数学试卷答案_2025年8月_250830广东省光大联考2025-2026学年高三上学期综合能力测试（一）（全科）_广东省光大联考2025-2026学年高三上学期综合能力测试（一）数学

广东省 2026 届高三年级综合能力测试一 数 学 参 考 答 案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．  12． 3 1 13． 2 14．0,1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） b c 【解析】（1）由正弦定理  ，以及csinB3 7bcosC可得sinCsinB3 7sinBcosC． sinB sinC ………………………………………………………………………………………………………………2分 因为sinB0，所以sinC 3 7cosC．…………………………………………………………………3分 1 因为sin2Ccos2C 1，解得cosC  ． ………………………………………………………………6分 8 1 2 3 7 （2）由（1）可得sinC  1cos2C  1   ．……………………………………………7分 8 8 a c 2 7 由正弦定理  ，以及3a2c可得3sinA2sinC，所以sinA sinC  ．…………8分 sinA sinC 3 4 2  7 3 所以cosA 1sin2 A 1   ． ……………………………………………………………9分   4 4   数学答案 第1页（共5页） 广东省2026届高三年级综合能力测试一数学参考答案 {#{QQABbQYQogAoABJAABhCAwG4CEGQkAEACSoGREAcsAAByBFABAA=}#}7 1 3 3 7 5 7 所以sinBsinACsinAcosCcosAsinC      ．………………………11分 4 8 4 8 16 2 5 7 5 7 所以AB边上的高为BCsinB csinB4  ． …………………………………………13分 3 16 4 16．（15分） 【解析】（1）连接CM ，因为M 是线段ED的中点，所以CM ED． ……………………………1分 因为平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，BC平面ABCD，BCCD，所以 BC平面ECD．………………………………………………………………………………………………3分 又因为ED平面ECD，所以BCED． ……………………………………………………………4分 又因为BCCM C，BC，CM 平面BCM ，所以ED平面BCM ． …………………………5分 又因为BM 平面BCM ，所以BM ED．……………………………………………………………6分 z （2）取CD中点F ，连接EF．因为△ECD为正三角形， E F 为CD中点，所以EF CD．又因为平面ECD平面ABCD， 平面ECD平面ABCDCD，EF 平面ECD，所以EF  M B C 平面ACD．………………………………………………………7分 F y D 以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．……8分 A x 取AC中点N ，则N 为△ACD外接圆的圆心．又因为E，A，C，D在同一个球面上，所以ON 平 面ACD．…………………………………………………………………………………………………………9分   因为ABCD为正方形，△ECD为正三角形，AB2，所以EF  3，设ON a，则E 0,0, 3 ， D1,0,0，O0,1,a． ………………………………………………………………………………………10分  2 3  3 因为 OD  OE ，所以 12 12 a2  12  a 3 ，解得a ，所以O0,1, ． ………11分   3 3     3 DO1,1, ． ………………………………………………………………………………………12分   3   平面ECD的法向量为n0,1,0． ……………………………………………………………………13分   DOn 1 21 因为 cos DO,n     ． …………………………………………………………14分 DO n 7 7 1 3 21 所以直线DO与平面ECD所成角正弦值为 ．……………………………………………………15分 7 数学答案 第2页（共5页） 广东省2026届高三年级综合能力测试一数学参考答案 {#{QQABbQYQogAoABJAABhCAwG4CEGQkAEACSoGREAcsAAByBFABAA=}#}17．（15分） 【解析】（1）设A“发送的信号为0”，B“接收的信号为0”，则A“发送的信号为1”，B “接 收的信号为1”．…………………………………………………………………………………………………1分 由题意可得PAP  A  0.5，PB A10.10.9，P  B A  0.05． …………………………3分 PBP  ABAB  PAPB AP  A  P  B A  0.50.90.50.050.475． ………………4分 （2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，此时依次收到l，0，1的概率为 P1112．………………………………………………………………………………6分 （ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为M ，依次收到1，0，1为M ，依次收到1，1，0 1 2 为M ，依次收到1，1，1为M ，且事件M ，M ，M ，M 相互独立． ……………………………7分 3 4 1 2 3 4 PM PM PM 12．…………………………………………………………………8 1 2 3 分 PM 13．…………………………………………………………………………………………9分 4 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件M ，PMPM PM PM PM  1 2 3 4 312 13 1212． …………………………………………………………………10分 记单次传输发送1，译码为1为事件N ，则PN1．