山东中学联盟2024年高考考前热身押题数学答案解析_2024年5月_01按日期_20号_2024届山东省中学联盟高三下学期5月考前热身押题_2024届山东省中学联盟高考考前热身押题数学试题

山东中学联盟 2024 年高考考前热身押题 数学答案解析 2024.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1.答案：B 解析：因为函数 无零点,所以 解得 ，且 =0.3, 2 2 所以 = − +1 .故 ∆B= 项 正确 −.4<0, −2< <2 <−2 2.答案：A −2< <2 =1−2 <−2 =0.4 解析：因为 ，所以 ，所以 的虚部是 .故A正确. 1+ 1+ 2+ 1 3 1 3 3 3.答案：D =2− = 5 =5+5i =5−5i −5 解析：若公差 ，如数列-10,-9，-8，-7，…，0,1,2，…，则数列的前n项和 先减再增； 若 是递增数 列 > ， 0 如 ，则 为常数列，故 ； 所以 甲既不是乙的充分 条 件 = 也 不是 乙 = 的 1 必要条件，故D 项 = 正 0 确. 4.答案：A 解析：因为函数 ＝ 是偶函数，所以 ，即 ＝ − 1+所1以− 即 ，−故 A=正 确 . − sin − 1+1− =− (1− ) 5 . 答 案1：+B −1 = 1+1− , −1 =2, =−2 解析：由题意知： 且 ,在△ 中， 由余弦定理知 =, 1 = , 1 = 3 = 3 1 2 ∠ 1 = 3 所以 ，所以 ,离心率 , 2 2 故B∠正 确 2 . = − 3 =3 ∠ 2 = = 3 = = 1+ 2 =2 6.答案：C 解析：因为 所以 , 1 1 对于A项： + = , + =1 ,当且仅当 时取“=”，故A错误； 1 1 对于B项：因 +为 = + + ，=所2以+ + ≥，2+2= 4 = =2 ，当且仅当 时取“=”，故B 错 = 误 ； + ≥ 2 ≥4 2 + 2 = 2 ≥ 24=2 = =2 对于C项：因为 ，所以 所以 , 等价于 等价于 −1 构造函数 = + = −1>0, >1 所 以>1 在 −1 上 单>调1,递增； > , 1 ' 1 1 −1 所以 = +恒 成−立1(， >所1以),不 等 式= − 2 =成 2立>，0故, 正 确 ；(1,+∞) 对于 项：>取 0 =0 ，则 >故1 错误 C 7.答案：D D = =2 + =2 2<3, D . 解析： , 1 + =sin + =2 数学答案解析 第 1 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}2 ，−所 以 2 =cos[ + ，+故( −正 确)]−cos [ + −( − )]=−2sin ( + )sin ( − )=−sin ( − 1 1 8 .)答=案4 ：C − =−4 D . 解析： ① +1 + +2 =2 ② −1 − 4− =4 将②式中 换为 得 ③ 2− 1− − 2+ =4 ①+③得 ，所以 关于 中心对称； +1 + 1− =6 (1,3) 将②式中 换为 得： ④ 2+ +1 − 2− =4 1 -④得： ，所以 不是奇函数，故B错误； 2+ + 2− =−2≠0 = +2 即 ，所以 关于 对称，故C正确； ' ' 2+ − ' 2− =0 ' 2+ = ' 2− = =2 又 , 无解，且 无周期，故A和D均误。 0 =0, 1 =3, 2 =6, ⋯ =3 =2024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.答案：AD 解析：对于A项，设A(x ,y ),B(x ,y ),直线AB：ykx2, 1 1 2 2 联立 ，消去y,得x2 8kx160，64k2 640,所以，x x 8k,x x 16, 1 2 1 2 2 C:x =8y 1 1 1 1 1 由 ，得y'  x，则点A处的切线：y x x x2，① 同理 点B处的切线：y x x x2,② 4 4 1 8 1 4 2 8 2 2 : =8 x x 联立①②，得x 1 2 ， y2， 所以，点P(4k,2)，故A正确； 2 对于B项，准线方程为 y 2，故B错误； 62 3 对于C项， AF  y 28,得y 6，所以P(4 3,6)，k k   , 1 1 AB AF 4 3 3 故C错误； 4k2 4 对于D项, AB  y  y 4k(x x )88k2 8，点P到直线AB的距离为：d  ， 1 2 1 2 1k2 1 1 4k2 4 3 所以S  AB d  (8k2 8) 16(1k2)2， ABP 2 2 1k2 当 k 0 时，ABP 有最小值16.故D正确. 10.