2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(四)答案(1)(1)_2024年2月_022月合集_仿真丨新高考2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（一至六）

2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（四）
注意事项：
1.本卷满分 150分，考试时间 120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写
在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知复数
z 1 3i ，则z2
在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数z2，再根据复数的几何意义判断即可.
 2  2
【详解】解：因为z 1 3i ，所以z2  1 3i 12 3i 3i 22 3i ，
 
所以z2在复平面内对应的点的坐标为 2,2 3 位于第三象限.
故选：C
 
2. 已知全集U {x∣6 x2}，集合A x∣x2 2x30 ，则ð A=（ ）
U
A.
6,2 
B.
3,2 
C. 6,3  1,2  D.  6,3  1,2 
【答案】D
【解析】
【分析】计算出集合B，由补集的定义即可得出答案.
【详解】因为A  x∣x22x30    x 3 x1  ，
ð A=  6,3  1,2  .
U
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
3. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一
个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B,C 分别是上､下底面圆的圆心，
且AC 3AB 6，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
80 70p 56
A. B. C. 20 D.
3 3 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.
【详解】已知底面圆的半径r 2，由AC 3AB 6，则AB  2,BC  4，
1 56
故该陀螺的体积V  BCr2  ABr2  .
3 3
故选：D.
4. 已知一组数据：x ,x ,x 的平均数是4，方差是2，则由3x 1,3x 1,3x 1和11这四
1 2 3 1 2 3
个数据组成的新数据组的方差是（ ）
27
A.27 B. C.12 D.11
2
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.
【详解】因为一组数据x，x ，x 的平均数是4，方差是2，
1 2 3
1 1
所以 (x x x )4, [(x 4)2(x 4)2(x 4)2]2 ，
3 1 2 3 3 1 2 3
所以x x x 12,(x 4)2 (x 4)2 (x 4)2 6，
1 2 3 1 2 3
所以3x 1,3x 1,3x 1，11的平均数为
1 2 3
1 1
[11(3x 1)(3x 1)(3x 1)] [113(x x x )3]11 ，
4 1 2 3 4 1 2 3
所以3x 1,3x 1,3x 1，11的方差为
1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司1
[(1111)2 (3x 12)2 (3x 12)2 (3x 12)2]
4 1 2 3
1 1 27
 9[(x 4)2(x 4)2(x 4)2] 96
4 1 2 3 4 2
故选：B
          
5. 若非零向量a,b满足2 a  b 2, a2b a，则向量a与b夹角的余弦值为（ ）
3 1 1
1
A. B. C. D.
4 2 3 4
【答案】D
【解析】
          
【分析】求出 a =1,b =2，根据 a2b a可得 a2b a 0,代入化简求解夹角余弦
值即可.
 
【详解】设a与b 的夹角为，
      
 
因为2 a  b 2, a2b a，所以 a =1,b =2，
      
 a2b a a2 2 a b cos0.

a2 1
cos    .
2 a b 4
故选：D.
6. 已知圆O :(x2)2 (y3)2 4，圆O :x2  y2 2x2y70，则同时与圆O 和
1 2 1
圆O 相切的直线有（ ）
2
A.4条 B.3条 C.2条 D.0条
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由圆O :  x2 2  y3 2 4，则圆心O  2,3  ，半径r 2；
1 1 1
由圆O :x2  y2 2x2y70，整理可得 x1 2  y1 2 9，则圆心O 1,1  ，
2 2
半径r 3；
2
由 OO   21 2  31 2 5r r ，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.
1 2 1 2
故选：B.
7. 已知函数 f  x  Asin x (A0,0,0)的部分图象如图所示，则函数
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学科网（北京）股份有限公司f

x

在区间
 0,10
上的零点个数为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求 f(x)0的根解不等式即可.
3 7π 2π T
【详解】由题意知， T  ( )3π，解得：T 4π， 2，
4 3 3 2
方法1：∴作出函数图象如图所示，
∴ f(x)在区间[0,10π]上的零点个数为5.
2π
方法2：∴ f(x)0，解得：x 2kπ,kZ，
3
2π 1 16
∴0 2kπ10π，kZ，解得： k  ，kZ，
3 3 3
∴k 1,2,3,4,5，∴ f(x)在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.
故选：B.
x2 y2
8. 已知椭圆C:  1(a b 0)的左､右焦点分别为F,F ，点P在椭圆C上，若离
a2 b2 1 2
PF
心率e 1 ，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
PF
2
   2   2 
A. 0, 21 B.   0,   C.  ,1  D.
 2   2 

