文档内容
试卷类型：A
高 三 数 学 试 题
本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设全集 , 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 ，则
A. B. C. D.
3. 已知向量 是平面内的一组基底，若向量 与 共线，则 的
值为
A. B. C. D.
高三数学试题 第1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司4. 函数 的单调递增区间为
A. B. C. D.
5. 已知椭圆 的离心率为 ，则
A． B. C. D.
6. 已知圆 与圆 相交于 两点， 其中点 是坐
标原点，点 分别是圆 与圆 的圆心，则
A. B. C. D.
7. 设数列 的前 项和为 , 设甲： 是等差数列；乙：对于所有的正整数 ，都
n(a +a )
1 n
S =
有 n 2 . 则
A. 甲是乙的充要条件
B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 锐角 满足 ，则
高三数学试题 第2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 一组样本数据由 个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组
新
样本数据，则
A. 两组样本数据的样本极差不同
B. 两组样本数据的样本方差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同
D. 两组样本数据的样本平均数可能相同
10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值. 天体亮度越强，
星等的数值越小, 星等的数值越大，天体的亮度就越暗. 两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为 的星的亮度为 . 已知太阳的星等是
，天狼星的星等是 ，南极星的星等是 ，则
A．天狼星的星等大约是南极星星等的 倍
B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是
C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是
D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是
高三数学试题 第3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司11. 已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，当 时，
，则
A． 的最小值是 ，最大值是 B． 的周期为
C． D．
12. 下列几何体中，可完全放入一个半径为 的球体内的是
A. 棱长为 的正方体
B. 底面半径为 ，高为 的圆锥
C. 棱长为 的正四面体
D. 底面边长为 ，高为 的正四棱锥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 现有 名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这 人
中安排 人参加，则恰有 人在这两天都参加的不同安排方式有 ▲ 种.
14. 将半径是 ，圆心角是 的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的体
积为 ▲ .
15. 已知函数 在区间 上单调递增，直线
和 为函数 的图象的两条相邻对称轴，则 ▲ .
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 . 点 为 左支
上的一点，过 作与 轴垂直的直线 ，若 到 的距离 满足 ，则
的离心率 的取值范围为 ▲ .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
的内角 的对边分别为 , 已知 .
（1）求 的值；
（2）若 是 上一点， , 求 的面积.
18. (12分)
如图，四棱柱 中， ,
.
A B
1 1
（1）求证： ；
D
1 C
1
（2）若 与平面 所成角为 ，
A
求平面 与平面 夹角 B
的余弦值. D C
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学科网（北京）股份有限公司19.（12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
20.（12分）
记 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，证明： .
21.（12分）
甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的 个红球和 个黑球. 从两
个袋中各任取一个球交换，重复进行 次操作后，记甲袋中黑球个数为 ，甲
袋中恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 .
（1）求 的分布列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 的通项公式；
（3）求 的数学期望 ．
22.（12分）
在直角坐标系 中， 动圆 过定点 ，且与定直线 相切， 记动
点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）已知正方形 有三个顶点在 上，求正方形 面积的最小值.
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