文档内容
★2025年1月20日
2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第u卷（非选择题）两部分。考生作答时,将答案答在答题卡上，在
本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答翅卡一并交回。
注意事项：
1 .答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证
号填涂在相应位置。
2 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答
案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3 .请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4 .保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1 .已知集合用={1,2} ,N={4eKllog2（2%T） W2I .则 MC/V 等于
A.{" B.|2} C.|l,2； D.0
2i -
2 .已知i为虚数单位，若z=f；,则z・z等于
1+1
A.E B.2 C.-2i D.2i
3 .已知%b是夹角为120。的两个单位向量,若向量a+Xb在向量a上的投影向量为2a,则A等于
… 八2。 ^273
A.-2 B.2 C.—— D.——
3 3
4 .若 3sin(?r-a) -4cosa = 0,贝lj 1-cos2a 等于
27 32
A1
A，25 B-25 峰 D行
5 .已知随机变班X服从正态分布N（2,/），且P（21.5）等于
A. 0.14 B. 0.62 C, 0.72 D. 0.86
6 .函数y="sin奶;+cos（ux（3>0）的图象向左平移7■个单位长度后与函数y = 2cos 0且aXl),若/(%)有最小值,则实数。取值范围是
#>2
(3] ( 31 ( 31 ( 31 ( 3
A. 0彳 B- by C.(O,1) U l,y D, 0,y U 1,—
R
V2 V2
8 .已知。为坐标原点，双曲线C：\-《=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别是K,B，离心率为一，点
a b 2
P(盯中)是。的右支上异于顶点的一点，过尸2作乙F1P尸2的平分线的垂线,垂足是M,IMOI=《，若
双曲线C上一点T满足酊•不=5,则点7到双曲线C的两条渐近线距离之和为
A.2^2 B.2 百 C.275 D.2 痣
二、选择题,本题共3小题,每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.
9 .“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分
别为：9,12,8,16,16,18,20,向12.13,则这组数据的
A.众数为12 B,平均数为14
C.中位数为14.5 D.第85百分位数为16
10 .已知抛物线C：y2 = 4x的焦点为匕过点(7,0)的直线I与抛物线C交于A,B两点,设直线I
的斜率为3则下列选项正确的有
A. 0<凶<1
B.若以线段43为直径的圆过点3则"31 =46
C.若以线段为直径的圆与y轴相切，则以81 =3
D.若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物 年线相切
11.已知函数/(%)和其导函数g(“)的定义域都是R,若/(%)-)与g(2x+l)均为偶函数，则下列
选项正确的有
A./(0)=0
B.”•关于点(0,1)对称
x
C. g(2023)= 1
D. (g(l)-l)x(g(2) + l)+(g(2)-l)x(g(3)+l)+-+(g(2023)-l)x(g(2024) + l)=0
第II卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 .在(2%+l)"y-l)3的展开式中，//的系数为.
13 .若直线夕=2%为曲线y=e""的一条切线，则ab的最大值为.
高三数学试题 第2页(共4页)14 .某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个,产品合格率为87%.为提高产品合格率，
工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%,产品合格率比去年12月份
增加0.4%,计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长,那么该工厂的月不合格产品
个数达到最大是两年内的第 月.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .(本小题满分13分)在锐角AABC中，角C所对的边分别为％6,4且人钻。的面积
S=AB , ACsinA.
(D求角4；
(2)若。=次，求b+c的取值范围.
16 .(本小题满分15分)设｛%｝是等差数列，［瓦｝是等比数列.已知a产，=4也=。2+1,％ = 2。3-4.
(1)求I4］和的通项公式；
(2)数列｛%｝和仍」的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列匕｝，求|c」的前50项
的和.
17 .(本小题满分15分)2023年9月26日，第十四届中国(合肥)国际园林博览会在合肥骆岗公
园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题,共设有5个省内展园,26个省外展园和7个国际
展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车骑自行车和步行三种方式游园.
(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园
的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)为更好地服务游客，主办方随机调查了 500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选
择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：
____游园方式
游园结果^^ 观光车 自行车 步行
参观完所有展园 80 80 40
未参观完所有展园 20 120 160
用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种,求游园结束时乙能参观完所
有展园的概率.
高三数学试题 第3页(共4页)18 .(本小题满分17分)已知函数/(%) = ln(x+1) ---(a>0).
x+1
(1)若4=1是函数/(%)的一个极值点，求a的值；
(2)若/(%) 20在［0,+8 )上恒成立，求a的取值范围；
(2024、2024
(3)证明:卷 >e(e为自然对数的底数).
19 .(本小题满分17分)已如动点P与定点4(%0)的距离和P到定直线*=上的距离的比为常数
m
”.其中20,九>0,且m#,记点P的轨迹为曲线C.
n
(1 )求C的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点B( -/n,0)，若曲线C上两动点M,N妈右靠轴上方〃aV,且4N与BM相交于点Q.