 21,1

【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
PF 2a
【分析】由题意可知e 1 ，结合椭圆的定义解得 PF  ，再由
PF 2 e1
2
ac PF ac求解.
2
PF
【详解】因为e 1 ，所以 PF e PF ，
PF 1 2
2
2a
由椭圆的定义得： PF  PF 2a，解得 PF  ，
1 2 2 e1
2a
因为ac PF ac，所以ac ac，
2 e1
2
两边同除以a得1e 1e，解得 e 21，
e1
因为 0e1，所以 21e1，
所以该离心率e的取值范围是[ 21,1)
故选：D.
二､多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
 π 1tan
9. 若tan2   ，则的值可能为（ ）
 3 1tan
π 7π 19π 5π
A. B. C. D. 
36 36 36 36
【答案】BCD
【解析】
π 1tan π
【分析】根据题意可得：tan(2 )  tan( )，然后利用正切函数的性质
3 1tan 4
即可求解.
π
tan tan
1tan 4 π π π
【详解】因为   tan( )，则tan(2 ) tan( )，
1tan π 4 3 4
1tan tan
4
π π kπ 7π
所以2 kπ ,kZ，解得：  ,kZ，
3 4 3 36
7π 19π 5π
当k 0时， ；当k 1时， ；当k 1时， ；
36 36 36
故选：BCD.
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学科网（北京）股份有限公司10. 某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参
1
加，每人选择各项目的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（ ）
3
1
A. 三人都选择长跑的概率为
27
2
B. 三人都不选择长跑的概率为
3
4
C. 至少有两人选择跳绳的概率为
27
5
D. 在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为
7
【答案】AD
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.
【详解】由已知
1 1 1 1
三人选择长跑的概率为    ，故A正确.
3 3 3 27
2 2 2 8
三人都不选择长跑的概率为    ，故B错误.
3 3 3 27
1 1 1 1 1 2 7
至少有两人选择跳绳的概率为   C2    ，故C错误.
3 3 3 3 3 3 3 27
1 1 1 1 1 2 7
记至少有两人选择跳远为事件A，所以P  A    C2    .
3 3 3 3 3 3 3 27
11 1 2 1 5
记丙同学选择跳远为事件B，所以P  AB    C1     .
33 3 2 3 3 27
 
P AB 5
 
所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为P B A   ，
 
P B 7
故D正确.
故选：AD
11. 设函数 f  x  x1  ln  x1  (x0)，若 f  x  k1  x1恒成立，则满足条件的
正整数k可以是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意可得g  x  x1  ln  x1  k1  x10，利用导数结合分类讨论
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学科网（北京）股份有限公司解决恒成立问题.
【详解】若 f  x  k1  x1恒成立，则
f  x  k1  x1 x1  ln  x1  k1  x10恒成立，
构建g  x  x1  ln  x1  k1  x1，则g x ln  x1 2k，
∵x0，故ln  x1 0，则有：
当2k 0，即k
2时，则g
x
0当x0时恒成立，
故g

x

在
 0,
上单调递增，则g

x

g

0
10，
即k 2符合题意，故满足条件的正整数k为1或2；
当2k 0，即k
2时，令g
x
0，则xek2
1，
故g  x  在  0,ek2 1  上单调递减，在  ek2 1,  上单调递增，则
g  x  g  ek2 1  kek2 0，
构建G  k kek2，则G k 1ek2 0当k 2时恒成立，
故G  x  在2,上单调递减，则G  k G  2 10，
∵G  3 3e0,G  4 4e2 0，
故满足G  k 0  k 2  的整数k 3；
综上所述：符合条件的整数k为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC
.
12. 已知三棱锥PABC中，PA平面
2
ABC,PA4,BAC  ,AB AC 2 3,M 是边BC上一动点，则（ ）
3
A. 点C到平面PAB的距离为2
21
B. 直线AB与PC所成角的余弦值为
14
C. 若M 是BC中点，则平面PAM 平面PBC
4 3
D. 直线PM 与平面ABC所成的最大角的正切值为
3
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得
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学科网（北京）股份有限公司答案；
对于B，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；
对于C，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；
对于D，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.
【详解】对于A，在平面ABC内，过C作CD AB，如下图所示：
PA平面ABC，且CD平面ABC，PACD，
CD  AB，PAAB  A，AB,PA平面PAB，\ CD^ 平面PAB，
2 
则C到平面PAB的距离为 CD ，BAC  ，AB  AC  2 3，ABC  ，
3 6
在RtBCD中，
CD CBsinCBA AB2  AC2 2ABACcosBAC sinCBA3，故A错误；
对于B，在平面ABC内，过A作AE  AB，且E  BC ，易知AB,AE,AP 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系：
则A  0,0,0  ，B  2 3,0,0  ，C   3,3,0  ，P  0,0,4  ，
 
