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2025—2026 学年度（上）七校协作体期初高三联考数学试题
考试时间：120分钟 满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ 成立”是“ 成立”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．根据中国报告大厅对2023年3月—10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（亿千瓦时）
月度数据统计如下表，则（ ）
月份 3 4 5 6 7 8 9 10
发电量 242.94 230.87 240.59 259.33 258.9 269.19 246.06 244.31
A．中位数是259.115 B．极差是36.32
C．第85百分位数是257.33 D．第25百分位数是241.765
5．记 为事件A的对立事件，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（ ）
A．e B．1 C． D．
7．已知数列 中， ，记 为 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．已知 在 上恒成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自
行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，
样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
10．等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A． ， B．等差数列 的公差
C．使 成立的n最小为10 D．当 时， 取得最小值
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 在 单调递减
B．若 ，则
C．若 ，则 有最小值
D．若 有解，则实数c的最小值为－1
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量 ，则 _______
X 0 1 2 3
P a 5a13．已知函数 ，若这两个函数的图象在公共点 处有相同的切
线，则
14．若数列 满足 （ ，d为常数），则称数列 为调和数列．已知数列 为调
和数列，且 ，则 的最大值为
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．（13分）数列 中， ，满足 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和
16．（15分）设函数 ，函数 .
(1)若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的最大值
17．（15分）已知 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
18.（17分）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规
定：每位参与者进行 次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球
后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若 ，
（ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望；
（ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为 ，
无放回摸球中奖概率为 ，求 和 并比较它们大小．
(2)若 ，当 取得最大时的k值满足 （ ， ），若函数 与
有两个不同的公共点，求a的取值范围
19．（17分）已知函数 ，其中 ，e为自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 存在极小值点 ，且 ，求实数a的取值范围；
(3)若函数 有两个零点 ， ，求证：2025—2026 学年度（上）七校协作体期初高三联考数学试题答案
1-8 CADDCDBB 9、BCD 10、BC 11、BCD 12、 13、 14、
15、（1）由 ，得 ，又 ，所以 是首项为
，公比为 的等比数列.---------6分
（2）由（1）得 ， .所以
---------13分
16、（1）对于任意的 ，总存在 ，使得 ，即
，-----------------------------------------------------------2分
其中 ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故
，----------------------------------------------------------4分
因为 是减函数，所以当 时， ，---6分
所以 ，解得 .----------------------------------------------------------7分
（2） 时， 可得， ，
即 ，因为 ，分离参数可得
-----------------------------------------10分
，由题意，不等式在 存在解集，则
----------------------------------------------------13分因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，解得 ，
所以 的最大值为1.-----------------------------------------------------------------15分
17、（1）因为 ，故 ，故 ，
故 ，故 即为 ，--------------------------2分
设 ，则 ，故 在 上为增函数，
而 即为 ，故 ，
故原不等式的解为 .-------------------------------------------------------------6分
（2） 在 有极大值即为有极大值点.
，----------------8分
若 ，则 时， ， 时， ，
故 为 的极小值点，无极大值点，故舍；--------------------------------10分
若 即 ，则 时， ，
时， ，故 为 的极大值点，符合题设；--12分
若 ，则 时， ， 无极值点，舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，故 为 的极大值点，符合题设要求；----------------------------------------------------------------------------------------14分
综上， 且 . ---------------------------------------------------------------------15分
18、（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， 可取0，1，2，3，4，
，
0 1 2 3 4
； ；
； ； ； 服从超几何分布， 的分布列为：
，所以 ；--------------------------------------------4分
（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，
设有放回摸球中奖概率为 ，无放回摸球中奖概率为 ，
对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立， ，
则 ； ；
；故
，--------------------------------------------------------------------------------------------------8分
由（ⅰ）可知 ，因为 ，所以
；----------------------------------------------------10分
（2）当 ，则 ，若 最大，则 ，即 ，得
又 ， ，------------------------------------------------------14分
故 ， ，由题得方程 有两个不相等的正实根，
两边取对数得 有两个不相等的正实根，
构造函数 ，求导得 ，
令 ，解得 ；当 时， ；当 时， ；
易知 在 单调递增，在 单调递减，且 ，可知
的图象如下图所示：
由数形结合得， ，所以 .------------------------------------17分
19．（1）解：（1）当 时， ，
可知 的定义域为 ，且 ，
设 ，则 ，可知 在 单调递增，且 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .-------------4分（2）由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
设 ，则 ，可知 在 单调递增，
因为函数 存在极小值点 ，所以 在 存在零点 ，
即 ，可得 .则 ，可得
，
设 ，且 ，当 ， ，则 ；
当 ， ，则 .
可得 ， ，所以实数a的取值范围为 .--------------10分
（3）令 ，可得 ，
由题意可得： ，构建 ，则 ，
不妨设 ，可得 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知函数
在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
可得 ，构建 ， ，
可知函数 在
上单调递增，则 ，即 ，
则 ，且 ，又因为 在 上单调递减，所以 ，即.---------17分
