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拓展四 导数与零点、不等式的综合运用
【题组一 零点】
1．（2020·历下·山东师范大学附中）已知函数 ，其中e是自然对数的底数， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ，讨论函数 零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）增区间是 ，减区间是 .（2）见解析
【解析】（1）因为 ，所以 .
由 得 ；由 得 .
所以由 的增区间是 ，减区间是 .
（2）因为 .
由 ，得 或 .
设 ，又 即 不是 的零点，
故只需再讨论函数 零点的个数.
因为 ，
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值 .
①当 即 时，无零点；
②当 即 时， 有唯一零点；③当 ，即 时，因为 ，
所以 在 上有且只有一个零点.
令 则 .
设 ，
所以 在 上单调递增，
所以， 都有 .
所以 .
所以 在 上有且只有一个零点.
所以当 时， 有两个零点
综上所述，当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点；
当 时， 有三个零点.
2．（2020·湖北）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断方程 的实根个数，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）方程 恰有三个不同的实根 ，1， ，理由见解
析.
【解析】（1）当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ，则所求切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， ，
方程 ，即 ．
令 ，定义域为 ，则 ．
令 ，则 ，
令 ，得 ．
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
所以 ．
又 ， ， ， ．
所以 在 上存在唯一零点，记为 ．在 上存在唯一零点，记为 ．
则 ， ．
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点1．因为 ，
，
所以存在唯一的 ，使得 ．
存在唯一的 ，使得 ，且 ， ．
综上，方程 恰有三个不同的实根 ，1， ．
3．（2020·河南）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，判断函数 零点的个数，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2） 只有一个零点，理由见解析.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 在 上是增函数；
当 时， ，
所以 ；
或 ；
，
所以 在 上是减函数，在 和 上是增函数.
（2）当 时， ，其定义域为 ，则 .
设 ( )，则 ，从而 在 上是增函数，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ， .
列表如下：
1
0 0
极大 极小
增函数 减函数 增函数
值 值
由表格，可得 的极小值为 ；
的极大值为
因为 是关于 的减函数，且 ，所以 ，
所以 在 内没有零点.
又 ， ，
所以 在 内有一个零点.
综上， 只有一个零点.
4．（2020·河北）已知函数 ， ．（1）求 在区间 上的极值点；
（2）证明： 恰有3个零点．
【答案】（1）极大值点 ，极小值点 ；（2）证明见解析.
【解析】（1） （ ），
令 ，得 ，或 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
故 是 的极大值点， 是 的极小值点．
综上所述， 在区间 上的极大值点为 ，极小值点为 ．
（2） （ ），
因为 ，所以 是 的一个零点．
，
所以 为偶函数．
即要确定 在 上的零点个数，只需确定 时， 的零点个数即可．当 时， ．
令 ，即 ， 或 （ ）．
时， ， 单调递减，又 ，所以 ；
时， ， 单调递增，且 ，
所以 在区间 内有唯一零点．当 时，由于 ， ．
．
而 在区间 内单调递增， ，
所以 恒成立，故 在区间 内无零点，
所以 在区间 内有一个零点，由于 是偶函数，
所以 在区间 内有一个零点，而 ，
综上， 有且仅有三个零点．
5．（2020·湖北随州·高三一模（理））已知函数 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）增区间是 和 ，减区间是 （2）【解析】（1）因为 ，
所以 ，
.
令 ，解得 或 .
函数 的增区间是 和 ，减区间是 .
（2） ， .
当 时， ， 只有1个零点 ，不合题意.
当 时， .
时， ， 为减函数；
时， ， 为增函数，
.
极小值
又 ，
当 时， ，使 .
当 时， ， ，
.
取 ，则 ，，
函数 有2个零点.
当 时，由 ，得 或 .
①当 ，即 时，
由 ，得 或 ，
在 和 递增，
在 递减.
.
极大值
函数 至多有1个零点，不符合题意；
②当 ，即 时， 在 单调递增，
至多有1个零点，不合题意；
③当 ，即 时，
由 ，得 或 ，
在 和 递增，在 递减.
， 时， ，
.
又 ， 函数 至多有1个零点，不合题意.
综上， 的取值范围是 .6．（2020·河北唐山）设函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）证明： 在 上有三个零点.
【答案】（1） 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ， .（2）证
明见解析
【解析】（1） ，
由 及 ，得 或 或 .
当 变化时， 和 的变化情况如下表：
0
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的单调递减区间为 ， ；
的单调递增区间为 ， .
（2）当 时，由（1）得，的极小值分别为 ， ；
极大值 .又 ，
所以 在 上仅有一个零点0；
在 ， 上各有一个零点.
当 时， ，
令 ，则 ，
显然 时， 单调递增， ；
当 时， ，
从而 时， ， 单调递减，
因此 ，即 ，
所以 在 上没有零点.
当 时， ，
令 ，则 ，
显然 时， ， ；当 时， ，
从而 时， ， 单调递增，
因此 ，即 ，
所以 在 上没有零点.
故 在 上仅有三个零点.
