文档内容
2025-2026 学年度第一学期七校联盟第一次学情检测
高三数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
第一部分 (选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 观察如图所示的“集合”的知识结构图，把“①包含关系，②描述法，③基本运算”这三项依次填入
M，N，P三处，正确的是 （ ）
A. ①②③ B. ①③②
C. ②①③ D. ②③①
【答案】C
【详解】因集合的表示包括两种：列举法和描述法，故 处为②；
集合的基本关系包括；包含关系和相等关系，故 处为①；
集合之间的交、并和补集属于集合的基本运算，故 为③.
故选：C
的
2. 已知 且 ，下列各式中最大 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ， ，所以 ， ，
由均值不等式可知 ，所以 ，
由上可知： ，
所以四个式子中 最大，
故选：D.
3. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由函数 ，可得函数 的定义域为 ，
且满足 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项，
又由当 时， ，可得 在 上单调递增，
当 时， ，可得 在 上单调递减，所以D选项符合题意.
故选：D
4. 设 则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为
所以 ，
故选：A
5. 若实数a、b满足 则 （ ）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】D
【详解】由 ，得 ；由 ，得 ，
则： ，
则 ，
则： ，
故选：D
6. 已知不等式 的解集 若对 ，不等式
成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8【答案】C
【详解】不等式 的解集为 ，则方程 的两根为 ， ，且
，
所以 ，解得 ，
不等式 ，即为 ，
故不等式 对 恒成立，
∵二次函数 的对称轴为 ，则有：
① ，解得 ；或② ，无解；
综上所述： ，所以实数 的最大值为 ．
故选：
7. 已知函数 ，满足不等式 的 x的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，当 时， ，满足 ，
所以函数 为奇函数，
又 时， ，
， ， ，故 ，而 ，
，所以 在 上单调递增，
由函数 为奇函数，所以 在R上单调递增，
所以不等式 等价于 ，
，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
8. 已知可导函数 的导函数为 ， 若对任意的 ， 都有 且
为奇函数， 则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
由 ，得 ，又 ，
所以 ，故函数 在 上单调递减．
因为 为奇函数，且定义域为 ，
所以 ，得 ，所以 ，
不等式 等价于 ，即 ，
又函数 在 上单调递减，所以 ，
故不等式 的解集是 ．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合A为正偶数集，集合B为正整数集，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（
）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【详解】当自变量 为正偶数时，由 ， ， 所得 值都为正整数，故构成集合是B的子
集，
而由 所得y值不一定是正整数，如 ，所以 值构成的集合不是B的子集，
故能建立从集合A到集合B的函数关系的是ABC.
故选：ABC
10. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 若 ，则
B.
C. 函数 的最小值为
D. 已知函数 且 在 上是减函数， 则 的取值范围是【答案】BCD
【详解】对于A， 与 同号， ， ， ，
又 ， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C，令 ，则 ， ，即 的最小值为 ，C正确；
对于D， 且 ， 当 时， ， ，
；
当 时， 为减函数，又 为减函数，
在 上为增函数， ；
综上所述， ，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ， 则（ ）
A. B. 有一个零点
C. y轴是曲线 的切线 D. 在(1，+∞)上单调递增
【答案】ABD
【详解】由 ， ，
则 ， ，由于 ，则 ，故A正确；
令 ，解得 ，所以 有一个零点，故B正确；因为 的定义域为 ，由函数定义知 与函数 图象无公共点，所以
不可能是函数 的切线，故C错误；
因为函数 和 在 上单调递增，且 时， ，
所以函数 在 上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
第二部分 (非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“ ， ”的否定是_________.
【答案】“ ， ”.
【详解】命题“ ， ”的否定是将条件中的“ ”改为“ ”，并将结论“
”否定为“ ”，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故答案为：“ ， ”.
13. 设 ， 已知 (e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线 在点
处的切线与直线 垂直，则 _______ .
【答案】
【详解】因为 是偶函数，即 ，
即 ，整理可得 ，
即 对 成立，
因为 不恒为 ，所以 ，即 .
即 ，且 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
其中直线 的斜率为 ，
由切线与直线垂直可得 ，
化简可得 ，
令 ，则 ，即 ，化简可得 ，
即 或 （舍），
即 ，两边取对数可得 .
