文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（六）
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填
写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 ， ，根据 ，得到 ，从
而得到不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
故选：C
2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 为
“等部复数”，则实数a的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 3 D. -3
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用复数的乘法法则得到 ，从而得到 .
【详解】 ，故 .
故选：C
3. 双曲线 的离心率为 ，且过点 ，则双曲线方程为（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过已知得出 与 的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答
案.
【详解】 双曲线 的离心率为 ，
，
，
，即 ，
双曲线 过点 ，
，
则由 与 联立解得： ， ，
双曲线的方程为： ，
故选：B.
4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设 ，
用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如 ， ，
，设 为函数 的零点，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断 所在区间，最后根据高斯
函数的定义计算可得.
【详解】解：因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，即 ，所以 .
故选：A
5. 已知点P是圆 上一点，若点P到直线 的距离为
1，则满足条件的点P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.
【详解】由题意可知圆心为 ,所以 到 的距离为
，故与直线 平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点
即为满足条件的点P，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与 垂直的
直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.
故选:C
6. 已知 ，且 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 由 已 知 利 用 二 倍 角 公 式 ， 平 方 关 系 代 换 ， 可 得
，根据 的范围即可求解.
【详解】由 ，得
，
则 ，
即 ，得 ，
则 ，
得 或 ，
又 ，所以 ，
故 .
故选：B
7. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员
要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动
员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最
中间的所有排法的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法，根据古典
概型概率公式求概率.
【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，
且“冰墩墩”在最中间的所有排法有 种，
甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法有 种，
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学科网（北京）股份有限公司由古典概型的概率公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率： ，
故选：C.
8. 如图，在正方体 中，点P在线段 上运动（包含端点），则直线
与 所成角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以
（ ），又 ，设
则直线 与 所成角为 ，则 ，结合 的范围即可得解.
【详解】
以 为 建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ，
所以 （
）
，
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学科网（北京）股份有限公司则设直线 与 所成角为 ，
则 ，
由 ，所以 ，
，所以 ，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．
9. 圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周
长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即
可求解.
【详解】 侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，
若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径 ， ，
此时圆柱的体积
若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径 ， ，
此时圆柱的体积
故选：BD
10. 已知随机变量 服从二项分布 ，其方差 ，随机变量 服从正态分
布 ，且 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据二项分布的方差公式得到方程求出 ，再根据独立重复试验的概率公式求出
，即可判断A、B、C，最后根据正态分布的性质判断D.
【详解】解：因为随机变量 服从二项分布 ，且其方差 ，
所以 ，解得 ，故A正确；
所以 ，又 ，
所以 ，所以B正确，C错误；
所以 ，则正态曲线关于 对称，因为 ，
所以 ，故D错误.
故选：AB
11. 已知直线 交椭圆 于 ， 两点， 直线 上一点， 为
是
坐标原点，则（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B.
C.
D. 若 ， 是椭圆 的左，右焦点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆方程求出 、 、 ，即可求出离心率，即可判断A，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断 B，求出
，根据数量积的坐标表示判断C，设 关于直线 的对
称点为 ，求出对称点的坐标，再根据 ，即可判断D.
【详解】解：因为椭圆 ，所以 ， ，则 ，
，
所以离心率 ，故A正确；
设 ， ，由 ，消去 得 ，
显然 ，所以 ， ，
所以 ，故B错误；
又 ，
所以 ，故C错误；
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
则 ， ，当且仅当 ， ， 三点共线时取等
号，
所以 的最大值为 ，即
，故D正确，
故选：AD
12. 已知函数 ，若经过点 且与曲线 相切的直线有两条，
则实数 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导
画出草图即可根据条件得出答案.
【详解】设切点为 ，
由 ，
得 ，
则过切点的切线方程为： ，
把 代入，得 ，
即 ，
令 ，
则 ，
则当 时， ，
当 时， ，
的增区间为 与 ，减区间为 ，
做出草图如下：
因为过点 且与曲线 相切的直线有两条，则 或 ，
则 或 ，
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 ， ，则 ______．
【答案】0
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据向量的数量积和向量的模长公式，直接进行计算即可.
【详解】 ，
故答案为：0
14. 写出一个同时满足下列条件的非常数函数______．
①在 单调递增 ②值域 ③
【答案】 （不唯一）
【解析】
【分析】结合函数的性质选择合适函数即可.
【详解】由 得函数为偶函数，关于y轴对称，结合单调性及值域，可以为
.
故答案为： （不唯一）.
15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》
中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高
斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定
理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能
被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项
数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知所求数为能被 除余 ，得出数列 的通项公式，然后再求解项
数即可.
【详解】解：因为能被 除余 且被 除余 的数即为能被 除余 的数，
故 ，又 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 且 .
故答案为： .