①当加=24,九=4时，求证:占r+焉的值及取约的周长均为定值；
\AM\ \BN\
②当加>九时，记A4BQ的面积为S,其内切圆半径为r,说探突是皆存在常数A ,使得S = A"亘成
立？若存在，求出A(用zn/表示)的值;若不存在,请说明理由.
高三数学试题 第4页(共4页)2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学参考答案
一.选择题;本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 .【详解】由对数函数的性质可得：
不等式嗨(2%-1) W2成立,需要满足0<2k 1 W2? = 4,
解得:•，即八』+弓，且M=U,2},
则 1,2},
故选:C.
2 .【详解】因为2¥^\二更严=1",所以上J,
1+i ( l+i ) • (1 -i) 2
z • z= ( 1+i) • ( l-i)= 2.
故选:B.
3 .【详解】a+M在向量a上投影向量为.. ---- « = 2a=>----- ；-----=2.
\a\~ \a\~
=>(a+Xb) * a=\a\~+X\a\ • IZ>Icosl20°= 1—^-A =2=>A = -2.
故选:A
sinQ 4
4 .［详解】因为 3sin(7r-a)= 4cosa = 0,所以 3sinai-4costt = 0,所以 lana =---=—,
cosa 3
16
、
j 2x—
而I” 1 O , 0 . 2 x o . 2 2sin-a 2tan~a 9 32
所以 l-cos2a= 1-( l-2sin a)= 2sin a = —--------=——；------=———=—.
sin^a+cos a tan^a+1 16 25
7+1
故选:D
5 .［详解］随机变量X服从正态分布N(2,。2),
且 P(21.5)= 1-0.14 = 0.86,
故选:D.
不 ar
6 .【详解】函数尸VJsin@v+coss: = 2sin wx+—图象向左平移丁个单位长度后,
V 6； 6
/"»•「( 、
ZS 77 77
彳导y= 2sin| 0算+— +— 的图象,
L I 6.
由已知得2sin +一TT =2cos(dx+一77 ,
6 6)
1
7T
= cos a)x+—,
\ 6)
.( 77 77
= sin u)x+—+—
I 6 2,
~万 , 7T
所以~^-=2上万+5，人e Z,
所以 3= 12L+3,人e ,
因为侬>0,所以0)的最小值为3,
故选:C.
7 .【详解】由于函数/(%)有最小值,则函数r=(a-2)%+2a+l在区间(-8 ,2］±
不为增函数，可得Q-2W0.
(5/W2
当a = 2时,/(%)= , ,<22<5,此时函数/(乃无最小值；
,2" ,%>2
当a-2<0时，即当a<2时，函数y- (a-2)x+2a+l在区间(-8 ,2］上为减函数,
①若函数丁 = 2.一在(2,+8 )上为增函数，则a>\,
♦ 3 3
且有 2(q-2) +2q+ 1 W2a ",即 2a-3 WO,解得 a W5,此时］0,所以,2(a-2) +2a +1 00,即 4a-3 W0,解得 a W—，此时 0]+>2)= 畋。片 2 夕 0
所以。错误
故选：48C
高三数学答案第4页(共1 2页)1L【详解】假设/(%)= 1+%则/(%)-%二1,g(2%+l)= 1都为偶函数,则所设函数/
(久)= 1+%符合题意，此时/(0)= 1,所以A错误；
因为/(x) -x为偶函数，所以/(%)-%=/( -%) +”,艮口一 -=2,
、 、 X -X
令乂%)=42,则乂冕)+/“-%)= 2,所以以4)关于点(0,1)对称，故B正确；
X
因为g(2"+l)为偶函数，所以g(2/l) = g(-2%+l),所以函数gQ)的图象关于
直线4= 1又寸称，即g( 1+%)= g( 1-x),
又因为/(%)-%=/(-%)+%,所以―(%)-1 = + 1,所以 g(%) +g(-%)= 2,所
以函数g(%)关于点(0,1)对称，
所以 g("+4) = g(4) ,g(2023) = g⑶，又 g(-l) = g(3) ,g(0) = g(4),
所以g(l)+g(3) = g(l)+g(-l)=2,所以无法确定g(2023)的值,所以C错误；
又g(又+g(-2)= 2,g«2) = g(-2)，所以g(2) = g(-2)= 1,又g(4)=g(0)= 1,所
以 g(2)+g(4)=2,
由g(%+4) = g(%)知函数g(M周期为4,则g(4)• g(%+1)的周期也为4,则
(g(l)-l)x(g(2) + l)+(g(2)-l)x(g(3)+l)+…+(g(2023)-l)x(g(2024) +
1)
=g( 1 )g(2)+g(2)g(3) +…+g(2023)g( 2024)-g(2024)+g( 1)-2023
= 506[g⑴g(2)+g(2)g(3)+g⑶g(4)+g(4)g⑸]-g(2024)g(2025)-g
(2024)+g( 1)-2023
= 506](g(2)+g(4))(g(3)+g(l))]-g(0)g(l)-g(0)+g(l)-2023
= 506x4-g( 1)-l+g(l)-2023 = 0,^rl2A DIE%.