   
得AB  2 3,0,0 ，PC   3,3,4 ，
   
 
ABPC  2 3  3 6， AB 2 3， PC  3916 2 7 ，
 
  ABPC 21
则cos AB,PC     ，故B正确；
AB  PC 14
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学科网（北京）股份有限公司对于C，作图如下：
在ABC中，AB AC，M 为BC的中点，则AM BC，
PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，
AM PA A，AM,PA平面AMP，BC 平面AMP，
BC 平面PBC，平面PBC平面AMP，故C正确，
对于D，作图如下：
PA平面ABC，AM 平面ABC，PA AM ，
PA
则在RtPAM 中，tanAMP  ，当AM 取得最小值时，tanAMP取得最大值，
AM

当M 为BC的中点时，由C可知，AM BC，AM 取得最小值为ABsin  3，
6
4 3
则tanAMP取得最大值为 ，故D正确.
3
故选：BCD.
三､填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
k 3x
13. 函数 f  x   xR 为奇函数，则实数k的取值为__________.
1k3x
【答案】1
【解析】
【分析】由奇函数的定义求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司k 3x
【详解】函数 f  x   xR 为奇函数，必有k 0，
1k3x
k3x k·3x 1 k3x 3x k
则 f x   f  x   ，
1k3x 3x k 1k3x 1k3x
于是得32x k2 k2·32x 1恒成立，即k2 1，
解得：k 1.
故答案为：1.
14. 已知抛物线y2 8x的焦点为F ，抛物线上一点P，若 PF 5，则POF 的面积为
______________.
【答案】2 6
【解析】
【分析】先根据抛物线定义得P点坐标，再根据三角形面积公式求解.
【详解】因为 PF 5，所以x 25x 3,y 2 24,| y |2 6，
P P P P
1 1
因此POF 的面积为 | y ||OF|= 2 62=2 6.
2 P 2
【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.
15. 由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有
__________个.
【答案】78
【解析】
【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情
况讨论.
【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0
当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步
乘法原理一共有6636种方法；
当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原
理一共有76 42种方法；
则一共有364278种
故答案为：78
2a
16. 已知a0，函数g  x  x 2在  3, 上的最小值为2，则实数
x
a  __________.
【答案】1
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用导数分类为 2a 3与 2a 3讨论，得出g  x  在  3, 上的最小值，
由最小值为2求解a的值即可得出答案.
2a
【详解】g  x  x 2，
x
  
2a x2  2a  x 2a x 2a
g x 1   ，
x2 x2 x2
当 2a 3时，即0a 7时，
则g x 0在 3,上恒成立，则g  x  在  3,上单调递增，
5a
gx在  3, 上的最小值为g  3  2，解得a 1，
3
当 2a 3时，即a 7时，
当x3, 2a  时，g x 0，g  x  单调递减，

