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山东省临沂第一中学2024-2025学年高一第五次教学检测
数学试题
一、单选题
1．为了得到函数 的图象，需要把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2． 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则
A． B．
C． D．
4．已知平面上三点 满足 ，则 的形状是
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．若 ， ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在梯形 中， ， ， 为线段 的中点，且 ，则
（ ）A． B．
C． D．
7．若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在△ 中， ， ， 是边 上的点，且 ， 为△ 的外心，则
（ ）
A．12 B．13 C．18 D．9
9．下列结论正确的是
A．单位向量都相等 B．对于任意 ,必有
C．若 ，则一定存在实数 ，使 D．若 ,则 或
二、多选题
10．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为 ．
设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位： ）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出
水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为
下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
11．已知 ，具有下面三个性质：①将 的图象右移 个单
位得到的图象与原图象重合；② ， ；③ 在 时存在两个零点，给出下
列判断，其中正确的是（ ）
A． 在 时单调递减
B．
C．将 的图象左移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若 与 图象关于 对称，则当 时， 的值域为
三、填空题
12．已知 ， 是与 方向相同的单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 .
13．
14．已知奇函数 在 上有2个最值点和1个零点，则
的范围是 .四、解答题
15．已知 ， ， ．
（1）求 与 的夹角大小；
（2）求 的值．
16．已知 为锐角， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
17．已知 ， 是夹角为 的两个单位向量．
(1)若 ， ， ．求证A，B，D三点共线；
(2)若 ， ，其中 ，若 ， 的夹角为钝角，求t的取值范围．
18．某地一天的时间 ，单位：时)随气温 变化的规隼可近似看成正弦函数
的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求 的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于 ，根据（1）
中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？19．已知函数 的最大值为 ，与直线 的相邻两个交点的距离为 .将
的图象先向右平移 个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数
.
(1)求 的解析式.
(2)若 ，且方程 在 上有实数解，求实数 的取值
范围.参考答案
1．C
【详解】 函数 ，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数 的图象向左平移 个单位长度，
即可得到函数 的图象，
故选： ．
2．B
【详解】方法一：原式
．
方法二： 原式
．
故选：B
3．C
【详解】试题分析： ， ，
，其中 ，所以
，两边平方得 ，所以 .
4．A【详解】
设AC的中点为D，则 ，
因为 ，即
所以 ，
即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形 ．
故选：A
5．A
【详解】 ， ，
， ，
， ，
，
.
故选：A
6．D
【详解】解：由题意，根据向量的运算法则，可得
，
故选：D．7．A
【详解】∵ ，
∴ ，解得 .
故选：A.
8．B
【详解】
由于 ，则 ，取 的中点为 ，连接 ，
由于 为△ 的外心，则 ，
∴ ，
同理可得， ，
∴ .
故选：B
9．B
【详解】对于 ，单位向量的模相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量， 错误；
对于B，任意 根据向量加法的几何意义知， ，当切仅当 共线同向时取
“ ”，B正确；
对于C，若 ，则不一定存在实数 ，使 ，如 且 时，命题不成立，C错误；
对于D，若 ，则 或 或 ， D错误，
故选B.
10．ABC
【详解】由题意，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
所以振幅 且 ，可得 ，所以A、B正确；
又由筒车的轴心O距离水面的高度为 ，可得 ，所以D错误；
根据题意，当 时， ，即 ，可得 ，所以C正确.A
故选：ABC.
11．BCD
【详解】 ，
将 右移 个单位得到的函数解析式为 ，
又该函数的图象与原图象重合，所以 ，
所以 ，
又 在 时存在两个零点，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，由 得 ，
所以函数 的单调递减区间为
当 时，函数 在 上单调递减；
由 得 ，
所以函数 的单调递增区间为
当 时，函数 在 上单调递增；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误；
，
，
，
所以 ，故B正确；
将 的图象左移 个单位长度后得到的图象的解析式为
，
又 ，所以函数 为奇函数，所以 的图象关于原点对称，故C正确；
关于 对称的区间为 ，
当 时， ，所以 ，
所以当 时， 的值域为 ，故D正确.
故选：BCD
12．4
【详解】 在 上的投影向量为 ，
所以 4.
故答案为：4.
13．
【详解】因为
所以 ，
所以
故答案为： .
14．
【详解】函数 ，
因为该函数为奇函数，故 ，
又 ，所以 ，即 ，因为 在 上有2个最值点和1个零点，
故 ，
即 的范围是 ，
故答案为：
15．（1） ；（2） ．
【详解】（1）由 得 ，所以 ，
即 ，又因为 ， ，
所以 ，故 ，又因为 ，
因此 与 的夹角为 ；
（2）
，所以 .
16．（1） ；（2） .
【详解】解：（1）由 为锐角， ，得 .
所以
所以
（2）
由题意及同三角函数的基本关系可得所以 .
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意， ，
则 ，可知 与 共线，则A，B，D三点共线.
（2）因为 ， 是夹角为 的两个单位向量，
则 ，
设 与 共线，则 ，即 ，
又 ， 的夹角为钝角，
所以 ，且 ，
则 ，
则 ，解得 且 ，
所以t的取值范围为 ．
18．（1） ；（2）老张可在 外出活动，活动时长最
长不超过 小时；
【详解】解：（1）依题意可得 解得 ，又 即 ，解
得 ，所以 ，又函数过点 ，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，因为
，所以 ，所以
（2）依题意令 ，即
所以
解得
因为
所以 ，又
即老张可在 外出活动，活动时长最长不超过 小时；
19．(1)
(2)
【详解】（1）因为函数 的最大值为 ，所以 ，
又与直线 的相邻两个交点的距离为 ，所以 ，所以 ，
则 .
将 的图象先向右平移 个单位，保持纵坐标不变，得到
，
再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 .（2） ，
在 上有实数解，
即 在 上有实数解，
即 在 上有实数解，
令 ，所以 ，
由 ，所以 ，所以 ，则 ，
同时 ，所以 ，
所以 在 上有实数解，
等价于 在 上有解，即 在 上有解，
① 时， 无解；
② 时， 有解，
即 在 有解，即 在 有解，
令 ， ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的值域为 ，所以 在 有解等价于 .
综上： .