…………………………………………11分 PMPN12121112．………………………………………12分 1 因为01，所以0，10．当0 时，有PMPN0，即PMPN，此 2 时选用三次传输方案．…………………………………………………………………………………………13分 1 当 时，有PMPN0，即PMPN，选用哪种传输方案都可以．………………14分 2 1 当 1时，有PMPN0，即PMPN，此时选用单次传输方案． ……………15分 2 18．（17分） x2x3ex 【解析】（1） f x定义域为x x1， fx ．………………………………………1分 x12 3 3 由 fx0可得x 或x0，由 fx0可得0x1或1x ． ……………………………3分 2 2 数学答案 第3页（共5页） 广东省2026届高三年级综合能力测试一数学参考答案 {#{QQABbQYQogAoABJAABhCAwG4CEGQkAEACSoGREAcsAAByBFABAA=}#}3   3 所以 f x的单调增区间为,0，  , ，单调减区间为0,1， 1,  ． ……………………4分 2   2 1 （2）当x 时，有x10，2x10，原不等式 f x4 e2x1等价于ex 4 ex1，即 2 要证明ex 4 ex10．……………………………………………………………………………………6分  1 设gxex 4 ex1，则gxex 4 e 0，此时gx在 ,  单调递增，于是  2 1 gxg  e 0，不等式成立．………………………………………………………………………8分 2 1 （3）构造函数Fx f x f x，0x ． ……………………………………………………9分 2 x2x3ex x2x3ex xex  e2x2x3x12 2x3x12  Fx fx fx   ． x12 x12  x2 1 2 ……………………………………………………………………………………………………………11分 1 因为0x ，所以e2x 1，2x30，于是e2x2x32x3，所以 2 e2x2x3x12 2x3x12 2x3x12 2x3x12 4x  x2 2  0．………………13分  1 于是Fx0，所以Fx在 0,  单调递减．………………………………………………………14分  2 1 1 因为 f  0，所以x 0x  ，所以Fx  f x  f x F00，即 f x  f x ． 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………15分 因为x ，x 是gx的零点，所以gx gx ，即 f x  f x ，所以 f x  f x ．……16分 1 2 1 2 1 2 1 2 由（1）可知 f x在,0单调递增，所以x x ，于是x x 0． …………………………17分 1 2 1 2 19．（17分） y2 y2 【解析】（1）设点x,y在曲线C上，则有x2  1，容易知道x2  1，即x,y也在 y6 y6 曲线C上．………………………………………………………………………………………………………2分 所以曲线C关于y轴对称． ………………………………………………………………………………3分  y2 （2）联立   x2  y6 1 ，消去y，可得x2  x12 1，即x7x2 x12 x7，即 x7  yx1 x3 8x2 x60．……………………………………………………………………………………………4分 因为x1是方程的根，所以方程有因式x1，所以x3 8x2 x6x1 x2 7x6  0． 数学答案 第4页（共5页） 广东省2026届高三年级综合能力测试一数学参考答案 {#{QQABbQYQogAoABJAABhCAwG4CEGQkAEACSoGREAcsAAByBFABAA=}#}于是x10或x2 7x60． …………………………………………………………………………5分 7 73 解得x1或x ． ……………………………………………………………………………6分 2 7 73 7 73 所以交点个数为3，横坐标分别为1， ， ． ……………………………………7分 2 2  y2 （3）联立   x2  y6 1 ，消去y，可得kx3   k2 4  x2 5kx0，即x   x2   k 4 x5   0．    k  ykx2 ………………………………………………………………………………………………………………8分  4  4 于是x0或x2 k x50，方程x2 k x5的两个根的乘积是50，由此可知x 0，  k  k 1  k2 4 x x  x 0，x 0，且 1 3 k ． ……………………………………………………………………10分 2 3  x x 5 1 3 AB x  1 ．………………………………………………………………………………………………11分 BC x 3 AB 5 又因为x x 5，所以  ． ……………………………………………………………………12分 1 3 BC x2 3  4  4 2 k  k  20  4  k  k 因为x 是方程x2 k x5的正根，所以x  ． …………………13分 3  k 3 2 4 t t2 20 10 设t k ，则t4，于是x   ．………………………………………15分 k 3 2 t2 20t t 设 f t t2 20t，则 ft 10，所以 f t在4,单调递增，所以f t 10，   t2 20 min 所以x  1．………………………………………………………………………………………………16分 3 max AB 所以 的最小值为5． ………………………………………………………………………………17分 BC 数学答案 第5页（共5页） 广东省2026届高三年级综合能力测试一数学参考答案 {#{QQABbQYQogAoABJAABhCAwG4CEGQkAEACSoGREAcsAAByBFABAA=}#}