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六安一中 2025 届高三综合模拟试卷数学试卷（二）
时间：120分钟 满分:150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解出两不等式的解集，并根据其包含关系判断即可.
【详解】易知不等式 的解集为 ，
不等式 的解集也为 ，
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C
2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 无法确定，与 有关
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求得 ，再应用向量模长的坐标运算求 .
【详解】由题 ，则 ，
所以 .
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司3. 记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合等比数列通项公式求 ，结合等比数列求和公式运算求解即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
4. 如图， 是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形作出 ，求其各边长，即得周长.
【详解】作出 ，如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知 ， ， ，
由勾股定理可得 ，
故 的周长为 .
故选：A.
5. 已知 ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式求出 ，再结合同角关系以及诱导公式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
故选：D
6. 已知函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 时， 是偶函数，且在区间 上单调递增
B. 当 时， 是奇函数，且在区间 上单调递减
C. 当 时， 是偶函数，且在区间 上单调递减
D. 当 时， 是奇函数，且在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的 取值，对函数进行分析，即可判断和选择.
【详解】对AB：当 时， ，其定义域为 ， ，故
为偶函数；
又 ，当 时，令 ，
因为 在 单调递增， 在 单调递增，故 在 单调递增，
故 在 单调递减，故AB都错误；
对CD：当 时， ，其定义域为 ， ，故
为奇函数；
又 ，当 时， 均为减函数，故 为 上的
减函数，
故 为 上的增函数，故C错误，D正确.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司7. 有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率分别为 ，加工出来的零件混放在
一起．已知第 台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个零件，记事件 “零件为第i台车
床加工” ，事件 “零件为次品”，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.05 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】根据题意可得： ；
；
由全概率公式可得：
；
故
.
故选：D.
8. 已知函数 和函数 的图象分别为曲线 ， ，直线 与 ， 分别交于
， 两点， 为曲线 上的点.如果 为正三角形，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 可求得 ,由两曲线可知 ,即可求得点 坐标,再由正三角形 的性质可得
,进而求解.
【详解】由题可知,当 时, ,则 ,即 ,
由曲线 , 可得 ,所以 为 ,
又 为正三角形,所以 ,
所以 ,解得 ,
故选:B
【点睛】本题考查指数式与对数式的应用,考查对数函数图象的应用,考查运算能力.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 有一散点图如图所示，在5个 数据中去掉 后，下列说法中正确的是（ ）
A. 残差平方和变小
B. 相关系数 变小
C. 决定系数 变小
D. 解释变量 与响应变量 的相关性变强
【答案】AD
【解析】
【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．
【详解】解：从散点图可分析出，若去掉 点，则解释变量 与响应变量 的线性相关性变强，且是正相
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学科网（北京）股份有限公司关，
所以相关系数 变大，决定系数 变大，残差平方和变小.
故选：AD
10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称
为三角形的“欧拉线”.若 的三个顶点坐标分别为 ， ，其“欧拉线”为 ，圆
，则（ ）
A. 过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为4
B. 若直线 被圆 截得的弦长为2，则
C. 若圆 上有且只有两个点到 的距离都为1，则
D. 存在 ，使圆 上有三个点到 的距离都为1
【答案】BC
【解析】
【分析】A项，利用勾股定理写出 的表达式，即可求出 的最小值；B项，求出直线 的解析式，
得出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆 上有且只有两个点到 的距离，得出圆心 到直线
的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论.
【详解】由题意，
的三个顶点坐标分别为 ， ，
在圆 中， ，半径
，
A项，
过 作圆 的切线，切点为 ，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ,
在 中，由勾股定理得，
∴
∴当 时， 取最小值， ，故A错误；
B项，
重心坐标 即 ,
所 直线 ，即
在
线段 的中点 ,
∴ 的垂直平分线为： ，
同理可得， 的垂直平分线为： ，
，解得： ，
∴外心
由几何知识得，垂心与外心重合，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 过 和 ， ，即 ，
直线 被圆 截得的弦长为2，恰好为圆的直径，
∴直线 过圆心，
∴ ，即 ，B正确；
C项，圆 上有且只有两个点到 的距离都为1，
∴圆心 到直线 即 的距离小于直径.
∴ ，解得： ，故C正确；
D项，由几何知识得，
圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误；
故选：BC.
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（）
A. 当 时，若 有三个零点，则 的取值范围是（0，1）
B. 当 且 时，
C. ，
D. 若 存 在极值点 ，且 ，其中 ，则
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，B，求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于 C，代入解析式化简
即可；对于D，由 推理得到 ，又由函数极值点定
义，由 得到 代入化简即得．
【详解】对于A，当 时， ，
由 ，可得 或 ，由 ，可得 ，
故函数 在 和 上单调递增；在 上单调递减．
则函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
若 有三个零点，则 ，解得 ，故A正确；
对于B，当 且 时， ，
因为 ，所以 ，
由A函数 在 上单调递减，故 ，故B正确；
对于C，因为
，故
C错误；
对于D，由 求导得， ，
依题意， ，可得 ①
由 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，化简得 ②
将①代入②式，可化简得： ，
即 ，因 ，故得 ，即D正确．
故选：ABD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，若 ， ， ， 四点共面，则 ____．
【答案】-1
【解析】
【分析】表达出 ， ， ，根据四点共面得到 ，列出方程，求出答案.
【详解】依题意，得 ， ， ．
若 四点共面，则 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故答案为：-1
13. 已知函数 则 的解集是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；当 时， ，
因此函数 为奇函数，函数 在 上单调递减，在 上单调递减，
则函数 在 上单调递减，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司于是 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
14. 已知 面积为1，边 上的中线为 ，且 ，则边 的最小值为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ， ，由三角形面积公式得到 ，再由余弦定
理得到 ，令 ，得到 ，结合柯西不等式进而
可求解.
