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项城三高 2023-2024 学年度上期第一次考试
高三数学试卷普
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
.
1 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，B的并集，根据补集的概念和运算，即可得出答案.
【详解】由题意知 ， ，
所以 .
故选：B
2. 命题：“ ， ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；
【详解】解：命题：“ ， ”为全称量词命题，其否定为： ；
故选：D
3. 已知 ，则下列命题正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】对于A，当 时，如 ， 时 成立，故A错误；
对于B，当 ，显然 ，但 ，故B错误；
对于C，当 时，显然 ，但 ，故C错误；
对于D， ，则 ，故D正确．
故选：D．
4. 不等式 的解集为（ ）
.
A B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】不等式变形为 ，即 ，
所以不等式的解集为： ，即为 .
故选：A
5. 若函数 ，则 （ ）
A. B. 2
C. D. 4
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据给定的函数，分段判断代入计算作答.
【详解】函数 ，则 ，
所以 .
故选：A
6. 函数 ， 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算 的值即可判断AB选项，通过函数奇偶性的判断与证明即可判断CD选项.
【详解】 ，故AB错误，
的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 为偶函数，故C错误，D正确，
故选：D.
7. 已知正数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 9 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为正数a，b满足 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，
故选：A
8. 已知函数 是 上的偶函数，当 ， 且 时，有 ．
设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断 的单调性，再由偶函数的性质结合 得出 .
【详解】由题意可知 在 上单调递减，且 ， ， ．
又 ， ， ，且 ，故 ，所以
，即 ．
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
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学科网（北京）股份有限公司9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 且 是 的充要条件
B. 是 的充分不必要条件
C. 是 有实数解的充要条件
D. 三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】A 选项，可举出反例；BD 可推导出正确；C 选项，根据一元二次方程有解，满足
，故C错误.
【详解】A选项，当 时，满足 ，但不满足 且 ，
故 且 不是 的充要条件，A错误；
B选项，因为 ，但 ，
故 是 的充分不必要条件，B正确；
C选项， 有实数解，则要满足 ，故C错误；
D选项，三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形，
反之，若一个三角形是直角三角形，则三边满足勾股定理，
的
故三角形 三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形，D正确.
故选：BD
10. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽
象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 ，如果对于其定义域D中任意给定的
实数x，都有 ，并且 ，就称函数 为倒函数，则下列函数是倒函数的为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】抓住 ， 的特征及 ，逐项判断即可.
【详解】对 ， ，定义域不关于原点对称，故A项不符合；
对 ， ， ，故B项符合；
对 ， ，定义域不关于原点对称，故C项不符合；
对 ，定义域关于原点对称，
当 时， ， ；
当 时， ， ，故D项符合，
故选：BD
11. 已知实数 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.
【详解】A选项： 为单调减函数，所以 ；
B选项： 与 ，当 时 ，当 时 ，所
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学科网（北京）股份有限公司以 ；
C选项： 在 时 ，而 在 时 ，所以 ；
D选项： 在 上单调递增，所以 ；
故选：BC.
【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.
12. 已知函数 是定义在R上的奇函数， 是偶函数，当 ，则下列说
法中正确的有（ ）
A. 函数 关于直线 对称
B. 4是函数 的周期
C.
D. 方程 恰有4不同的根
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可
判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出 和 的图
象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为 是偶函数，
所以 ，即
所以 关于 对称，故A正确.
对于B：因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即周期 ，故B正确
对于C：
所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，且 关于直线 对称，
根据对称性可以作出 上的图象，
又 ，根据对称性，可作出 上的图象，
又 的周期 ，
作出 图象与 图象，如下图所示：
所以 与 有4个交点，故D正确.
故选： ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数 在 单调递减，则实数 _________.
【答案】
【解析】
的
【分析】根据幂函数 定义与性质列式求解即可.
【详解】由题意可得： ，解得 .
故答案为： .
14. ＝________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据指数的运算法则，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可.
【详解】 ，
故答案为：
15. 已知函数 为 上的奇函数，当 时， ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 ，然后再结合奇函数的性质可求得结果.
【详解】因为函数 为 上的奇函数，当 时， ，
所以 ，得 ，
所以当 时， ，
所以 ，
故答案为：
16. 已知函数 是 上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得 ，即可得解.
【详解】因为函数 是 上的增函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；
(2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，
；
【小问2详解】
由(1)知， ，
，解得： ，
所以 的取值范围是 .
18. 计算下列各式的值：
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学科网（北京）股份有限公司（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，
可得 .
（2）根据对数的运算性质，
可得
.
【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数
的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
19. 已知不等式 的解集为 或 .
（1）求实数 ， 的值；
（2）解不等式 .
【答案】（1） ， ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解作答.
（2）利用（1）的结论，求解含参的一元二次不等式作答.
【
小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为不等式 的解集为 或 ，则 是方程 的二根，且 ，
因此 ，解得 ， ，
所以 ， .
【小问2详解】
由（1）知，不等式 为 ，即 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 ，不等式的解集为
.
20. 一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用 年后需要的维护费总计 万元，该设备每年创
造利润50万元.
（1）求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？
（2）求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？
【答案】（1）10年，102万元； （2）7年，12万元.
【解析】
【分析】(1)设该设备使用 年后获得总利润为 万元，则 ，结合二次函数的性质即
可求解；
(2)由(1)可得 ，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
设该设备使用 年后获得总利润为 万元，
则 ，
该二次函数为开口向下、对称轴为 的抛物线，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时，函数y即总利润取得最大，且最大值为102万元；
【小问2详解】
由(1)可知，年平均利润为
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以使用设备7年后的年平均利润最大，且最大值为12万元.
21. 设函数 的定义域为[ ，4]．
（1）若t＝log x，求t的取值范围；
2
（2）求y＝f（x）的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
【答案】（1）[－2，2]；（2）x＝ 时，y ＝－ ；x＝4时，y ＝12．
min max
【解析】
【分析】（1）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求 得取值范围；
（2）把 利用对数式的运算性质化为含有 的二次函数，然后利用配方法求函
数 的最值，并由此求出最值时对应的 的值．
【详解】（1）∵ ≤x≤4，∴－2≤logx≤2，
2
∴－2≤t≤2．
∴t的取值范围是[－2，2]．
（2）y＝f（x）＝log (4x)·log (2x)＝(2＋log x)(1＋log x)，
2 2 2 2
由（1）知t＝log x，t∈[－2，2]，
2
∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋ )2－ ．
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学科网（北京）股份有限公司当t＝－ ，即log x＝－ ，x＝ 时，y ＝－ ，
2 min
当t＝2，即log x＝2，x＝4时，y ＝12．
2 max
【点睛】本题考查对数的运算和二次型函数的最值问题，考查换元法，属于中档题.
22. 函数 对任意的实数m，n，有 ，当 时，有 ．
（1）求证： ．
（2）求证： 在 上为增函数．
（3）若 ，解不等式 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）令 ，代入等式，可求得 ；
（2）令 ，代入等式，结合 ，可得到 ，从而可知 是奇函数，
然后用定义法可证明 在 上为增函数；
（3）原不等式可化为 ，结合函数 的单调性，可得出 ，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令 ，则 ，∴ .
（2）证明：令 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴对任意的 ，都有 ，即 是奇函数．
在 上任取 ， ，且 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴函数 在 上为增函数.
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学科网（北京）股份有限公司（3）原不等式可化为 ，
由（2）知 在 上为增函数，可得 ，即 ，
∵ ，∴ ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于
中档题.
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学科网（北京）股份有限公司