答案：ABD 解析：对于A项，因为 是四棱柱，上、下底面平行且平面 与上、下底面的交线分别为 和 ， 所以 ，故A正确 ； − 1 1 1 1 1 2 1// 2 数学答案解析 第 2 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}对于B项，因为 平面 ,所以 ，又因为 是菱形，所以BD⊥AC，且AC ， 所以BD⊥平面 1 ⊥, 平 面 1 ,⊥所 以 BD⊥ ， 平 面 底面 ，所∩以 1 = 是平面 与底面 所1 成1 角 的 1平⊆面角。 1 1 1 1 ∩ = ∠ 1 又 因1 为 ， ，所以 ，在RT 中， 0 1 = ，=2 ∠ =120 = 1 1 =2 3 ∆ 1 1 所 以∠ 1 1 = 3 ，所以 ，故B正确； 0 0 0 0 ∠ 1 1 =60 ∠ 1 =90 −60 =30 对于C项， ，即 ,所以 , 1 1 1 1 3 故C错误；VC1−BDC =VC−BDC1 3×2×2× 3×2= 3×2×2×4×h h= 2 对于D项，因为点 与点 关于平面 对称，由B项知∠ ，所以 到平面 的距离与C到平 ' 0 ' C C BC1D COC1 =30 C BC1D 面 的距离相等，即 ，所以 到平面 的距离 , 0 3 ' 0 3 3 3 BC1D d=OCsin30 = 2 C h=2dsin60 =2× 2 × 2 =2 ,故D正确. 1 1 3 3 1 1 .'−答 案 =： 3 BC×D 2×2× 3×2 = 2 解析：对A项，因为 ， ，所以 ,故A错误； 5 5 −5 对B项， 表示进 行~了 k次 ，前k-1 次( 未=发5生)，=所 以 (1（− ) ） 故B正确； −1 对C项， , = = = (1− ) , 2 3 2 所以 =3 = (1− ) = −2 + =解 (得 ) (舍) ' 2 1 当 =时3， −4 +1= 3 在−1 单−调1递=增0，当 =3，, =时1， 在 单调递减， 1 ' 1 1 ' 1 所以 ∈(0,3) >0,, 即( ) (0,3的) 最大值为 ， 故∈C(3正确1；) <0, ( ) (3,1) 1 4 4 对D 项(， ) = 3 =27 =3 27 , 2 1 所以 = +2 1− +3 (1− ，)用+⋯=代 换 得： , 2 1 2 1 2 1− +3 (1− ) +⋯= − 1− 2 1− +3(1− ) +⋯=1− −(1− ) 2 2 =2 1− + 1− +3 1− + 1− +⋯ 2 2 =2 1− +3 1− +⋯+2 1,故− D正 +确3. 1− +⋯ 1 1 1 =三、 −填 空+题1−： −本题1共− 3小=题 1，− 每−小1题5分，共15分． 12.答案：-5 解析：因为 ＝ ，所以 , 1,2 1=(2,−1) 故 。 2 13 . 答 1 案∙ ： 1 = 1 − 或 1 = 1· − 或 1 =−5 或 或 − ± 2=0 − ±或6=0 4+ 7 −3 −2−2 (7写=出0一条4直−线即7可 )−3 −2+2 7= 0解析：4因+为1圆5 M，−圆 −N6的−半2径1相5等=且0均为4−，15 − −6+2 15，=所0以直线 与MN平行（如图1）或过MN的 中点（2,2）（如图2）， 2 ∆ = ∆ = 3 数学答案解析 第 3 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}，所以 或 ，则圆心到直线 的距离为 或1. 1 2 ∆ =2×2×2× ∠ = 3 ∠ = 3 3 3 设直线 的方程为 或 ,若 或 ，所以 或 | | − + =0 −2= ( −2) = 2=1 3 =± 2 ± 6 若 或 ,所以 或 |2 −2| 4± 7 所 以 = 满足 2 +条1 = 件 1 的直线 3 有： = 3 4± 或15 或 或 图2 或 − ± 2=0 − ±或6=0 4+ 7 −3 −2−2 7=0 4− 7 − 134 .−答2案+：2 7=0 4+ 15 − −6−2 15=0 4− 15 − −6+2 15 =0 解析：因为3函3数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 ， , 2 = =2 =2sin 2 + 3 = ,且 ，所以 ，即 ， 2 2sin 3 + =1 0< < 2 =6 =2sin 2 +6 所以 .由 ，得 ,且 ，所以 . =2sin 2 −6 =2 2sin 2 −6 =2 0< < = 3 由题意知 的内切圆的半径为1，则 ，所以 , 1 1 3 ∆ 2 + + ×1= 2 3 + + = 2 即 , 在 中，由余弦定理得： ， 3 2 2 2 = 2 − − ∆ = + −2 3 所以 ，所以 ，所以 ,即 ，当且仅当 2 2 3 3 时+取 等−号2 ， 所=以2  A − BC −的 面积的最2小 值−为 ≤ .2 −2 ≥2 3 ≥12 = 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． =2 3 3 3 15.