案】BCD 1 1   【详解】 f x sin2x，gx sinx . 2 2  4 k  令 f x0，则x ，kZ；令 ，则x k，kZ， 2 4 =0 试卷第2页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}两个函数的零点不相同，故选项A不正确. 1 1 f x的最大值是 ，gx 的最大值是 ，两个函数的最大值是相同的，故选项B正确. 2 2 2 由正弦型函数的最小正周期为 可知 f x最小正周期，gx 最小正周期2，  故选项C正确.  k  曲线 对称轴方程为x  ，kZ，当k 0时 f(x)有一条对称轴为x ，曲线 4 2 4 =   = 的对称轴方程为x k，kZ，当k 0时g(x)有一条对称轴为x ，所以两个函数 4 4  的图象存在相同的对称轴：x ，故选项D正确. 4 故选：BCD. 10．【答案】AC 【详解】对于A，设P(x,y)，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的2倍， 1 y2 所以 (x2)2y2 2 x ，化简可得x2 1，故选项A正确； 2 3 y2 对于B，由P的轨迹方程是x2 1可知， 3xy0为其一条渐近线，二者没有公共点故选项B 3 错误； 1 1 1 对于C，可知M(2,0)， PQ  PM  ， PM 1，PQ 1  故选项C正确； min 2 min min 2 2 对于D，由C:x2y22x0 可得(x1)2 y2 1， 即圆心为(1,0)，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C有交点，故选项D错误. 故选：AC. 11．【答案】BCD 【详解】解：因为 f xx33x2mx3，所以 fx3x26xm， 对于A，当m3时，令 fx3x26xm0，则3612m0， 所以当m3时， fx3x26x33(x1)2 0，所以 f x单调递增， 试卷第3页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}此时函数没有两个极值，故A错误； 对于B，设过点 的直线与 切于点(x ,x33x2mx 3)，则切线方程为 0 0 0 0 0,1 = y(x33x2mx 3)(3x26x m)(xx )，代入 ，得 0 0 0 0 0 0 0,1 1(x33x2mx 3)x (3x26x m)， 0 0 0 0 0 0 整理得：2x33x240， 0 0 令g(x)2x3 3x2 4，则g(x)6x2 6x6x(x1)，所以当x(,1)时，g(x)0，g(x)单 调递增； 当x(1,0)时，g(x)0，g(x)单调递减； 当x(0,)时，g(x)0，g(x)单调递增； 又g150,g040，所以y g(x)只有一个零点，即方程2x33x240只有一个解， 0 0 所以过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条，故B正确； 0,1 = 对于C，当m1时， f xx33x2x3，又因为b是a与c的等差中项， 所以直线axbyc0即为直线axbya2b0， 所以直线过定点(1,2)，且此点在曲线y f(x)上， 设函数y f(x)的对称中心为(a,b),则有 f(2ax) f(x)2b， 即(2ax)33(2ax)2(2ax)3x33x2x32b ， 整理得：6(a1)x212a(a1)x 8a3 12a2 2a6  2b ， 试卷第4页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}6(a1)0  a1 所以12a(a1)0 ，解得 ，  b2 8a312a22a62b 所以函数的关于点(1,2)对称， 设x  x  x ，则有x x 122,x 1，所以x x x 3，故C正确； 1 2 3 1 3 2 1 2 3 对于D，当m0时， f xx33x23， fx3x26x， 所以当x(,2)时， f(x)0， f(x)单调递增； 当x(2,0)时， f(x)0， f(x)单调递减；当x(0,)时， f(x)0， f(x)单调递增； 1 19 所以 在(1, )上单调递减，所以 f x( ,1)， 2 8 = 3 1 1 7 7 令t  x ，当x(1, )时，t( ,1)，则y f t 在t( ,1)上单调递减， 2 4 2 4 4 53 3 1 所以 f t(1, )，所以3 f x f t1，即3 f x f  x 1，故D正确. 64 2 4 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【答案】4 a 1 【详解】a 2a 1n2,a 12a 1, n 2. n n1 n n1 a 1 n1 a 1，则a 12,数列 a 1 是以2为首项，2为公比的等比数列. 1 1 n a 1 24 a 122n12n，所以 4  22 4. n a 1 22 2 故答案为：4 试卷第5页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}13.【答案】3 3cosC 3cosC 1 3cosCcosA 3cosCcosB cosC 【详解】      ， tan A tanB tanC sin A sinB sinC cosA cosB 1 3(  ) （tanC存在，cosC 0） sin A sinB sinC cosAsinBsin AcosB 1 3sin(AB) 1 3sinC 1 3      sin AsinB sinC sin AsinB sinC sin AsinB sinC sin AsinB ab 3  3 sin2C c2 1 14．