当x  2a,  时，g x 0，g  x  单调递增，
  2a
gx在  3, 上的最小值为g 2a  2a  22,a 2 ，舍去，
2a
综上所述：a1，
故答案为：1.
四､解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了
国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪
人数y（单位：百人）的数据.
天数代码x 1 2 3 4 5
滑雪人数y（百人）
9 11 14 26 20
经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的
回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.
参考公式：线性回归方程 yˆ b ˆ xaˆ的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
n
 x x  y  y 
i i
b   i1 ,aˆ y b ˆ x .
n
 x x 2
i
i1
第11页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 yˆ 3.7x4.9；9.
【解析】
【分析】根据表中数据及平均数公式求出aˆ,b ˆ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪
人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.
12345 911142620
【详解】由题意可知，x 3，y  16，
5 5
所以
5
 x x  y  y  13  916   23  1116   33   1416 
i i
i1
 43  2616  53  2016 
2 7 1 5 02 11024 145010837
5
 x x 2  13 2  23 2  33 2   43 2   53 2  4101410 ，
i
i1
5
 x x  y  y 
i i 37
所以b   i1   3.7，
 5  x x 2 10
i
i1
aˆ  yb ˆ x 163.734.9，
所以y关于x的回归方程为 yˆ 3.7x4.9.
因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7x4.935，解得
30.1
x 8.14,
3.7
所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.
2 78
18. 如图，四边形ABCD中，B 150,D 60,AB 2 3,AD  ,ABC的面
3
积为2 3.
（1）求AC；
（2）求ACD.
【答案】（1）2 13
第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司π
（2）
4
【解析】
【分析】（1）在ABC中，利用面积公式、余弦定理运算求解；
（2）在ACD中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.
【小问1详解】
1 1 1
在ABC中，由ABC的面积S  ABBCsinB  2 3BC 2 3，可得
2 2 2
BC 4，
由余弦定理
 3
AC2  AB2 BC2 2ABBCcosB 121622 34 52，即
 
 2 
AC 2 13.
【小问2详解】
AC AD
在ACD中，由正弦定理  ，可得
sinD sinACD
3 2 78

ADsinD 2 3 2 ，
sinACD  
AC 2 13 2
π
∵AD AC，则ACDD60，故ACD .
4
19. 设数列  a  的前n项和为S ,S 2a 2n6  nN*  .
n n n n
 
（1）求数列 a 的通项公式；
n
 2n1  127
（2）若数列 的前m项和T  ，求m的值.
a a  m 258
n n1
【答案】（1）a 2n
n
（2）7
【解析】
【分析】（1）当n2时，构造S 2a 2n8，与条件中的式子，两式相减，得
n1 n1
a 2a 2，转化为构造等比数列求通项公式；
n n1
2n1 2n1
（2）由（1）可知b
n

a a

 2n 2  2n12 
，利用裂项相消求和法求解.
n n1
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为S 2a 2n6，所以当n 1时，S 2a 4，解得a 4．
n n 1 1 1
当n2时，S 2a 2n8，则S S 2a 2a 2，
n1 n1 n n1 n n1
整理得a 2a 2，即a 22  a 2  ．
n n1 n n1
所以数列  a 2  是首项为2，公比为2的等比数列，
n
所以a 222n1 2n．所以a 2n 2.
n n
【小问2详解】
2n1 2n1  1 1 
令b   2  ，
n a a  2n 2  2n12  2n 2 2n12
n n1
1 1 1 1 1 1 1 1 
数列  b  的前m项和T 2      +  ，
n m 4 6 6 10 10 14 2m 2 2m12
1 1  1 2
=2     ，
4 2m12 2 2m12
1 2 127 2 2
则   ，则  ，
2 2m12 258 2m12 258
则2m1 256m7.
m的值为7.
20. 如图，正方体ABCDABCD 的棱长为4，点E、P分别是DD 、AC 的中点.
1 1 1 1 1 1 1
（1）求证：BP 平面AEC ；
1 1
（2）求直线BC与平面AEC 所成角的正弦值.
1 1 1
【答案】（1）证明见解析
3
（2）
6
【解析】
   
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明EC BP0，EA BP0，即
1 1
可得证；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
       
证明：如图建立空间直角坐标系，则E 0,0,2 ，B 4,4,0 ，B 4,4,4 ，P 2,2,4 ，
1
C  0,4,4  ，A 4,0,4，C  0,4,0  ，
1 1
  
所以EC  0,4,2 ，EA  4,0,2 ，BP 2,2,4 ，
1 1
   
所以EC BP0，EA BP0，
1 1
所以EC  BP，EA BP，又EC EA E ，EC ,EA 平面AEC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以BP 平面AEC .
1 1
【小问2详解】

