广东省四校联考2023-2024学年高三上学期第一次联考数学答案(1)_2023年9月_029月合集_2024届广东省四校联考高三9月第一次联考

2023~2024 学年第一学期四校联考（一）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B C D C B BC AB AD AC
1
13. [ ,+∞) 14. (−4,0)(0,4) 15. 1 16. 8
2
部分试题答案详解
5. C
【详解】由图象可知 f (x)在定义域内单调递增，所以a>1，
令 f (x)=log (x−b)=0，即x=b+1，所以函数 f (x)的零点为b+1，结合函数图象可知0<b+1<1，所以
a
−1<b<0，因此a+b>0，故A错误；
−a<ab<0，又因为a>1，所以−a<−1，因此ab<−1不一定成立，故B错误；
1 1
因为a−1<ab <a0，即 <ab <1，且0< <1，所以0<ab <1，故C正确；
a a
因为0< b <1，所以log b <log 1，即log b <0，故D错误，
a a a
故选：C.
6. D
f(x )− f(x )
【详解】因为函数 f(x)满足对任意实数x ≠ x ，都有 2 1 <0 成立，
1 2 x −x
2 1
所以函数 f(x)在R上递减，
a
≥1

2

所以a>0 ，解得：2≤a≤3

−a+6≥a


故选：D.
7．C
【详解】由题得c=log 0.2>log 0.3=1，
0.3 0.3
0<a=0.20.2 <0.20 =1，0<b=0.30.3 <0.30 =1，所以c>a,c>b.
1 2 3
a=0.20.2 =
1

5
=
1

10
=
10 1
=
10 40
， b=
 3

10
=
10 27
，
5 5 25 1000 10 1000
显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a>b，故有c>a>b. 故选：C.
第 1 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司8．B
【详解】
 −x2+4x,x≤4,
做出函数 f (x)= 的图像如图所示，
 log
2
(x−4),x>4,
65
由图可知，x +x =4，由 log (x−4) = f (2)=4，可得x= 或x20，
1 2 2 16
所以5<x <20，又因为log (x −4)+log (x −4)=0，
4 2 3 2 4
1
所以(x −4)(x −4)=1，故x = +4，
3 4 3 x −4
4
1 1 1 4 1 1 4
4x + x =4( +4)+ x = + (x −4)+17≥2 (x −4)⋅ +17=19
3 4 4 x −4 4 4 x −4 4 4 4 4 x −4
4 4 4
1 4
当且仅当 (x −4)= ，即x =8时取等号，
4 4 x −4 4
4
1
所以x +x +4x + x 的最小值为4+19=23.故选：B
1 2 3 4 4
9．BC
【详解】由题意数列{a }的首项a =1，且满足a =2a +1，则a =3,a =7，
n 1 n+1 n 2 3
a a
则 2 ≠ 3 ，故数列{a }不是等比数列，A错误；
a a n
1 2
由a =2a +1得a +1=2(a +1)，a +1≠0，否则与a =1矛盾，
n+1 n n+1 n n 1
a +1
则 n+1 =2，则数列{a +1}是等比数列，B正确；
a +1 n
n
由B分析知数列{a +1}是等比数列，首项为a +1=2，公比为q2，
n 1
则a +1=2×2n−1，所以a =2n−1，C正确；
n n
2(1−2n)
数列{a }的前n项的和为(21−1)+(22 −1)++(2n −1)= −n=2n+1−n−2，D错误.
n
1−2
故选：BC
10．AB
【详解】当4 − x2 ≤ x2，即x≤− 2或x≥ 2时，F(x) =4−x2；
第 2 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司当4 − x2 > x2，即− 2<x< 2时，F(x) =x2.
4−x2，x≤− 2


则F(x)=x2，− 2 <x< 2，画出图像如下.