16. 函数 的部分图象如图中实线所示，A，C为
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学科网（北京）股份有限公司的图象与x轴交点，且 ，M，N是 的图象与圆心为C的圆（虚线所
示）的交点，且点M在y轴上，N点的横坐标为 ，则圆C的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数 的图象以及圆 的对称性可得函数的周期，结合
可得 ，进而求解 的坐标，由勾股定理即可求解半径.
【详解】根据函数 的图象以及圆 的对称性，
可得 ， 两点关于圆心 对称，
所以 ，于是 ，
由 及 ，得 ，
由于 ，所以 ，
所 以 ， ， 从 而 ， 故 半 径 为
,
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得数列 为常数列，可数列 的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列前n项和.
【小问1详解】
由 ，得 ，所以数列 为常数列，有
，∴
【小问2详解】
，
，
，
两式相减， ，
所以
18. 如图，在 中， ， ， ，点D在边BC上，且
．
（1）求BD；
（2）求 的面积．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 求出 ，再由正弦定理即可求出BD
（2）根据余弦定理可求出 ，进而求出 的面积.
【小问1详解】
在 中， ，则 ， ，
所以 ，
由正弦定理可得： ，则 .
【小问2详解】
在 中，由余弦定理可得： ，
解得： .
所以 的面积 .
19. 近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参
加高考的100位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，
首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业
女性 45 15
男性 20 20
假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
（1）根据表中数据，能否有99% 的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
（2）若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业
作为首选志愿的人数．
参考公式： ，其中 ．
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学科网（北京）股份有限公司参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）首先利用数据求得 ，对照表
格数据即可得解；
（2）根据人数可得女生中首选志愿为师范专业的概率 ，设该校考生中随机选择8
位女生中选择师范专业作为首选志愿的人数为 ，所以 ，利用二项分布即可
得解.
【小问1详解】
根据所给数据求得 ，
所以没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.
【小问2详解】
100名高考考生中有60名女生，首选志愿为师范专业有45人，
故首选志愿为师范专业的概率 ，
设该校考生中随机选择8位女生，选择师范专业作为首选志愿的人数为 ，
所以 ，
所以 ，
所以随机选择8位女生计选择师范专业作为首选志愿的人数为6.
20. 如图，四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， ，
， ， ， ，点E在棱PC上．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面PAB；
（2）已知点E是棱PC上靠近点P的三等分点，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得
平面 ,再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以 为原点, , , 分别为 , , 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别
求出平面 和平面 的法向量，再由二面角公式即可得出答案.
【小问1详解】
因为 平面 , 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ,
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
以 为原点, , , 分别为 , , 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，
过 作 ，交 于点 ，则易知四边形 是矩形，
所以 ，
则 , , , , ,
E是棱PC上靠近点P的三等分点，
所以设 ，则 ，所以 ，
则 ，则 ， ,
设平面 的法向量为 ,则 且 ,
∴ 且 ,∴ ,令 ,则 ,
∴平面 的一个法向量 ,
设平面 的法向量为 ,
则 且 ,∴ 且 ,
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学科网（北京）股份有限公司∴令 ,则 ,∴平面 的一个法向量 ,
∴ ,
二面角 的余弦值为 .
21. 已知直线 过抛物线 的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，
当 的面积是 时，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求出焦点坐标为 ，从而得到 ，求出抛物线方程；
（2）设出 ，过点A的抛物线的切线方程设为 ，与抛物线方程
联立，根据 得到 ，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分
别为 ，求出 ，表达出 ，
，列出方程 ，求出 ，得到点A的坐标.
【小问1详解】
中令 得： ，
故焦点坐标为 ，故 ，解得： ，故抛物线方程为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
抛物线准线方程为： ，
设 ，过点A的抛物线的切线方程设为 ，
联立 得： ，
由 ，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为 ，
故 ，
令 中，令 得： ，
不妨设 ，故 ，
则 ，
解得： ，故点A的坐标为 或 .
【点睛】已知抛物线方程 ，点 为抛物线上一点，则过点 的
抛物线切线方程为 ，
若点 在抛物线外一点，过点 作抛物线的两条切线，切点弦方程为
.
22. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的最值；
（2）若关于x 不的等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）最小值为 ，无最大值.
（2）
【解析】
【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数
，利用导数结合单调性讨论其最小值即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 有最小值为 ，无最大值.
【小问2详解】
由 的定义域可得 ，
即 ，
等价于 恒成立，
令 ，所以
，
令 ，
所以 在 恒成立，
所以 单调递增，
，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ，
所以当 时， ，即 ， 单调递减，
时， ，即 ， 单调递增，
所以
由 得 ，也即 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，由(1)知 在 单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价
变形为 ,从而 ，构造函数讨论单调性及
最值是常用的方法，解决的关键在于利用零点的存在性定理得 ，再根
据（1）得 的单调性，进一步得到 ， ，等量代
换求出最小值.
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学科网（北京）股份有限公司