故选:BD
三、填空题;本题共3小题,每小题5分，共15分
12 .【详解】因为(2/1尸的展开通项公式为北二或(2%)5“ = 2s"C，"0WZ54
eN),
(y-1)3 的展开通项公式为 7； = G广(-1)' = (-1)'G产(0WrW3,reN),
所以取代2,r=l,得dy2的系数为23点• (-l)Cj = -240.
故答案为：-240.
13 .【详解】设/(%) = ef 则:(“)二『,
设切点为(“。，产。“)，则/'(40) = ae；,
则切线方程为 y-e"。" 整理可得 y = aeR与+(1-a%) e"。”,
高三数学答案 第5页(共1 2页)((l-a%o)eax^ = O i
所以 ，解得 x0 = —, Qe"W = ae = 2,
(ae^b = 2 a
所以。=刍，所以而=芸，
e e
设g(“)=^，则以加二3，
e e
当 “W(-8,1)时,g«)>0,g(%)单调递增,
当与 e (1 ,+oo )时,g，(％)<0,g(力)单调递减,
一 2
所以当x= 1时,g(%)取得最大值g( 1 )=—,
e-
2
所以ab的最大值为f.
、 2
故答案为
14 .【详解】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增
长，该工厂每月的产量、不合格率分别用A、3表示,月份用，“几G N " )表示，
贝lj% = 1x( 1+4%)" = 1.04",4=1-(87%+/- 0.4%)= -0.004几+0.13,其中nW24,
n e N* ,
则从今年1月份起，各月不合格产品数量为。也=L04"x(0.13-0.004〃)，单位:
万个，
因为 -Q/n = L04"ix[0.13-0.004(n+1)]-L04"x(0.13 -0.004ti)
=1.04" [1.04x0.13- 1.04x0.004( n+1)-0.13+0.004n]
1 04。 gx 1 04〃
=1.04,,(0.00104-0.00016n)= -^-(104-16/0= 7 -(13-2n),
当-W6时,%+也-q也>0,即an+i6n+1 >anbn,此时，数列｛ a也｝单调递增,
即 albl7 >a8 6S > • • • >a24 b24 ,
因此，当〃 =7时,4也 最大,故该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7
月份.
四、解答题,本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明,证明过程或运算步骤
高三数学答案第6页(共1 2页)15 .【小问1详解】
•/ S=AB • ACsinX, /. —bcsinA = bccosAsinA......................................................... 2 分
2
, 1 _ 八
7T 7T
•/ Z>csinA0O,/. cosA=y,Xv 00)，定义域为(T,+8 ),.......................... 2 分
x+1
% + 1
/'(%)= -~~~=(a>0),因为%= 1 是/(“)的一个极值点，
2-。
所以r ⑴=-^-=0,G = 2. ................................................................................ 4 分
久一1
此时/'(")=；一6,所以/(%)在区间(T，l)上/'(")<°，/(%)单调递减，
(x+1)2
在区间(i,+8)上/(％)>()/(%)单调递增，所以4=i是/(%)的极小值点，符合
题意，
高三数学答案 第8页(共1 2页)所以。=2............................................................................................................. 6分
【小问2详解】
因为;V)NO在［0,+8)上恒成立，所以
当 0］时，令 r(%)= ■^■^>0,得人>.-I,......................................................9 分
(4+1)
A X+1-。 小
令/'(%) = 一(——T<0，得 03即证明In 2024 1 八
------------- >0
2023 2024
由(2)得@=1时,/(%)=ln(%+l)-」7在(0,+8 )上单调递增,...........14分
x+1
1
b- / 1「r 1、2023 , 2024 1 •、八
所以 = nV 2023j-i+ 1 =n '
1+2023
从而原不等式成立....................................................... 17分
19 .【小问1详解］
设点P(%,y)，由题意可知上？毕士二竺,..............................1分
n n
x----
m
/ 、2
即(x-m2) +y2 - -x-n ,
2 2
经化简，得。的方程为当+/~7=1, ................................................................ 3分
n ri -m
当血G时，曲线。是焦点在“轴上的椭圆；