 4−x2，x≥ 2
对于A选项，因F(x)=F(−x)，且x∈R，则函数F(x)是偶函数，A正确.
对于B选项，由图可得F(x)=0有三个解，B正确.
对于C选项，由图可得F(x)有4个单调区间，故C错误.
对于D选项，由图可得F(x)有最大值为2，无最小值，故D错误.
故选：AB
11．AD
【详解】 f (2+x)= f (2−x)，∴函数 f (x)图像关于直线x =2对称，故A正确；
又f(x)为偶函数， f (2+x)= f (2−x)= f(x−2)，所以函数 f (x)的周期为4，故B错误；由周期性和对
称性可知， f (7)= f(3)= f(1)=1，故C错误；
做出 f(x)与g(x)的图像，如下：
由图可知，当−2<x<6时，f(x)与g(x)共有4个交点，f(x)与g(x)均关于直线x=2对称，所以交点也关于
直线x=2对称，则有x +x +x +x =2×4=8，故D正确. 故选：AD.
1 2 3 4
12．AC
【详解】对选项A：因为ax1⋅ax2 =ax1 +x2 ，所以 f (x ) f (x )= f (x +x )，故选项A正确；
1 2 1 2
第 3 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司对选项B：因为ax1 +ax2 ≠ax1x2 ，所以 f (x )+ f (x )≠ f (x x )，故选项B错误；
1 2 1 2
对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)= f(x)− f(−x)=ax −a−x在R上单调递增，
不妨设x >x ，则g(x )>g(x )，所以(x −x )g(x )>(x −x )g(x )，即xg(x )+x g(x )>xg(x )+x g(x )，
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
故选项C正确；
1
对选项D：取x 1 =0,x 2 =−1,a=2，则 g   x 1 +x 2  =2 − 1 2 >0> g(x 1 )+g(x 2 ) = 0+ 2 −2 ，故D错误.
 2  2 2
故选：AC.
1
13．[ ,+∞)
2
1
【详解】设µ= 2x−1(x≥ ),
2
1+µ2 1+µ2 (µ+1)2
则x= (µ≥0)，∴y= +µ= (µ≥0)
2 2 2
(µ+1)2 1
µ≥0，∴y= ≥
2 2
1
故函数y=x+ 2x−1的值域为[ ,+∞).
2
1
故答案为：[ ,+∞)
2
14．(−4,0)(0,4)
【详解】①当x>0时， f (x)=x2−4x，xf (x)<0，即 f (x)<0，即x2−4x<0，
解得0<x<4；
②当x=0时，xf (x)=0，不成立；
③当x<0时， f (x)=−f (−x)=− ( x2+4x ) =−x2−4x，xf (x)<0，即 f (x)>0，
即−x2−4x>0，解得−4<x<0；
综上所述：x∈(−4,0)(0,4).
故答案为：(−4,0)(0,4).
15．1
【详解】由已知可得 f (2)=lg(2a−3)=0，则2a−3=1，解得a=2，故 f(x)=lg(2x−3)，
由2f(x)>lg ( kx2) 得lg(2x−3)2 >lg ( kx2) ，
第 4 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司9 12
因为x∈[ 3,4 ]，则kx2 <4x2−12x+9，可得k < − +4，
x2 x
1 1 1 1 1
令t = ∈

