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绵阳南山中学实验学校高 2023 级 1 月月考
数学参考答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.
2
A B C D D B A D ABD AC ABC
13. 14.
11.ABC【解析】由双曲线 ： ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ，
所以 ，若 ，则 ，
所以 或 ，又 在右支时， ，所以 或 ，故A对；
若 的周长为20，则 ，又 ，
由对称性，不妨设 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，故B正确；
设 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，故C正确；
设 ，由 ，可得 ，所以 ，则可得 ，
所以 ，当且仅当 取等号，
又 时， 三点共线，由题意， 三点不能共线，故D错误.
故选：ABC.
15．（1）由 ，得 ，由 得， ，
故 ， …………………………3分
∴{b}是等差数列，首项为 ，公差为 ， …………………………5分
n
∴ ，∴ ； …………………………7分
（2） ；
所以 ， …………………………8分
两式相减得： …………………………9分
∴ ﹒ …………………………13分
16．（1） ， . …………2分
当 时， ， 在 上是单调增函数； ……………………4分
当 时， .当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减. …………………………8分
综上，当 时， 在 上是单调增函数；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. …………………………9分
（2）由（1）可得，当 时， . ………11分
由不等式 恒成立，得 成立，
即 在 时恒成立. …………………………12分
令 ， ，则 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. ………14分
所以 的最大值为 .得 ，所以实数 的取值范围是 . ………………15
分
17.（1）由 ，由正弦定理得 ， ………………………2分
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 （舍）或 ， …………………4分
因为 ，所以 ，得 ， ………………………5分
（2）（i）设 ，在 中，由正弦定理得 ，得 ， ………………………7分
因为 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，得 ， ………………10分
（ii）因为 ，所以当 取得最大值时， 的面积取得最大值，
， ………………13分
其中 ，所以当 时， 取得最大值 ，
所以 面积的最大值为 . …………………15分
18.（1）因为 与 不垂直，过点 做 ，交 于 ， ……………………1分
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
所以 平面 ， ………………3分
因为 平面 ，所以 ，
因为底面 是正方形， 与 交于点 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ……………………5分
（2）（i）因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，设 ，则 ，所以
由于 ，所以 ， ………………8分
因为 的面积是 面积的2倍，所以 ，解得： ，
即 ； ………………9分
（ii ）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为点 平面 ，且点 平面 ，所以平面 平面 ，
所以 ，
因为 ,所以 平面 ，
则以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， 设 ，
， ，不妨设 ，
所以 ，即 ， ………………11分
， ，设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ， ………………12分
， ，设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ， …………………13分
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ， …………………15分因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
当 时， ，即平面 与平面 夹角余弦值的最小值为 . ……………17分
19.（1）由 得 . 所以椭圆 的方程为 . ………………4分
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
，
所以 ， . ……………………6分
（ⅰ）四边形 的面积
整理得： 即 ，
解得： ， ……………………8分
所以直线 的方程为 ，即 . ……………………9分（ⅱ）由 ， ，得 ，
所以
， …………………………12分
由题知 ，又 ，
得 ，与 联立得 ， ， …………………………15分
所以直线 ， 的方程分别为 ， ，
两式联立得 ，直线 与 联立得 ，
代入 ，求得直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离为 . …………………………17分
