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连城一中2025-2026学年暑假月考
高三数学试卷
满分150 考试时间120分钟
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ，都有 ”的否定为（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，使得
3．下列函数f（x）中，满足“对任意的x，x∈（0，＋∞）时，均有（x－
1 2 1
x）[f（x）－f（x）]>0”的是（ ）
2 1 2
A．f（x）＝ B．f（x）＝x2－4x＋4
C．f（x）＝2x D．f（x）＝log x
4．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若 ，则 的最小值为（ ）
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司A．4 B．3 C．2 D．1
6．若函数 在R上为增函数，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若不等式 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．函数 恰有一个零点，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数 为奇函数，则其图象可能为（ ）
A． B．
试卷第2页，共4页C． D．
10．下列叙述正确的是（ ）
A．不等式 的解集是 B．函数 与 是同一函数
C．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
D．若函数 ，则
11．已知定义在R上的函数 满足 ，且 不是常函数，
则下列说法中正确的有（ ）
A．若2为 的周期，则 为奇函数
B．若 为奇函数，则2为 的周期
C．若4为 的周期，则 为偶函数
D．若 为偶函数，则4为 的周期
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知定义在 上的 函数满足f(x+2)=f(x)，且f(3)=2，则f(2025)的值
为 .
13．已知平面 的一个法向量 ，直线 的方向向量 ，则直线
与平面 所成角的正弦值为 .
14．已知函数 ，则下列命题正确的有
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司①函数 有且只有两个零点 ②函数 在 上为增函数
③函数 的最大值为 ④若方程 有三个实根，则
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
log (x+a)
15．（6+7=13分）若函数f(x)＝ a (a>0且a≠1) 的图象过点A(－
1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数 的定义域．
16．（7+8=15分）如图，在直三棱柱 中， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的余弦值．
17．（7+8=15分）已知二次函数 ．
试卷第4页，共4页(1)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
a≥0
(2)解关于 的不等式 （其中 ）．
18．（4+5+8=17分）已知 ， .
(1)当 时，判断函数 的单调性，并写出函数的单调区间；
(2)当 时，判断函数 在区间 上单调性，并用单调性定义进行证
明；
(3)当 时，求函数 在区间 上的最小值.
19．（4+5+8=17分）已知函数 ，其中 ．
(1)若函数 有 处取得极大值0，求 的值；
(2)函数 ．
（i）证明：曲线 图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
（ii）当 时，若 ，使得 成立，求实数 的取值
范围．
试卷第5页，共4页
学科网（北京）股份有限公司《连城一中2025-2026学年暑假月考高三数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A D A C D BD CD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】先利用自然数集的定义化简集合 ，再利用集合的交集运算求解.
【详解】因为 ，
又 ，所以 .
故选：D.
2．D
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，都有 ”
的否定为 ，使得 .
故选：D
3．C
【分析】由（x－x）[f（x）－f（x）]>0可得f（x）在（0，＋∞）上单调
1 2 1 2
递增，然后对选项逐一判断即可.
【详解】（x－x）[f（x）－f（x）]>0等价于x－x与f（x）－f（x）正
1 2 1 2 1 2 1 2
答案第1页，共11页
学科网（北京）股份有限公司负号相同，故函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
显然只有函数f（x）＝2x符合，
故选:C.
4．A
【分析】解不等式，根据集合间的包含关系可得.
【详解】解不等式 得， ，记 ；
解不等式 得， ，记 .
因为 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
5．D
【分析】利用“乘1法”即得.
【详解】因为 ，所以 ，
∴
，
当且仅当 时，即 时取等号，
所以 的最小值为1.
故选：D.
答案第2页，共11页6．A
【详解】令 ，
，要使 在 上为增函数，
须有 递增， 递增，且 ，
即 ，解得 .
故选：A.
7．C
【分析】分析 的奇偶性与单调性,再求解不等式即可.
【详解】 ,故 .故 为奇函数.
又函数 为增函数,故 为减函数,故 为增函数.
故
即 ,解得
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的方法,属于中
档题.
8．D
答案第3页，共11页
学科网（北京）股份有限公司【分析】函数 恰有一个零点等价于 在 上有且只有一个根.令
，由导数法求得 ，结合 的图象变化即可得结果.
【详解】∵函数 恰有一个零点，∴方程 在
上有且只有一个根，即 在 上有且只有一个根.
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在
上单调递增. ∴ .
∴当 ，令 ，即 ，则 ，由函数
性质可得 ，即 ；又当 .
故若使函数 恰有一个零点，则 .
故选：D.
【点睛】函数零点个数问题，可转化为两个函数图象的交点个数问题，此时需
要明确函数图象的变化趋势，尤其对于指数、对数函数等复杂函数，才能由数
形结合判断交点个数.
9．BD
【解析】本题可通过判断图象是否关于原点对称得出结果.
答案第4页，共11页【详解】因为 为奇函数，所以 的图象关于原点对称，
四个选项中仅有选项B和选项D中的图象满足关于原点对称，
故选：BD．
10．CD
【分析】解分式不等式判断A；根据同一函数对应法则、定义域相同判断B；由
抽象函数定义域求法求函数定义域判断C；应用换元法求函数解析式，并注意定
义域判断D.
