黑龙江省佳木斯市第一中学2024-2025学年高三上学期第五次调研考试数学试题Word版含解析_2025年1月_250108黑龙江省佳木斯市第一中学2025届高三上学期第五次调研考试（全科）

佳一中 2024-2025 学年度高三学年第五次调研考 试 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，结合复数的除法运算，求出复数 ， ， 再求 即可. 【详解】由 ，得 ，所 以 ， 所以 . 故选：C2. 若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即 可求参. 【详解】因为方程 表示椭圆， 所以 且 与 不相等， 所以 . 故选：C. 3. 若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点 在圆 的外部，故 ，解得 ， 故选：C 4. 若函数 ，则函数 的单调递减区 间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数 的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结 果. 【详解】函数 ，定义域为 ， 由 ，令 ，解得 ， 则函数 的单调递减区间为 . 故选：C. 5. 在等比数列 中，记其前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ） A. 2 B. 17 C. 2或8 D. 2或【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式求得 或 ，再利用等 比数的求和公式求解即可. 【详解】由等比数列的通项公式可得 ， 整理得 ， 解得 或 ． 当 时， ； 当 时， ． 所以 的值为2或17． 故选：D． 6. 设圆 和不过第三象限的直线 ，若圆 上恰有三点到直线 的距离均为 2，则实数 （ ） A. B. 1 C. 21 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离，结合直线在 轴的截距 ，即可求解. 【详解】 的圆心为 ，半径为若圆 上恰有三点到直线 距离均为2，则圆心到直线的距 离为 解得 或 ， 由于直线 不经过第三象限，则直线与 轴的交 点 ， 故 ， 故选：D 7. 如图，将绘有函数 （ ， ）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为 ， 此时A，B之间的距离为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，过分别作 轴、 轴的垂线相交于点 ，利用周期求 ，利用余弦定理求 ，然后由勾股定理求出 ，根据 图象过点 即可得解. 【详解】过 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，过 分别作 轴、 轴的垂线相交于点 ， 连接 ，则 ， 由余弦定理得 ， 由上可知， 轴垂直于 ，又 平面 ， 所以 轴垂直于平面 ，又 轴，所以 平 面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 的周期 ，所以 ， 由勾股定理得 ，解得 ， 由图知， 的图象过点 ，且在递减区间内，所以 ，即 ， 因为 ，点 在递减区间内，所以 . 故选：C 8. 设椭圆 的焦点为 ， ， 是椭圆上一点，且 ，若 的外接圆和内切圆 的半径分别为 ， ，当 时，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理计算 ，根据余弦定理计算 ，根据等 面积法列方程得出 ， 的关系，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的焦点为 ， ， ， 根据正弦定理可得 ， ， ． 设 ， ，则 ， 由余弦定理得， ， ，， 又 ， ， 即 ， 故 ， 解得： 或 （舍 ． 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题 给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线 恒过定点 B. 若两直线 与 平行，则实数 的值为1 C. 若 ， ，则直线 不经过第 二象限 D. 点 ， ，直线 与 线段 相交，则实数 的取值范围是【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两 直线平行，得到方程，求出实数 的值，检验后得到答案；C选项， 直线变形为斜截式，得到斜率与与 轴截距，得到C正确；D选项， 求出 过定点 ，画出图象，数形结合 得到实数 的取值范围. 【详解】A选项， ， 故直线恒过定点 ，A正确； B选项，两直线 与 平行，则 ， 解得 或 ， 当 时，两直线 与 满足要求， 当 时，两直线 与 满足要 求， 综上， 或 ，B错误； C选项，若 ，则直线 变形为 ， 直线斜率 ，与 轴截距为 直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确； D选项，直线 ，直线经过 定点 ，画出坐标系，如下： 其中 ， ， 则要想直线与线段 相交，则直线斜率 或 ， 解得 或 ，D错误. 故选：AC. 10. 已知圆 与圆 ，下列说法正确的是（ ） A. 过点 作圆 的切线有且只有一条 B. 圆 和圆 共有4条公切线 C. 若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为 D. 