【答案】 /0.125 8 【详解】在如图的44的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则所有的可能为： 11,22,33,44,11,22,42,35,11,32,23,44,11,32,42,24,11,42,23,35,11,42,33,24, 20,13,33,44,20,13,42,35,20,32,13,44,20,32,42,15,20,42,13,35,20,42,33,15 , 31,13,23,44,31,13,42,24,31,22,13,44,31,22,42,15,31,42,13,24,31,42,23,15， 41,13,23,35,41,13,33,24,41,22,13,35,41,22,33,15,41,32,13,24,41,32,23,15，共24 种可能； 其中满足“选中方格中的4个数之和为109”的可能为： 11,32,42,24,20,32,13,44,20,32,42,15 ，共3种可能； 3 1 故所求为  . 24 8 1 故答案为： . 8 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）  【答案】（1）g(x)sin(2x+ ） （2）4 3 x 1 1cosx 1 【详解】（1）由题知 f(x) 3cos2  sinx  3  sinx 2 2 2 2 试卷第6页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}3 1 3  3  cosx sinx sin(x ) 3分 2 2 2 3 2 3  g(x) f(x) sin(x ) 4分 2 3 2 g(x)的最小正周期为，0， ，2，6分   g(x)sin(2x+ ）7分 3   （2）g(A)sin(2A+ ）=0，A为锐角，A 9分 3 3 1 1  3 S  bcsinA bcsin  bc 3 ，bc 4，11分 ABC 2 2 3 4 bc 2 bc ，bc 4 当且仅当bc时，取bc最小值413分 （注：没有写当且仅当bc扣1分） 16．（本小题满分15分） 【答案】(1)y x (2)m 2 e e 2 【详解】（1）当m1时， f x2lnxx2， fx 1x0，2分 x 则 f 11, f11，4分 所以所求切线方程为y1 x1，即y x；5分 （2）方法1：x0,, f x1，即2lnxmx21， 2lnx1 即mx2lnx1，即m 对x0, 恒成立，7分 x 2lnx1 22lnx1 12lnx 令gx x0，则gx  ，9分 x x2 x2 当0x e时，gx0，当x e，gx0，11分 所以函数gx 在  0, e  上单调递增，在  e,  上单调递减，13分 试卷第7页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}所以gx  g  e   2 e ，14分 max e 2 e 所以m .15分 e 方法2：若m0，当xe时， f(e)2lneem24em1， 不合题意7分 2 若m0， f(x) m，8分 x 2 2 当0 x ， f(x)0，当x 时， f(x)0， m m 2 2 所以函数 f(x)在(0, )上单调递增，在( ,)上单调递减，12分 m m 2 2 所以 f(x)  f( )2ln 13分 max m m 2 2 e 所以2ln 1，即：m 15分 m e 17．（本小题满分15分） 10 【答案】(1)证明见解析 (2) 10 【详解】（1）由题知AA 面ABC，又AB面ABC，所以AA  AB，1分 1 1 又ABAC，AA AC  A，AA,AC 面ACC A ，所以AB面ACC A ，3分 1 1 1 1 1 1 又AC 面ACC A ，所以AB AC，4分 1 1 1 1 又ACAA 2，所以四边形ACC A 是正方形，得到AC AC ，5分 1 1 1 1 1 又ABAC A，AB,AC 面ABC ，所以AC平面ABC .6分 1 1 1 1 1 （2）如图，建立空间直角坐标系，因为AB1,AC AA 2， 1 则A(0,0,2)，A(0,0,0),B(1,0,2),C (0,2,0) ，7分 1 1 uuur    得到AB(1,0,2)，AC (0,2,0)，AC (0,2,2)，AB(1,0,0) 1 1 1 1 试卷第8页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}平面ABC 与平面ABC 夹角为， 1 1 1     nABx2z 0 设平面A 1 BC 1 的法向量为nx,y,z ，则   1  ，令x2，则z 1,y0， nAC 2y0 1 1  所以平面A 1 BC 1 的法向量为n2,0,1 ， 10分     mAB x 0 设平面ABC 1 的法向量为mx 0 ,y 0 ,z 0  ，则   0 ，令y 0 1，则z 0 1， mAC 2y 2z 0 1 0 0  所以平面ABC 1 的法向量为m0,1,1 ， 13分     mn 1 10 则cos cos  m   n   2 5  10 ， 14分 10 平面ABC 1 与平面A 1 BC 1 夹角的余弦值为 . 