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漯河市高级中学 2023—2024 学年高三（上）摸底考试
数 学
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和
答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.下面四个命题正确的是( )
A.10以内的质数集合是
B.0与 表示同一个集合
C.方程 的解集是
D.由1，2，3组成的集合可表示为 或
2.若复数z所对应的点在第四象限，且满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C
的四等分点，则 等于( )
1 5
A. 2 B. C. 2 D.
4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：
有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每
天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？( )
A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.设直线l的方向向量为a，平面 的法向量为n.若 ，则直线l与平
面 所成的角为( )
A. B. C. D.
7.若对任意正实数x，y都有 ，则实数m的取值范围为(
)
A. B. C.
(,0)[1,)
D.
(,0)[e,)
8.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知集合 有且仅有两个子集，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若不等式 的解集为 ，则
D.若不等式 的解集为 ，且 ，则
10.双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则C的离心率
为( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A.点斜式 适用于不垂直于x轴的任何直线
B.斜截式 适用于不垂直于x轴的任何直线
学科网（北京）股份有限公司C.两点式 适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线
D.截距式 适用于不过原点的任何直线
12.已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A.函数 在 处取得极大值
B.方程 有两个不同的实数根
C.
D.若不等式 在 上恒成立，则
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 ， ，如果对任意的 ， ，都有
成立，则实数a的取值范围是______.
14.已知函数 在 上是增函数, 则a 的取值范围是
__________.
15.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若 ，
，P，Q，M，N分别是棱 ， ， ， 的中点，则异面直线
PQ与MN所成角的余弦值是___________.
16.在等差数列 中， ，公差为d，前n项和为 ，当且仅当 时 取得最
大值，则d的取值范围为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
学科网（北京）股份有限公司17.（10分）
已知等比数列 的各项均为正数，且 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）数列 满足 ，求 的前n项和 .
18.（12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ，直线 .设圆C的半径为1，圆
心在l上.
（1）若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使 ，求圆心C的横坐标a的取值范围.
19.（12分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 ，且 ， .
（1）求 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明.
20.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天
需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如
果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200
瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面
的频数分布表：
最高气温 [10,15) [20,25) [30,35)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货
量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
21.（12分）
3
3,
已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过 (2,0) ， 2 两点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆C的方程；
x2 y2 1
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆 相切，与椭圆C交于A，B两点，且
满足 (O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理
由.
22.（12分）
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下
的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这
块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测
量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，
AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 .
（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
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