【详解】设 ，
易知 为 的重心，
又 ，由重心为中线三等分点可得： ，
同时 ，
设 ， ，
则 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
由余弦定理可得： ，
令 ，求其最小值即可，
上式化简可得： ，
也即 当且仅当 时取得等号，
所以 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
（1）若 ，求tanC的值：
（2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面积．
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用同角关系式可得 或sin ，然后利用和角公式即得；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由题可得 ，利用角平分线定理及条件可得 ，进而可得 ，
，即得.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
解得 或sin ,
当 时， ， ，
所以 ， ；
当 时，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由角平分线定理可知， ，又 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
∴ ， ，
所以 ．
16. 某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表：
7 7 8 8 8 9 9 9 9 9
A
6 8 3 4 5 0 2 5 8 9
6 7 7 7 8 8 8 8 9 9
B
3 2 3 5 0 1 4 5 2 9
对于该次测验， 分数 时为及格， 分数 分时为良好，成绩 分时为优秀.
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率；
（2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀
的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，
92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率，
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）分布列见解析，期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）应用古典概型求解事件的概率即可；
（2）A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人，再根据超几何分布计算其概率，列出分布
列，求期望；
（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a的取值范围即可求出概率.
【小问1详解】
由题意知，A组中良好的学生有5人，再从B组中良好的学生有7人，
从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为 .
因此，学生成绩为良好的概率为 .
【小问2详解】
根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人
X的可能取值为0，1，2.
则 ， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此，X的数学期望 .
【小问3详解】
A组成绩为成绩分别为76，83，92，平均值为 ，方差为
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学科网（北京）股份有限公司，
B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92， ，平均值为 ，
所以 ，
即 ，
代入检验，可知 最小为84，最大 ，
故B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率为 .
17. 一吊灯下沿圆环直径为 米，通过拉链 、 、 、 （ 、 、 是圆上三等份点）
悬挂在 处，圆环呈水平状态并距天花板2米，如图所示.
（1）为使拉链总长最短， 应多长？
（2）为美观与安全，在圆环上设置 ， ，……， （ ）各等分点，仍按上面方法连接．若还要
求拉链总长度最短，对比（1）时C点位置，此时C点将会上移还是会下移?请说明理由.
【答案】（1） ；（2） 点的位置将下移.
【解析】
【分析】（1）设 离天花板 米（ ），拉链总长度为 米，利用所给图得到
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学科网（北京）股份有限公司，利用导数求出 取何值时， 最小；（2）当在圆环上设置 个点时，拉链的总
长为 ，同样利用导数求出 取何值时 最小，并与（1）中值比较可知 点的位置
移动情况.
为
【详解】（1）设 离天花板 米（ ），拉链总长度 米，
由题意 、 、 、 四点构成一个正三棱锥， 、 、 为该三棱锥的三条棱侧，三棱锥的侧
棱长为 .
于是有 ，对其求导，得 .
当 时， ，解得 时， ，函数 为减函数；
时， ，函数 为增函数，
时，即 米时， 取最小值 米.
（2）由（1）可知，当在圆环上设置 个点时，拉链的总长为： ，
求导得 ，
当 时， .
解之得 ，因为 只有一个极值，所以 时，拉链长最短.
下面比较 与 的大小，
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学科网（北京）股份有限公司（其中 ），即 ，亦即得 ，所以 点的位
置将下移.
18. 已知数列 为等差数列或等比数列，前 项和为 ，且满足 ， .
（1）当数列 为等差数列时，求 的通项公式及 ；
（2）当 在 单调递增时，设 ，求 的值；
（3）当数列 为等比数列且为摆动数列时，设 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） ， .
（2）
（3）最大值为1，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即可求得结果；
（2）经分析可知只有当 时， 在 单调递增，满足题意，再利用裂项求和可得结果；
（3）由（2）可知当 时 为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求的结果.
【小问1详解】
假设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，所以 ，
所以 ，
.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司当数列 为等差数列时，由（1）知 ，显然 在 不单调；
当数列 为等比数列时，假设公比为 ， ，解得 或 ，
当 时， ，易知 在 单调递增；
当 时， ，易知 在 不单调，
所以 ，
所以 ，
.
【小问3详解】
当数列 为等比数列时，由（2）知 或 ，
又 为摆动数列，所以 ， ，
所以 ，
当 为奇数时， 单调递减， ，当 时取得最大值1，
当 为偶数时， 单调递增， ，当 时取得最小值 ，
所以 的最大值为1，最小值为 .
19. 如图，双曲线 ： 的虚轴长为2，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上
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学科网（北京）股份有限公司一点 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， .
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）当 时，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）由虚轴及离心率可得 ，即可得双曲线方程；
（2）令 ，设直线 为： ，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得
， .（i）代入 ，可得 ， ，结合 ，可得
，最后由 可得答案；（ii）由 ，结合 ， ， ，可得
的
关于 表达式，然后由基本不等式可得答案.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题知 ，解得 ，双曲线E的标准方程为 ；
【小问2详解】
令 ，设直线 为： ，与 联立得
，当 时，
设 ，则由韦达定理，及题意可得：
则 ， ，.
（i）当 时， ， ，
由 ，得 ，
又因为 ，即 ，
所以 ；
（ii）由题知 ， .
因为 ，
所以 ，又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
又 ，
则 ，
则 ，
当 取得，此时 满足题意.
综上， 的最小值为 .
【点睛】关键点睛：对于双曲线中所涉及的范围问题，常利用双曲线上点的横坐标范围，判别式，点与双
曲线位置关系求解；对于最值问题，常先找到所求量关于某变量的表达式，再利用函数知识或基本不等式
求解.
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学科网（北京）股份有限公司