,

，g(t)=9t2−12t+4，则函数g(t)在

,

上单调递减，
x 4 3 4 3
1 25 25
所以，g(t) =g = ，∴k < .
max 4 16 16
因此，正整数k的最大值为1.
故答案为：1.
16. 8
【详解】a +(−1)na =3n+1，
n+2 n
当n为奇数时，a =a +3n+1；当n为偶数时，a +a =+3n+1.
n+2 n n+2 n
设数列{a }的前n项和为S ，S =a +a +++a =a +a +a +a +(a +a )+(a +a )
n n 8 1 2 8 1 3 5 7 2 4 6 8
=a +（a +4)+（a +14)+（a +30)+(a +a )+(a +a )
1 1 1 1 2 4 6 8
=4a +48+7+19=4a +74=106，解得a =8.
1 1 1
17.【详解】（1）设{a }的公比为q，由题设得
n
a =qn−1， ................................................1分
n
由已知得a ⋅q8 =4a ⋅q6，即q8 =4q6， ................................................2分
1 1
解得q=0（舍去），q =−2或q=2， .................................................3分
故a =（−2）n−1 或a =2n−1 ...............................................4分
n n
1−(−2)n
（2）若a =（−2）n−1，则S = ． ...............................................5分
n n 3
由S =127得(−2)m =−380，此方程没有正整数解． ...............................................7分
m
若a =2n−1，则S =2n −1， ...............................................8分
n n
由S =127得2m =128，解得m=7，综上，m=7. ..............................................10分
m
18.【详解】（1）由题意得 f (2)=4a+2b=0，故b=−2a， ................................................1分
f(x)−x=0即ax2+(b−1)x=0有唯一实数根，故∆=(b−1)2 =0， ...................................2分
第 5 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司1
解得b=1，故a=− ， ...............................................4分
2
1
故 f(x)=− x2+x； ...............................................5分
2
（2）x≥2，不等式 f(x)≥2−a恒成立，
只需 f (x)=ax2+bx=a ( x2−2x ) 的最小值大于或等于2−a，...............................................7分
当a>0时， f (x)=a ( x2−2x ) 在x∈[ 2,+∞)上单调递增， ...............................................9分
故 f (x) = f (2)=0，所以2−a≤0，解得a≥2，
min
所以实数a的取值范围是[2,+∞) . ..............................................12分
( )
 f 0 =b=0
 1
( )
 a+b
19.【详解】（1）由题意得 f x = 1 2 2 ，
f = =
 2 1 5

1+
 4
解得a =1，b=0，经验证满足题设； .....................................................2分
( )
（2） f x 在（−1，1）上是增函数. .....................................................3分
证明如下：在（−1，1）上任取两数x ，x 且−1< x < x <1，
1 2 1 2
x x x +x x2 −x −x x2 (x −x )(1−x x )
( ) ( )
则 f x − f x = 1 − 2 = 1 1 2 2 2 1 = 1 2 1 2 ，............5分
1 2 1+x2 1+x2 (1+x2)(1+x2) (1+x2)(1+x2)
1 2 1 2 1 2
因为−1< x < x <1，所以x −x <0，1−x x >0，1+x2 >0，1+x2 >0，...........7分
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
故 f x − f x <0，即 f x < f x ，所以 f x 在（−1，1）上为增函数；.....................8分
1 2 1 2
( )
（3） f x 为奇函数，定义域为（−1，1），
( ) ( ) ( ) ( )
由 f t−1 + f(t)<0得 f t−1 <−f t = f −t ， .........................................................9分
( )
∵ f x 在（−1，1）上为增函数，
1
∴−1<t−1<−t <1，解得0<t < .
2
1
所以原不等式的解集为{t0<t < }. .........................................................12分
2
1  1
20. 【详解】（1）当0<x≤10时，y=12x− x2+2x−30=− x2+10x−30； ............2分
2  2
第 6 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司 450  450
当10<x≤50时，y=12x−14x+ −115−30=−2x− +85. ..................................4分
 x  x
 1
− x2+10x−30,0<x≤10,

