文档内容
2.3.4 两条平行线间的距离 -B提高练
一、选择题
1．（2020·江苏省如皋中学高二期中）若两条平行直线 与 之间的
距离是 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【解析】由题意直线 与 平行，
则两条直线的斜率相等，即 ，又直线间的距离为 ，即 ，解得 ，
所以 .故选：A
2．若动点A，B分别在直线l：x＋y－7＝0和l：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最
1 2
小值为( )
A．3 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l：x＋y－7＝0和l：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则
1 2
M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得 ，所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为 .
3．（2020·浙江诸暨中学高二月考）已知 ，且满足 ，则
的最小值为 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 为直线 上的动点， 为直线 上的动点，
可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离：
.故选：C
4．（2020浙江南湖嘉兴一中高二期中）设两条直线的方程分别为 , ,已知 是
方程 的两个实根,且 ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得两条直线的距离是 ，因为 是方程 的两个根，所以
，则 ，因为 ，所以 ，即
.故选：C
5．（多选题）（2020江苏江阴三中高二期中）若两条平行直线 ： 与 ：
之间的距离是 ，则 的可能值为（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由题意， ， ，所以 ，所以 ： ，即 ，
由两平行直线间的距离公式得 ，解得 或 ，
所以 或 .故选：AB
6.（多选题）（2020山东潍坊三中高二月考）两条平行直线l,l 分别过点P(-1,3)，Q(2,-1)，它们分别绕P,Q
1 2
旋转，但始终保持平行，则l,l 之间的距离可能取值为 ( )
1 2
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】ABC
【解析】当两直线l，l 与直线PQ垂直时，两平行直线l，l 间的距离最大最大距离为
1 2 1 2
，所以l，l 之间的距离的取值范围是 .
1 2
故答案选ABC
二、填空题
7．（2020·北京东城高二期中）若直线 与直线 平行，则 _____， 与 之间
的距离是____．
【答案】 ；
【解析】 ，且直线 的斜率为 ， ，则直线 的一般方程为 .
所以，直线 与 之间的距离是 .
8．（2020全国高二课时练）如图，已知直线l：x+y-1=0，现将直线l 向上平移到直线l 的位置，若l，l
1 1 2 2 1
和坐标轴围成的梯形面积为4，l 的方程为___ _．
2【答案】x+y-3=0.
【解析】设l 的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD= ，BC=
2
b.梯形的高h就是两平行直线l 与l 的距离，故h= = (b>1)，由梯形面积公式得 ×
1 2
=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l 的方程是x+y-3=0.
2
9．（2020山西太原五中高二期中）与两条平行线 等距离的平行线
_____.
【答案】12x+8y-15=0
【解析】设所求直线方程为 化为
于是 ，解得 则所求直线方程是 即
10.（2020全国高二课时练）若直线m被两平行线l：x－y＋1＝0与l：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2
1 2
，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；
⑤75°．
【答案】①⑤【解析】两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为 ．又动直线被l 与l 所截的线段长为2
1 2
，故动直线与两直线的夹角应为30°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．因此只
有①⑤适合．
三、解答题
11．（2020山东泰安实验中学高二月考）已知三条直线l:2x-y+a=0(a>0)，直线l:4x-2y-1=0和直线
1 2
l:x+y-1=0，且l 和l 的距离是 .
3 1 2
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l 的距离是P点到l
1 2
的距离的 ；③P点到l 的距离与P点到l 的距离之比是 ?若能，求出P点坐标；若不能，请说明
1 3
理由.
【解析】 (1)l 的方程即为 ，
2
∴l 和l 的距离d= ，∴ .
1 2
∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x ,y)，若P点满足条件②，则P点在与l 和l 平行的直线
0 0 1 2
l′:2x-y+c=0上，且 ,即c= 或c= .
∴2x-y+ 或2x-y+ .
0 0 0 0若点P满足条件③，由点到直线的距离公式 ，
∴x-2y +4=0或3x+2=0.
0 0 0
由P在第一象限，∴3x+2=0不合题意.
0
联立方程2x-y + 和x-2y +4=0，解得x=-3,y= ,应舍去.
0 0 0 0 0 0
由2x-y + 与x-2y +4=0联立，解得x= ,y= .
0 0 0 0 0 0
所以P( )即为同时满足三个条件的点.
12．（2020华东师范大学第三附属中学高二月考）设直线 与
.
（1）若 ∥ ，求 、 之间的距离；
（2）若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线 的方程.
【解析】（1）若l∥l，则 ，
1 2
∴ ，∴m＝6，
∴l：x﹣2y﹣1＝0，l：x﹣2y﹣6＝0
1 2
∴l，l 之间的距离d ；
1 2
（2）由题意， ，∴0＜m＜3，
直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S m（3﹣m） ，
2∴m 时，S最大为 ，此时直线l 的方程为2x+2y﹣3＝0．
2