(本题满分13分) 解：(1)第一轮选手的对战情况分别为 ， ， ， ， ， ， 故总方案数3；．．．．．．．．．．． ．． ． 3分 (2)设事件 “选手 与选手 相遇”， 当对战为 =， 时， ， 两 选手相遇的概率为 ； 1 当对战为 ， 时， ， 两选手相遇的概率为 ； 1 1 1 × = 当对战为 ， 时， ， 两选手相遇的概率为2 2 4；．．．．．．．．6分 3 1 3 4×4=16 抽到三种对战的概率均为 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 1 3 则 . 1 1 1 1 3 23 =3×1+3×4+3×16=48 数学答案解析 第 4 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}综上可知选手 与选手 相遇的概率为 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 23 (3)设采用方案一 ，二种 子选手夺冠的概48率分别为 ,则 1, 2 方案一： ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3 3 3 1 3 27 1 =4×4+4×4×4×2= 32 方案二： ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 3 因此方案一 2 种 = 子4选手夺冠的概率更大. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 16.(本题满分15分) 解：（1）在五面体 中, 平面 ， 面 ，面 面 ， 所以 同理可证 ． ． /．/．． ． ． ．． ． ．⊂．． ． ． ．． ． ． ．∩．． ． ． =2分 所以 // 且 // ； 所以 // 是 梯 形 . =．3． ． ≠．2． ． =．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2） 取 中点O， 中点 ，连结 . 因为面 面 ， 交线为 面, ， ， 0 所以 ⊥ 面 ⊥ . , ⊂ ∠ =90 所以 是 二 面 角 的平面角.即 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 0 以 为∠ 原 点 ,以 − 分 别−为 ， 轴(如∠图 )建 立=空60间直角坐标系 ，设 ， 则 , , , , − =1 = = =2, =3 1,3,0 , −1,2,0 , ．0．,1．, ．3 ．, ．1．,2,．0 ,．．．．．．8分 设 面= 2,1的,0一, 个 法=向1量,−为1, 3 , = −，1,由−1, 3 得 = ， 取 1, 1, 1 ，得 ⊥ , ⊥， , ， ∙ =2 1+ 1 =0 所以 ．．．．．．． 1 ．=．．3 ．． 1 1 0 = 分 −1 1 =2 ∙ = 1− 1+ 3 1 =0 设面 =的−一1,2个,法3向量为 ，由 ,得 = ， 2, 取 2, 2 ，得 ⊥ , ，⊥ , ∙ = 2− 2+ 3 2 =0 所以 ．．．．．．．． 2 ． = ． 1 ．12分 2 =0 2 = 3 ∙ =− 2− 2+ 3 3 =0 所以 = 0, 3,1 ．．．．．．．．．．．．．．14分 ∙ 2 3+ 3 3 6 < , >= | |= 2×2 2 = 8 所以二面角 的平面角的余弦值为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 3 6 17.(本题满分 1 − 5 分 ) − 8 解：(1)由题意得 ,解得： , 2 −1 3 所以椭圆 的方程 的=标1准, 方=程 为= =＝2. ．．． ．=．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 2 2 (2)假设存 在定直线 ，显然直线4 +的 斜率1存在，设为 ,设 、 , ' 1, 1 2, 2 数学答案解析 第 5 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}＝ 联立方程组 5，消 得： , ＝−3 2 2 40 64 2 2 1+4 − 3 + 9 =0 4 + 1 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 40 64 3 9 1+ 2 =1+4 2 , 1 2 = 1+4 2 ∙ = 1 − 1 1 ∙ 2 − 2 1 ．