【详解】A：由 ，则 ，可得 或 ，故解集为 不
对，错；
B：由 的定义域为R，而 的定义域为 ，显然不是同一函数，错；
C：由 的定义域为 ，则 ，即函数 的定义域为 ，对；
D：由解析式 ，则 ，
故 且 ，
所以 ，对.
故选：CD
11．ABD
【分析】对于A：由已知可得 ，结合周期可得 可判断A；
由奇函数可得 ，可判断B；结合已知可得结论
，可判断C；由已知可得
答案第5页，共11页
学科网（北京）股份有限公司，可判断D.
【详解】对于A：若2是 的周期，则 ，
由 ，可得 ，
所以 ，所以 为奇函数；故A正确；
对于B：若 为奇函数，则 ，
由 ，可得 ，所以2是 的
周期，故B正确；
若4是 的周期，设 ，则 ，
该函数的最小周期为 ，故 为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正
确；
对于D：若 为偶函数，则 ，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以4是 的周期，故D正确.
故选：ABD.
12．2
【分析】易知函数 是周期为2的周期函数，再由f(2025)=f(3+1011×2)=f(3)
求解.
【详解】因为 函数满足f(x+2)=f(x)，
所以函数 是周期为2的周期函数，
所以f(2025)=f(3+1011×2)=f(3)，
故答案为：2.
13． /
【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
答案第6页，共11页即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为：
14．①②④
【分析】解方程 ，求出函数 的零点判断①；求函数 的导函数，解
不等式 得函数 的递增区间判断②；举例说明判断③；结合函数 的
单调性， 作函数 的图象判断④.
【详解】对于①，令 ，则 ，解得 ， ，
因此函数 有且只有两个零点，①正确；
对于②，由已知求导得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 或 ，
因此 在 上单调递增，②正确；
对于③，由②知， 在 上单调递减， ，
，
而 ，③错误；
对于④，当 时，恒有 ，作出函数 的图象，
答案第7页，共11页
学科网（北京）股份有限公司方程 有三个实根，即 与 的图象有三个不同的交点，因此
，④正确.
故答案为：①②④
15．(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意代入运算求解即可；
（2）由（1）可得函数 ，根据对数的真数大于零和分母不为零
运算求解.
【详解】（1）由题意可得： ，则 ，解得 .
（2）由（1）可得： ，
对于函数 ，可得 ，解得 且 ，
故函数 的定义域为 .
16．(1)证明见解析；
(2) .
答案第8页，共11页【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明 ，再根据
线面垂直判定定理证明线面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）由题意以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立
空间直角坐标系，如图所示，设 ，则 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
记直线 与 所成角为 ，则
，
故直线 与 所成角的余弦值为 .
答案第9页，共11页
学科网（北京）股份有限公司17．(1) ；
(2)答案见解析.公众号：高中试卷君
【分析】(1)当 时将原不等式变形为 ，根据基本不等式计算即可；
(2)不等式化为 ，讨论 的取值，从而求出对应不等式的解集．
【详解】（1）不等式 即为： ，
当 时，不等式可变形为： ，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
所以实数a的取值范围是 .
（2）不等式 ，
等价于 ，即 ，
①当 时，不等式整理为 ，解得 ；
当 时，方程 的两根为 ， ，
答案第10页，共11页②当 时，可得 ，解不等式 得 或 ；
综上所述，不等式的解集为：
①当 时，不等式解集为 ；
②当 时，不等式解集为 ；
18．(1)判断见解析，减区间是 ，增区间是 ；
(2)单调递增，证明见解析；
(3) .
【分析】（1）利用对勾函数单调性判断单调性，再写出单调区间.
（2）先由函数式组成判断函数的单调性，再运用函数单调性定义进行证明.
（3）根据给定区间及双勾函数的图象进行分类讨论，再进行合并表述即得.
【详解】（1）当 时，函数 定义域为 ，
，函数 是奇函数，
由对勾函数知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由奇函数的性质知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间是 ；递增区间是 .
答案第11页，共11页
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时， 在 上单调递增.
任取 ，有 ，
由 ，得 ， ，则 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递增.
（3）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单
调递增，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，则 ；
③当 ，即 时， ，
所以 .
19．【详解】（1） ，得 ，
由题设知 ，解得 ，
此时
当 时， 为增函数；
当 时， 为减函数；
所以函数 在 处取得极大值，满足题意，
故 ．
（2）（i）函数 ．
由 ，得 ，
设点 和点 ，不妨设 ，
答案第12页，共11页则曲线 在点 处的切线 方程为 ，
即 ；
同理曲线 在点 处的切线 方程为 ；
假设 与 重合，则 ，
化简得 ，
两式消去 ，得 ，则 ，
令 ， ，
由 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 无解，所以 与 不重合，
即对于曲线 图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
（ⅱ）当 时，先解决对于 恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
由 ，解得 ．
下面证明当 时， 在 上恒成立．
则当 时， ，
令 ，则 ，
则当 时，由 ，
则 ，则 在 上单调递增，所以 ；
当 时，令 ，
则 ，则 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 成立，
所以对于 ，不等式 恒成立，
实数 的取值范围为 ．
所以 ，使得 成立， 的取值范围为 ．
答案第13页，共11页
学科网（北京）股份有限公司
