文档内容
2024 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔
在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1. 已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2. 若幂函数 在 上单调递增，则实数 的值为
A． B． C． D．
3. 下列说法正确的是
A．数据 的下四分位数是7
B． 已知随机变量 ，若 ，则
C． 若随机变量 满足 ，则
D． 若随机事件 , 满足 ，则
4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则使 成立的最大正整数 的值为
17 18 19 20
A． B． C． D．
5. 已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别
为 ， 且 ，则圆台的体积与球的体积之比为
数学试卷 第1页（共4页）A． B． C． D．
数学试卷 第2页（共4页）6．一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同. 现每次从袋中不放回地随机取出一个球，
记事件 表示“第 次取出的球是黑球”， ，则下列结论不正确的是
A． B．
C． D．
7．已知 为锐角， ， ，则
A． B． C． D．
8．已知定义在 R 上的函数 的导函数为 ，且 .对于任意的实数 ，均有
成立，若 ，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 ，下列结论正确的有
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则 为纯虚数
10．已知 ，且 ，则下列结论成立的是
A． B．
C．存在 使得 D．
11． 在棱长为1的正方体 中，若点P为四边形 内（包括边界）的动点，N为平
面ABCD内的动点，则下列说法正确的是
数学试卷 第3页（共4页）A．若 ，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
B．若直线 与AB所成的角为 ，则点N的轨迹为双曲线
C． 若 ，则点 的轨迹长度为
D．若正方体 以直线 为轴，旋转 后与其自身重合，则 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则 ________.
13．如图，画一个正三角形 ，不画第三边；接着画正方形 ，对这个正方形，不画第四边；
接着画正五边形 ，对这个正五边形，不画第五边；接 着
A
12
A
6
画正六边形， ，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边 折
A 11 A 2 A 7
A
线．设线段 与线段 所夹的角为 ， 5 则
A A
1 3
A 10 A A 8
4
_______，
A
9
满足 的最小 值为 ．
14. 在△ 中， 是 边上一点， ，若 ，且△ 的面积
为 ，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 13分
已知函数 ．
(1) 若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
数学试卷 第4页（共4页）(2) 将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函
数 的图象．若 ，函数 有且仅有4个零点，求实数 的取值范围．
16.（15分）
已知四棱锥 的底面 是正方形，给出下列三个条件：① ；② ；③
平面 ．
(1) 从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
(2) 在(1) 的条件下，若 ，当四棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值．
数学试卷 第5页（共4页）17.（15分）
已知 ， ，平面上有动点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率之积为1.
(1) 求动点 的轨迹 的方程.
(2) 过点 的直线与 交于点 （ 在第一象限），过点 的直线与 交于点 （ 在第三象限）
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 .试判断 与 的面积之比是否为定值，
若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
18.（17分）
甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中
时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中
时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子
点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
(1) 求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2) 投掷 次骰子后，记球在乙手中的概率为 ，求数列 的通项公式；
(3) 设 ，求证：
19. (17分)
若集合 的非空子集 满足: 对任意给定的 , 若 , 有 , 则称子集
是 的“好子集”. 记 为 的好子集的个数. 例如： 的7个非空子集中只有 不是好子集，
即 . 记 |X| 表示集合 X 的元素个数.
（1）求 的值;
（2）若 是 的好子集, 且 . 证明: 中元素可以排成一个等差数列;
（3）求 的值.
数学试卷 第6页（共4页）