解：由（1）可知BP 2,2,4 可以为平面AEC 的法向量，
1 1

又BC 4,0,4 ，
1
设直线BC与平面AEC 所成角为，则
1 1 1
 
BCBP 24 02 44 
3
1
sin     ，
BC  BP 4 22 6 6
1
3
故直线BC与平面AEC 所成角的正弦值为 .
1 1 1
6
x2 y2
21. 已知双曲线C:  1(a0,b0)的一条渐近线方程为x2y 0，一个焦点到该渐
a2 b2
近线的距离为1.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的右顶点为A，直线l: y kxm与双曲线C相交于M,N两点(M,N不
 
是左右顶点），且AM AN 0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
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学科网（北京）股份有限公司x2
【答案】（1）  y2 1
4
10 
（2）证明过程见解析，定点坐标为 ,0
 3 
【解析】
b 1
【分析】（1）由渐近线方程求出  ，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c 5 ，
a 2
从而求出a 2,b1，得到双曲线方程；
x2  
（2）l: y kxm与  y2 1联立，求出两根之和，两根之积，由AM AN 0列出方
4
10
程，求出m k或m2k ，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为
3
10 
 ,0.
 3 
【小问1详解】
b 1
因为渐近线方程为x2y 0，所以  ，
a 2
c
焦点坐标  c,0  到渐近线x2y 0的距离为 1，解得：c 5 ，
14
因为a2 b2 c2 5，解得：a 2,b1，
x2
所以双曲线C的方程为  y2 1；
4
【小问2详解】
 
由题意得：A 2,0 ，
x2  
l: y kxm与  y2 1联立得： 14k2 x2 8kmx4m2 40，
4
8km 4m2 4
   
设M x ,y ,N x ,y ，则x x  ,x x  ，
1 1 2 2 1 2 14k2 1 2 14k2
y y  kx m  kx m k2x x km  x x m2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
 
AM AN  x 2,y  x 2,y  x x 2  x x 4 y y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
 k2 x x  km2  x  x  m2 4   1k2   4m24  km2  8km m2  40 1
1 2 1 2 14k2 14k2
，
化简得：20k2 16km3m2 0，
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学科网（北京）股份有限公司10
解得：m k或m2k ，
3
10  10 10 
当m k时，l: y kx 恒过点 ,0，
3  3   3 
当m2k 时，l:y k  x2  恒过点A  2,0  ，此时M,N中有一点与A  2,0  重合，不
合题意，舍去，
10 
综上：直线l过定点，定点为 ,0，
 3 
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k），
（2）利用条件找到k与过定点的曲线F

x,y
0的联系，得到有关k与x,y的等式，
 
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 x ,y ，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，
0 0
此时要将关于k与x,y的等式进行变形，直至找到  x ,y  ，
0 0
①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，变形为“k 
”的形式，让括号
中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，
可消去k变为常数.
22. 已知函数 f  x ex x4ln  2x  .
    
（1）求函数 f x 的图象在 0, f 0 处的切线方程；
 
（2）判断函数 f x 的零点个数，并说明理由.
【答案】（1） y 14ln2
（2）有两个零点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；
（2）令 f  x 0，转化为t  x  =ex x 2  与g  x x4ln  2x  x 2  图象交点的
 
个数，利用导数得到g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.
【小问1详解】
4
f x ex 1  x2 ，
2x
4
所以切线斜率为 f 0 e0 1 0 ，
20
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学科网（北京）股份有限公司f  0 e0 04ln  20 14ln2 ，所以切点坐标为  0,14ln2  ，
函数 f  x  的图象在  0, f  0  处的切线方程为y 14ln2；
【小问2详解】
有两个零点，理由如下，
令 f  x ex x4ln  2x 0，可得ex x4ln  2x  ，
判断函数 f  x  的零点个数即判断t  x  =ex x 2  与g  x x4ln  2x  x 2  图象
交点的个数，
因为t  x  =ex为单调递增函数，t  x 0，当x无限接近于时，tx无限接近于0，
且t  2  =e2，
4 x2
由g x 1 = 0，得x2，
2x 2x
当2 x2时，g x 0，g  x  单调递增，
当x<2时，g x 0，g  x  单调递减，
所以g 2 24ln40，g  e32  e324lne3 e3100 ，
3 3 1 24 28
g  1 10，g   4ln ln ln 0，
2 2 2 e3 e3
且当x无限接近于2时g  x  无限接近于，
所以t  x  =ex与g  x x4ln  2x  的图象在x  0时有一个交点，在0 x2时有一
个交点，
 
综上函数 f x 有2个零点.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解
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