7．（2020·河北）已知函数 .
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 有两个零点，求 的取值范围 .
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【解析】（1）证明：当 时，函数 .则 ，
令 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时，
在 单调递增，
（2）解： 在 有两个零点 方程 在 有两个根，
在 有两个根，即函数 与 的图像在 有两个交点． ，
当 时， ， 在 递增
当 时， ， 在 递增
所以 最小值为 ，当 时， ，当 时， ，
在 有两个零点时， 的取值范围是 ．
8．（2020·岳麓·湖南师大附中）设函数 ，其中 .
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在区间 内有两个不同的零点，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1） ，
由 ，得 ，
则 ，即 在 上为增函数.
故 ，即 .
（2）由 ，得 .
设函数 ，则 .
令 ，得 .
则 时， 时， ，
所以 在 上单调逼增，在 上单调减.
又因为 ，
所以当 时，方程 在区间 内有两个不同解，
即所求实数a的取值范围为 .
【题组二 导数与不等式】
1．（2019·南宁市银海三美学校期末）设函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 在 时恒成立，求实数 的取值范围；
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） .
【解析】（1）
当 时， ，∴ 在 上单调递减；当 时，令 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）函数 ；在 时恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围为 .
2．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数 （a为常数）.
（1）当 时，求 过原点的切线方程；
（2）讨论 的单调区间和极值；
（3）若 ， 恒成立，求a的取值范围.【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3） .
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
设切点坐标为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ 过原点的切线方程 ；
（2） ，
∴ ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
∴ ，无极大值；
（3） ， 恒成立，即 在 上恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，
设 ， ，∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
综上所述 .
3．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数 的单调区间；
（2）若对 都有 成立，试求实数 的取值范围；
【答案】（1）的单调增区间是 ，单调减区间是 ;（2） .
【解析】（1）直线 的斜率1.函数 的定义域为 ， ，
所以 ，解得 .所以 ， .
由 解得 ；由 解得 ，
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 .
（2） ，由 解得 ；由 解得 .
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值， ，因为对于 都有 成立，所以只须 即可，
即 ，解得 .
4．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高二月考（文））已知 为函数 的极值点
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】（1） ， ，解得 ，
经检验， 在 递减，在 递增， 为 的极小值点，符合题意，因此， ．
（2） ， ，设 ，其中
，令 ，则 ，
在 递增
①当 时，即 ， ， 在 递增， 符合题意，
所以
②当 时，即 ， ， ，在 上， ，
在 递减，所以 时， 不符合题意,
综上，实数 的取值范围为
5．（2020·四川内江·高二期末（理））已知函数 ， .（1）求 的单调区间；
（2）若 是函数 的导函数，且 在定义域内恒成立，求整数a的最小值.
【答案】（1）减区间是 ，增区间 ；（2）2．
【解析】（1）由已知 ，当 时， ，当 时， ，
∴ 的减区间是 ，增区间 ；
（2）函数 的定义域是 ， 定义域是 ，
不等式 为 ，
∴不等式 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
设 ，则 ， 时， ， ，
又 在 上是增函数， ， ，
∴存在 ，使得 ， 时 ， ， 时， ，
，即 在 上递增，在 上递减，
， ，，∴ ，
∵ ，∴ ，∴整数 的最小值为2．
6．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））设函数 在
及 时取得极值．
（1）求 的值；
（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ， ．（Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．所以，当 时， 取得极大值 ，又 ，
．则当 时，
的最大值为 ．因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ，解得 或 ，因此 的取值范围为 ．
7．（2020·广东濠江·金山中学高二月考）已知函数
（1）若 ，函数 的极大值为 ，求a的值；
（2）若对任意的 ， 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意，
.
（i）当 时， ，
令 ，得 ； ，得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
因此 的极大值为 ，不合题意；
（ii）当 时， ，
令 ，得 ； ，得 或 ，
所以 在 单调递增，在 ，在 单调递减.
所以 的极大值为 ，得 .
综上所述 ；（2）令 ， ，
当 时， ，
则 对 恒成立等价于 ，
即 ，对 恒成立.
（i）当 时， ， ， ，
此时 ，不合题意.
（ii）当 时，令 ， ，
则 ，其中 ，
令 ， ，则 在区间 上单调递增，
① 时， ，
所以对 ， ，从而 在 上单调递增，
所以对任意 ， ，
即不等式 在 上恒成立.
② 时，由 ， 及 在区间 上单调递增，
所以存在唯一的 使得 ，且 时， .
从而 时， ，所以 在区间 上单调递减，
则 时， ，即 ，不符合题意.
综上所述， .8．（2020·湖南娄底·高二期末）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）证明当 时，关于 的不等式 恒成立；
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1） ，
由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，
所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．
（2）令 ，
所以 ，
因为a≥2，所以 ，
令g'（x）=0，得 ，所以当 ，当 时，g'（x）＜0，
因此函数g（x）在 是增函数，在 是减函数，
故函数g（x）的最大值为 ，
令 ，因为 ，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，
所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，
所以关于x的不等式恒成立．