若E，F为圆 上的两个动点，且 ，则线段 的中点的轨迹方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用点圆位置关系即可判断；B选项，将两圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，判断两圆位置关系即可判断；C选 项，数形结合得到 ；D选项，由 垂径 定理得到 ，从而得到线段 的中点的轨迹方程. 【详解】对于A，对于圆 ，有 ， 所以点 在圆 上，则点 作圆 的切线有 且只有一条，故A正确； 对 于 B ， 圆 化 为 标 准 方 程 得 ， 则圆 的圆心为 ，半径为2， 圆 的方程化为 ， 则圆 的圆心为圆心 ，半径为3， 因此 ， 因为 ，所以 ， 所以两圆相交，则圆 和圆 共有2条公切线，故B错误； 对于C，根据圆的图象可知 ，故 C正确； 对于D，不妨设 中点为 ，则 ，圆 的 半径为3， 由 垂 径 定 理 可 知 ， 即， 设点 的坐标为 ，又点 的坐标为 ， 所以 的轨迹方程为 ，故D正确. 故选：ACD. 11. （多选）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面 平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点（点P与点A，D不 重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥 的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥 的体积最大值为 C. 在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直 D. 当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P不是半圆弧AD的中点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用空间中直线、平面垂直的有关定理证明即可；对于B，三棱锥 底面面积固定，当高最大时，体积最大， 可通过计算进行判断； 对于C，假设垂直，利用空间中直线、平面垂直的有关定理即可推出矛 盾； 对于D，首先利用空间向量解决当直线PB与平面ABCD所成角最大时， 点P的位置，进而作出判断即可. 【详解】对于A，因为四边形ABCD是正方形，所以 为直角 三角形， 又因为 为直径，所以 ， 为直角三角 形， 又因为半圆面 平面ABCD，平面 平面 ， ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 为直角三角形， 因 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 为直角三角形， 因此三棱锥 的四个面都是直角三角形，故选项A正确； 对于B，过点 在平面 内作 于点 ， 因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面ABCD， 为三棱锥 的高，所以 三棱锥 的体积 ， 因为 的面积 为定值， 所以当 最大时，三棱锥 的体积最大，此时点 为半圆弧AD的中点， ， 所以三棱锥 体积的最大值为 ，故B错 误； 对于C，若点P变化过程中，直线PA与BD垂直，由圆的性质 ， ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 又由A知： ，在同一平面内，一条直线不可能同时垂直于 两条相交直线， 所以点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直，故选项C正确； 对于D，由选项B解析可知： 平面ABCD， 为 在平面 内的投影， 所以 直线PB与平面ABCD所成角，当直线PB与平面ABCD 所成角最大时， 取最小值， 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设 ， ，则 ， 直角三角形 内， ，即 ， 所以 ，所以 ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时， 取最小值，直线PB与平面ABCD所成角最大， 此时点P不是半圆弧AD的中点，故选项D正确， 故选： . II卷非选择题三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由 可得 ， ，解得 ， 故答案为：6 13. 在 中， ，已知点 ， ，则点 到直线 的最大距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理及椭圆的定义可得动点 的轨迹，运用数形结 合即可求得结果. 【详解】由已知 ， ，则 6， 因为 ， 则由正弦定理可知 ， 所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为12的椭圆， 不含左、右顶点，所以当且仅当点 在椭圆的上、下顶点时，点 到直线 的距离最大为 . 故答案为： . 14. 在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ， ，若点 、 、 、 都在球 的 表面上，则球 的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 在平面 内作 ，垂足点为 ，取线段 的中点 ，连接 、 ，分析可 知，三棱锥 的外接球的球心 为 中点，设球 的半径为 ，利用锥体的体积公式可求出 的值，结合球 体的表面积公式可求得结果. 【详解】过点 在平面 内作作 ，垂足点为 ， 取线段 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：因为 ， ，则 ， 所以，三棱锥 的外接球的球心 为 中点， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，则 平面 ， 设球 的半径为 ，则 ， 又 ， ，所以， ， ， ， 所以， ， 所以，三棱锥 的体积为 ， 解得 ，因此，球 的表面积为 . 