故答案为：
14. 设A 是实数集的非空子集， 称集合 且 为集合 A 的生成集. 当
A={1,3,5}时，写出集合A的生成集B为___________；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5个正
实数构成的集合，则card(B)的最小值为___________.
【答案】 ①. ②. 7
【详解】（1）当A={1,3,5}时，列举出 且 时 的结果，可得 ，
（2）设 ，设 ,
则 ,
所以集合B中元素个数大于或等于7，
例如当 时， ,
即集合B中元素个数的最小值为7，
故答案为： 7.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集 ,集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ， ；
（2）若命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【小问1详解】
当 时，集合 ，且 ，
可得 ，
或
【小问2详解】
由 是 的充分不必要条件，则集合 是 的真子集，
则满足 且等号不同时成立，解得 ，
经验证，当 时，满足集合 是 的真子集，所以实数m的取值范围是 .
16. 已知函数 (其中 )， ，记 .
（1）若 是 的一条切线， 求a的值；
（2）当 时，设函数 在坐标原点处 切的线为 ，证明：当 时，函数 的图象位于切
线 的下方.
【答案】（1）0 （2）证明见解析
【小问1详解】
由 得， ，令 得， ，
令 得， ；令 得， ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 ，函数 是 的一条切线，
∴ 切点坐标为 ，即切线方程为 ，
∴
【小问2详解】
当 时， ， ，
∴ ，
∴ 切线为 的方程为 ，
当 时，设 ，
以下证明 恒成立.
∵ ，只需证明 恒成立，设 ，则有 ，
∴ 函数 在区间 上单调递减，∴ ，
即当 时， 恒成立，此时函数 的图象位于切线 的下方.
17. 函数 满足对任意 ，都有 ，且 的图象关于直线x=1对称，当
时， ， 且函数 恰有2025个零点.
（1）证明：函数 为周期函数；
（2）求整数a的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）45
【小问1详解】
由 的图象关于直线 对称，得到 ，
又 ，所以 ，
即 ，从而得到函数 的周期为 ，
所以函数 为周期函数.
【小问2详解】
由 可知，函数 关于 对称，
根据对称性、周期性及当 时， ，
当 和 时，函数 图象相同，作出两函数图象（如图所示），要使函数 恰有2025个零点，
则函数 的图象与图象 在 上恰有2025个交点，
由图象可知，第 个交点为 ，
所以 ，
又 ，
所以由 得， ，
故 或 .
所以整数 的值为45.
18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对
符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘
用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大
生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产 百件，
需另投入成本 万元，且 时， ；当 时，
，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产
品当年能全部销售完．
的
（1）分别写出 与 时，年利润 （万元）与年产量 （百件） 关系式（利润＝销售收
入－成本）；
（2）当该产品 的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）答案见解析；
（2）年产量为 百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是 万元.【小问1详解】
由题意可得当 时， ，
当 时，
【小问2详解】
由（1）得 时， ，
此时 （百件）时， （万元），
当 时， ，
因为 ， ，所以：
，
即
当且仅当 ，即 时等号成立， （万元），
而 ，故 （百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为 百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是 万元.
19. 已知函数 ．
（1）试讨论函数 的单调性；
（2）当 时，试求函数 的极值；
（3）若 ， 时，对任意 都有 ，求实数 的范围.【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）
【小问1详解】
函数 的定义域为 ， ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，则 在 上单调递增，
令 ，解得 ，则 在 上单调递减.
在
综上得，当 时， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
由条件得 ， ，
令 ，则 ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，
此时函数 无极值；
当 时，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
此时函数 有极小值，极小值为 ，函数 无极大值；
当 时， 在 上单调递减，此时函数 无极值.
综上得，当 时，函数 无极值；
当 时，函数 有极小值 ；无极大值；
当 时，函数 无极值.
【小问3详解】
当 ， 时，由（1）知函数 在 上是单调递增函数，
又函数 在 上单调递减，
不妨设 ，则 ， ，
， ，
等价于 ，
即 ，
设 ， ，
则 等价于函数 在区间 上是减函数，
因为 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ， ，
又 在 上恒成立，所以 在 上是单调递增函数，
函数 在 的最大值为 ，
故 ，又 ，
所以实数 的范围为 .
