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衡阳市八中 2024 届高三暑期检测
数 学 试 题
注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．若 ，则 （
）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ ”的 （
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 ，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （
）
A． B． C． D．
5．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则双曲线 的离心
率为 （
）
A． B． C． D．
6．八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形 ，设其边长
为 ，中心为 ，则下列选项中不正确的是 （
）
A．
B．
C． 和 是一对相反向量
D．
7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司时， .若数列 ，则下列结论:① 的函
数图像关于直线 对称；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的是 （
）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．已知函数 ，则不等式 的解集是 （
）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
9．根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是
（
）
A．2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B．可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万
C．2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D．2019年我国研究生在校总人数不超过285万
10．函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 （
）
A．
B．函数 的零点为
C．函数 图象的对称轴为直线
D．若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为
试卷第2页，共4页11．如图，棱长为2的正方体 中，点E，F，G分别是棱 的中点，则（ ）
A．直线 为异面直线
B．
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
12．已知O为坐标原点， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下
列结论正确的有 （
）
A．若 ，则双曲线的离心率
B．若 是面积为 的正三角形，则
C．若 为双曲线的右顶点， 轴，则
D．若射线 与双曲线的一条渐近线交于点Q，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知展开式 中，所有项的二项式系数之和为 ，则
．（用数字作答）
14．已知 ， 为单位向量，且 在 方向上的投影为 ，则 ．
15．已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线上，且满足 ，设弦 的中点M到y轴的距离为
d，则 的最小值为 ．
16．若函数 在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是 .
四、解答题（本题共6个小题，共70分）
17．已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司18．如图，已知平面四边形 存在外接圆，且 ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)求 的周长的最大值．
19．在四棱锥P-ABCD中，侧面 底面ABCD， ，底面ABCD是直角梯形，
．
（1）求证： 平面PBD：
（2）设E为侧棱PC上异于端点的一点， ，试确定 的值，使得二面
角E-BD-P的余弦值为 ．
20．甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进
行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为
，两人平局的概率为 ，且每局比赛结果相互独立.
(1)若 ，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；
(2)当 时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数 的分布列及期望 的最大值.
21．已知椭圆 左焦点为 ，离心率为 ，以坐标原点 为圆心， 为半径作圆使之与直
线 相切.
(1)求 的方程；
试卷第4页，共4页(2)设点 是椭圆上关于 轴对称的两点， 交 于另一点 ，求 的内切圆半径的范围.
22．已知函数 ，且 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，函数 有三个零点 ， ， ，且 ，试比较 与2的大小，并
说明理由．
试卷第5页，共4页
学科网（北京）股份有限公司答案第1页，共8页
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