故答案为： . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．） 15. 已知点 ， ，点A关于直线的对称点为C. （1）求 的外接圆 的标准方程； （2）若过点 的直线 被圆E截得的弦长为2，求直线l的 方程. 【答案】（1） （2） 或 . 【解析】 【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点 的坐标，再利用待定 系数法求得圆的一般方程，从而配方得解； （2）利用圆的弦长公式求得圆心 到直线 的距离，再分类讨论 直线 斜率存在与否，利用点线距离公式列式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设点 ， 因为点 与点 关于直线 对称， 所以 ，解得 ，故 ， 设 的外接圆 的一般方程为 ， 则 ，解得 ， 则圆 的一般方程为 ，所以圆 的标准方程为 . 【小问2详解】 由（1）知，圆 的圆心为 ，半径为 ， 因为直线 被圆 截得的弦长为2， 所以圆心 到直线 的距离为 ， 当直线 斜率不存在时，直线 方程为 ，易知满足题 意； 当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ， 则 ，解得 ， 此时 的方程为 ，即 综上，所求直线 的方程为 或 . 16. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ， ， ，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得 ，利用余弦定理可求得 ，即可求得 ； （2）由 ，可得 ，利用三角形 的面积公式可求得 ，再利用余 弦定理即可求得. 【小问1详解】 由 及正弦定理得 ， 整理得 ， 又由余弦定理的推论得， ， 因为 ，所以 ． 【小问2详解】 由 ， ，得 ， 即 ，可得 ， 由余弦定理可得， ，即 ． 17. 已知等差数列 的公差 ，且 ， ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式；（2）设 求数列 前 项和为 ； （3）设 求数列 的前项和 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到 ，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 根据题意，因为 ， ， ， 成等比数列， 所以 ，又 ， 解得 ， ， 故 ； 【小问2详解】 因为 ， 所以； 【小问3详解】 ∵ ∴ ， ① ， - 得 ② ∴① ② . ∴18. 已知矩形 中， ， ， 是 的中点，如图所示，沿 将 翻折至 ，使得平面 平面 . （1）证明： ；（2）已知在线段 上存在点 （点 与点 ， 均不重合），使得 与平面 所成的角的正弦值是 . ①求 的值； ②求点 到平面 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）①先建立空间直角坐标系由线面角的正弦值即可求出比值； ②由空间向量法计算点到平面距离公式计算即可. 【小问1详解】 因为 矩形， ， ， 是 中 点，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 . 【小问2详解】 （1）以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则 ， ， ， ， ， ， 设 是 的中点，因为 ，所以 ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， ，所以 ， 设 ，则 ， 所以则 ， 则 . 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 令 ，可得 ， ， 即 为平面 的一个法向量， 设 与平面 所成的角为 ，所以 ， 解得 （ 舍去）， 所以 的值为 . ②由①得 ， 所以点 到平面 的距离 . 19. 已知函数 ， ． （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）若 恒成立，求 的 范围； （3）若 在 内有两个不同零点 ，求证： . 【答案】（1） （2）（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程， （2）构造函数 ，求导，根据单调性可得 ，进而 ，构造函数 ，求导判断单调性，即可求解最值得解. （3）根据 在 单调递减.证明 ，即可求证 ，构造函数 以及 ，利用导数求解单调性，即可求证. 小问1详解】 ， 则 ， ， 故切线方程为 ，即 ， 【小问2详解】 ， 令 ， 令 ，当 在 单调递增，且 ， 当 时， ， 解集为 ， 故 ，进而 即 ， 令 ， ， 当 单调递增，当 ， 单调递减， 当 时， ， ，因此 ， 故 小问3详解】 在 内有两个不同零点 ， 则 有两个根 ，即， 由（2）知，当 在 单调递增， 单调递减. 故 ， 欲证 ，即证 ， 由于 ， 在 单调递减.即 ，即 ， 即证 ，即 ， 即证 即证 显然成立， 欲证 即证 ，即证 即证 ，即证 ，即证令 ，则 ， 令 ， 故 在 单调递增，且 ， 在 单调递增， ， 得证 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨 别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研 究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种 思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数， 构造有效的函数往往是解题的关键.