15分 10 18.（本小题满分17分） 【详解】（1）100 个病人中恰好有 80 人被治愈的概率为 f(p)C80 p80(1 p)20 ，则 100 f(p)C80 80p79(1 p)20 20p80(1 p)1920p79(1 p)19C80(45p) ，1分 100  100 令 f(p)0，得p 0.8，2分 当 p(0,0.8)时， f(p)0， f(p)单调递增，3分 当 p(0.8,1)时， f(p)0， f(p)单调递减，4分 所以 f(p)的最大值点为 p 0.85分 0 试卷第9页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}（2）设事件M “从患者人群中抽一名痊愈者”，事件N “该患者服用药品A治疗”，事件N “该 1 2 患者服用药品B治疗”，事件N “该患者服用药品C治疗”， 3 则P(M) P(N )P(M N )P(N )P(M N )P(N )P(M N ) 1 1 2 2 3 3 因此：P(M )  (52%  1 n%)75%  (48%  1 n%)70%  n%80% 7分 2 2 P(M)72.6%7.5%n%（0n96） 9分 （3）设随机变量Y 为生产药品C产生的年利润 ①若投入1条生产线，由于服用药品C的患者的占比总大于20%，所以一条生产线总能运行，此时对 应的年利润Y 1000，P(Y 1000)1，E(Y)100010分 ②若投入 2 条生产线，当 20% X 40% ，1 条生产线运行，年利润Y 1000300700 ， P(Y 700) 1 11分 3 当X 40%时，2条生产线运行， 2 年利润Y 100022000，P(Y 2000) ，12分 3 此时Y 的分布列如下： Y 700 2000 1 2 P 3 3 1 2 4700 所以E(Y)700 2000  13分 3 3 3 ③若投入 3 条生产线，当20% X 40% 时，1 条生产线运行，年利润Y 10003002400 ， P(Y 400) 1 ，14分 3 1 当40% X 60%时2条生产线运行，年利润Y 100023001700，P(Y 1700) ， 2 15分 1 当X 60%时，3条生产线运行，年利润Y 100033000，P(Y 3000) ， 6 此时Y 的分布列如下： 试卷第10页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}Y 400 1700 3000 1 1 1 P 3 2 6 1 1 1 4450 所以E(Y)400 1700 3000  16分 3 2 6 3 综上所述，欲使该药企生产药品C的年度总利润均值最大，应引入两条生产线17分 19．（本小题满分17分） 3 1 【答案】(1)y2 4(x1) (2)①证明见解析；② S 1 . 4 n 3n10 【详解】（1）方法1： 由题意知，P点到原点的距离等于P点到直线 的距离， x=−2 由抛物线定义知，P点轨迹是以原点为焦点，直线 为准线的抛物线，2分 x=−2 其轨迹方程为 .4分 2 =4( +1) 方法2：设P(x,y)，动圆的半径为r， 由题意知： x(3) r， PO  x2  y2 r1  x3 1 x2 y2 2分 由题意知：x3，x31 x2 y2 ，即：y2 4(x1)3分 所以动圆圆心P的轨迹C的方程为y2 4(x1)4分 （2）①设P x ,y  ，P x ,y  ，则y2 4(x 1)，y2 4(x 1)，5分 n n n n1 n1 n1 n n n1 n1 y  y 又因为直线PP 的斜率为 ，有 n1 n 2n 6分 n n1 x x n1 n 2 y y y y  n1 n  4 n1 n  2n 1 1 1 y2 y2 ，即 y  y  ，7分 (y2 1) (y2 1) n1 n n1 n 2n2 4 n1 4 n 1 1 1 b  y  y  (y  y )(y  y )  ( )n1 9分 n 2n1 2n1 2n1 2n 2n 2n1 22n2 22n3 4 试卷第11页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}数列b 是以 1 为公比的等比数列，10分 n 4 1  1 1 1  4 1  ②由①知b  ，S 1    1 ，11分 n 22n2 n  22 24 22n2  3 4n  3 1  S 1 ，下面只要比较4n与3n10的大小： 4 n1 4n 当n1时，413，有4n 3n10； 当n2时，1616，有4n 3n10； 当n3时，6419，有4n 3n10； 猜测当n3时，nN时，4n 3n10. 13分 利用二项式定理，得 4n (13)n 1C1 3C2 32  Cn 3n14分 n n n n(n1) (13n32 )C333Cn3n 2 n n n(n1) 13n 32 13n93n10n3,15分 2 1 1 n3时，4n 3n10，即：  4n 3n10 3 1 所以 S 1 .16分 4 n 3n10 3 1 综上：当n1时， S 1 4 n 3n10 3 1 当n2时， S 1 4 n 3n10 3 1 当n3且nN时， S 1 17分 4 n 3n10 试卷第12页，共12页 {#{QQABCQK84gCwkBaACY5rEUWwCEkQkJGjJUoMBUAQKAxLwQNAFIA=}#}