当血〉〃时，曲线。是焦点在“轴上的双曲线.............................5分
高三数学答案 第9页(共1 2页)【小问2详解】
设点 M（/，%） ,N（%2，，2）,%），其中% >0,%>0 且 ％3 = -[2* = -%，
2 2
（i）由（1）可知c的方程为
16 8
力 % 力 ©
因为力M 〃⑻V,所以
x2+2显 -x「2短巧-25/5"
因此,M,4,M 三点共线，且 IBM =，（% 叫班产以=7（-x2-2^）2+（-y2）2 = lAMf\,
（法一）设直线MM'的方程为％=夕+项,联立。的方程，得（『+2）*+4电厂8 = 0,
4Z 8
则为+力=-
五'"户一百，
2场 16
由（1）可知14Ml =
F
4 ”1—2-J2
1 1
所以
\AM\ +
\BN\为定值1; 9分
（法二）设/肱"二氏则有厂"折一二季，解得14Ml 一,
2^2AM \ cosO 4 2+V2cos<9
r=iTRir+i I AMf I 2a/5""/曰.... 4
同理由--------------- 二七一,解得141rl =------------ ,
2立+l4M'lcos。 4 2-笈cos。
1 1 1 1 2 + V2 cos0 2-a/^cos®
所以----- +----- =----- +------=----------+----------= 1,
\AM\ \BN\ \AM\ \AM'\ 4 4 '
所以系+高为定值1;
由椭圆定义I8QI+IQMI + IM4I =8,得IQMI =8-l8QI-l4Ml,
高三数学答案 第10页（共1 2页）—• 拨瑞-津
・・ 3
\BQ\
(8-I4MI ) • 1BNI (8-I5NI) \AM\
解得I8QI = ，同理可得I4QI =
\AM\+\BN\ \AM\+\BN\
(8-I5NI) • \AM\ (8-I4MI) • \BN\
所以 I 4Q I + I 8Q I
\AM\+\BN\+ ~~\AM\ + \BN\~
8( \AM\+\BN\)-2\AM\ • \BN\
\AM\+\BN\
=8-----------------= 8-2 = 6.
1 1
------- 1-------
\AM\ \BN\
因为14例=471,所以AWQ的周长为定值6+4". ................................... 11分
2 」
（ii）当心九时，曲线c的方程为=1,轨迹为双曲线,
n m 一几
根据(i )的证明，同理可得M,4,肥三点共线，且1及¥1 = 14»1,
(法一)设直线的方程为％ =耕+/«,联立C的方程,
得[(zn2—，/)52-n2 ]y2+2szn( m2 -n2) y+ (zn2 -n2 )2 = 0,
力+力=-：2szn( rrf一-n一2) (tri -n2、)2
2 — 2\ 2 2 2 2 2( * )
(Tn -n )s -n. -n )s -n
f 2、
因为 \AM I =— x,----=—%,-n, I BN\ = \AM I =—%3-n,
n mJ n n
1111 \AM\+\AM'\
所以-----+----- =----- +------=--------------
\AM\ \BN\ \AM\ \AM'\ \AM\ • 17m
高三数学答案 第11页（共1 2页）sm, 、2( m2-n2)
一(%+力)+---------
n n
zn2s2 (m2'-n2)ms ( zn2-n2)2 ,
於+----- 2------(乃 +©) +---- 2—
将(*)代入上式，化简得备+高 2n
14分
,一、、n n 7 q \AM\ m , . nT-n2
(法二)设乙MAv = e,依条件有7—— --------------二一，解得14Ml =----------
f n~] n n-mcos(J
m +\ AM \cos6
l他J
2 2
同理由7—2吧-------二"，解得\AMf\ = m -n
n n+mcosO"
n )
m------- I AM'I cos。
”，、，1 1 1 1 n-mccosO n+mcosO 2n
所以----- +----- =----- +------=--------- +-------- =----
\AM\ IB/VI \AM\ \AM'\ 病-川 病_/
由双曲线的定义 l80l + IQMI-IM4l=2n4|dQMI=2/2+l4MI-l8QI ,
根据需=器，解得“ _(2几+I4MI) • \BN\
— \AM\ + \BN\
同理根据需喘解得皿
(2，i+l5M) • \AM\ (2n+l4MI)・ IBM 21 4Ml • IBM
所以 I4QI+IBQI = \AM\ + \BN\ + LWI+I8M =2九＞1-------------------
\AM\+\BN\
c2 vr0t -n2 ^2
=2n+--------------- = 2n+--------=--------
1 1 n n
-------H--------
\AM\ IBM
由内切圆性质可知,S = J( I48I + I4QI + I8QI) - r,
如果 S"r,那么人=!(l45l+l4QI+l8QI)=m+= = t粤2(常数).
2 2n 2n
因此，存在常数人使得S=Ar恒成立，且入二空立•...................... 17分
2n
高三数学答案 第12页(共1 2页)