 2
故y= ........................................................5分
−2x− 450 +85,10<x≤50.
 x
1
（2）当0<x≤10时，函数y=− x2+10x−30为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x=10
2
1
所以y=− x2+10x−30在(0,10 ]上单调递增， .......................................................6分
2
1
故y =− ×102+10×10−30=20（万元）； ......................................................7分
max 2
450 450 450
当10<x≤50时，y =−2x− +85=−(2x+ )+85≤−2 2x⋅ +85=25，
x x x
450
当且仅当2x= ，即x=15时，等号成立. ..........................................................9分
x
即当x=15时，y =25（万元）. ............................................................10分
max
因为20<25，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，
最大值为25万元 .............................................................12分
21【详解】
（1）解：由“杨辉三角”的定义可知：a =1，当n≥2时，a −a =n ， ..................2分
1 n n−1
因为a =（a −a ）+（a −a ）++（a −a）+a ， ................................................3分
n n n−1 n−1 n−2 2 1 1
n(n+1)
故a =n+(n−1)++2+1= .................................................4分
n 2
n(n+1)
上式对a =1也成立，所以a = n∈N*） ................................................5分
1 n 2
n(n+1)
1
（2）解：由题意可得 2 ，所以b =n⋅( )n，设T =b +b +b ++b ，
b = n 2 n 1 2 3 n
n (n+1)⋅2n−1
1 1 1
所以T =1× +2×（ ）2 ++n×（ ）n， ①
n 2 2 2
1 1 1 1
所以 T =1×（ ）2 +2×（ ）3++n×（ ）n+1，② .................................................7分
2 n 2 2 2
1 1 1 1 1 1
由①−②可得 T = +（ ）2 +（ ）3++（ ）n −n×（ ）n+1， ....................................................8分
2 n 2 2 2 2 2
第 7 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司1 1
[1−（ ）n]
1 1
所以 T = 2 2 −n（⋅ ）n+1， .................................................9分
2 n 1 2
1−
2
1 1 1 1 1 1
即 T =1−（ ）n −n（⋅ ）n+1 =1−（ ）（n 1+ n） ，T =2−(n+2)( )n .................10分
2 n 2 2 2 2 n 2
n+2 n+2
所以b +b +b ++b =2− ，又因为 >0
1 2 3 n 2n 2n
故b +b +b ++b <2 .................................................12分
1 2 3 n
22.【详解】（1）解： f
(
x
)
的定义域为（0，+∞），
f′(
x
)
=lnx，........................................1分
当x∈（0，1）时，
f′(
x
)
<0，当x∈（1，+∞）时，
f′(
x
)
>0
( )
故 f x 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增. .................................................2分
( ) ( )
所以 f x = f 1 =−1 .................................................3分
min
a a−2x2
（2）解：由于g′( x ) = −2x= (x>0)，
x x
当a≤0时，g′(
x
)
<0，g
(
x
)
在（0，+∞）上单调递减，
此时存在x ∈（0，1），使得g ( x ) > g ( 1 ) =0，与题设矛盾. ..............................................4分
0 0
当a>0时，x∈（0，
a ）时，g′(
x
)
>0，x∈（
a ，+∞）时，g′(
x
)
<0，
2 2
( ) a a
故g x 在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减，
2 2
 a  a a a a a
所以g ( x ) = g =aln − +1= ln − +1，...............................................5分
max   2   2 2 2 2 2
要使g ( x ) ≤0在（0，+∞）恒成立，则g ( x ) ≤0，即 a ln a − a +1≤0...........................6分
max
2 2 2
( )
又由（1）知 f x = xlnx−x≥−1，即xlnx−x≥−1，（当且仅当x=1时，等号成立）.
a a a a a a a a
令x= 有 ln − +1≥0，故 ln − +1=0， =1，所以a=2.......................7分
2 2 2 2 2 2 2 2
（3）证明：由（2）知g ( x ) =2lnx≤ x2 −1得lnx2 ≤ x2 −1（当且仅当x=1时等号成立）
令x= t（t >0），则lnt ≤t−1（当且仅当t =1时等号成立），......................................8分
第 8 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司令t =ex，所以lnex ≤ex −1，即ex ≥ x+1（当且仅当x=0时等号成立），
1 1 1 n+1
令x= >0（n∈N*），则en > +1= .........................................10分
n n n
1 1 1 1 2 3 4 2022 2023
从而有e1⋅e2 ⋅e3e2021⋅e2022 > × × ×× ×
1 2 3 2021 2022
1 1 1
所以 1+ + + .........................................12分
e 2 3 2022 >2023
第 9 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司