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2.4.1圆的标准方程 -B提高练
一、选择题
1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
【答案】B
【解析】由题意可得圆心为（-1，1），半径为 ，由圆心和半径可得圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝
25，选B.
2．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞
0)的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，所以 ，因为圆心 ，所以圆心位于第
二象限，选B.
3．（2020全国高二课时练）若i为虚数单位，已知 (a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的
关系为（ ）
A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定
【答案】A
【解析】由题意知， ∵ ，
∴点 在圆 外．故选A．
4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心 ，则 ，化简得 ，所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，当且仅当 在线段 上时取得等号，故
选：A.
5．（多选题）（2020江苏省如皋中学高二月考）以直线 与两坐标轴的一个交点为圆心，过
另一个交点的圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令 ，则 ；令 ，则 .所以设直线 与两坐标轴的交点分别为
. ,以 为圆心，过 点的圆的方程为： .以 为
圆心，过 点的圆的方程为： .故选：AD.
6.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数 ， 满足 ，则下列关于 的判断正确
的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为【答案】CD
【解析】由题意可得方程 为圆心是 ，半径为1的圆，由 为圆上的点与定点
的斜率的值，设过 点的直线为 ，即 ，
圆心到到直线的距离 ，即 ，整理可得 解得 ，
所以 ，即 的最大值为 ，最小值为 。故选： .
二、填空题
7．（2020全国高二课时练）与圆 同圆心，且面积等于圆 面积的一半的圆的方程为
_________.
【答案】
【解析】圆 的半径 ，设所求圆的半径为 ，则： ， ，又圆心坐标为 ，则
圆的方程为： .
8．（2020·上海高二课时练习）若圆 的圆心到直线 的距离为 ，则
的值为_________.
【答案】4或2
【解析】圆 的圆心为 ，它到直线 的距离为 ，
故 或 .故答案为：4或2.
9．（2020全国高二课时练）直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，则 ______；以线段
为直径的圆的方程为_________．【答案】 ；
【解析】令 得 ,令 得 ,所以 ,所以 ,所以AB中
点坐标为 ，半径为 ；所以圆的方程： .
10．（2020江苏海安高级中学高二月考）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形
的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知
的顶点 ， ，其欧拉线方程为 ，则顶点 的坐标可以是_________．
【答案】 或
【解析】设 的垂直平分线为 ， 的外心为欧拉线方程为
与直线 的交点为 ， ，①
由 ， ， 重心为 ，代入欧拉线方程 ，得 ，
②，由 ①②可得 或 .
三、解答题
11．（2020山西师大附中高二月考）已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y
－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
【解析】∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立 解得
即圆心C为(－3,6)，
则半径r＝ ＝2 .
又|AB|＝ ＝4 ，∴圆心C到AB的距离d＝ ＝4 ，
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4 ＋2 ，
∴△PAB的面积的最大值为 ×4 ×(4 ＋2 )＝16＋8 .
12．（2020山东菏泽四中高二月考）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是
以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点 ，求直线l与圆M的方程.
【解析】（1）设 ， .
由 可得 ，则 .
又 ，故 .
因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 .
故坐标原点 在圆 上.
（2）由（1）可得 .
故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 .
由于圆 过点 ，因此 ，故 ，
即 ，
由（1）可得 .
所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，
圆 的方程为 .
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆
的方程为 .