=．． ． 1− ． 8 3 ．1 ．2 ． 2 ． − ． 8 3 ．=． ． 2 ． 1 ． 2− ． 8 3 ． 1． 1 2． + ． ． 2 ． + 8 6 9 4 分 2 2 2 =设直 线−5 、+1+及4直 线=1的倾角分别为 ， ，，设直线 与直线 交于点 . 则∠ ∠ ,所以 ∠ ∠ , 即 MAP= − , NAP= − MAP=tan NAP ，．．．．．．．．．．10分 ' ' − − − − ' ' tan − =1+ =1+ =tan − =1+ =1+ 所以 即 ， ' ' − − ' ' ' ' 化简得1+ ： ' =1+ ' ( − )(1+ 且 )=( − ，)(1．+． ． ． ．) ．．．．．．．．．．．．12分 '2 所以 ， + 或 = （+舍 ） . + ≠0 '2 ' ' 所以存在过点 的定直线 ，使直线 平分 ，该定直线的方程为 ；．．．．．．．15分 =1 =1 =−1 18.(本题满分17分) ∠ − +1=0 解：（1） 2 ' 2 3 +3 2 +5 +3 3 +3 = − + 2 +； 2 − = −2 − −1 ' 2 所=以 曲线2 = 2 在点− ，−1 2−处2切线=的0=倾 斜 角0为0. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由（ 1=） 知 2 2 ，解得： 或 ， ' 1 当 时， = ,−2 − −1 =0 , =2 =1+ , 1 ' 1 ' ' 所以 <0在 ∈ −∞,1上+单 调递 减 ，在<,0 ∈ 1+上 单,调2 递增 , 在>,0 ∈上2单,+调∞递减 <,0 1 1 −∞,1+ 1+ ,2 2,+∞ , 所以 解得 极小值 2 2 1 +1 1 3 +3 1 2 +5 +3 +1 +1 2 2 所以 ；=． ．．1+． ．．=． ．．．1．+． ．−．． ．．1．+． ．+．． ．．．=． 5分 <0, <−1, 当 <−1 时， , , , ' 1 ' 1 ' 所以0< 在<1 上∈单−调∞递,2增， 在 ，>,0 ∈上2单,1调+递 减, 在 <,0 ∈ 上1+单 调,递+增∞ >,0 1 1 −∞,2 2 1+ 1+ ,+∞ , 所以 不成立 极小值 1 +1 1 2 3 +3 1 2 2 +5 +3 +1 +1 2 2 ．．． ．．．．=． ．1．+． ．=． ．．．1．+． ．．−． ．．1．+． 7分+ = <0 . 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，无极值，不满足题意. ' 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 =1 = −2 ≥0 −∞,+∞ 当 时， , , , 1 ' 1 ' ' 所以 >1在 ∈ −∞,1上+单 调递 增 ，在>,0 ∈ 1+上 单,调2 递减 , 在<,0 ∈上2单,+调∞递增 >,0 1 1 所以 −∞,1+ 解得1+ ,2, 2,+∞ , 极小值 2 3− 2 = 2 = <0, >3 数学答案解析 第 6 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}综上可知实数 的取值范围为 或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）由（2）知，当 时， 在 上单调递增,在 上单调递减， <−1 >3 =,即−1 ,(即0,2) ,两边取自(然2,对+数∞得) ： ．．．．．．．．．11分 2 4 2 2 要 ( 证)max = 2 = 2 <1 成=立 ，<只1需证 > ， <1 . 2 两边2同 除−得2 :+1 − >0 ,即 2 −2 +1 .−． ．>．0． ．∈．(0．,+．∞．)．．．．．．．．．13 2 2 分 2 −2 − −1>0 2 −2 > +1 只需证： ,即证 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 令 2 −2 >1+1=2 ， − −1>0, ,解得： , ' 1 −1 当 = 时−， −1, ∈(0,+在∞) 上单 调=递1减−， =当 =0 ∞时， =1 在 ∞上单调递增. ' ' 所以 ,经检验，当 时原不等式成立.．．．．．．．．．．．．．．．．16分 ∈(0,1) <0, (0,1) ∈ (1,+ ) >0, (1,+ ) 综上可 知 ( 不 ) 等 式 = 1 =0 =1 得证. ．．．．．．．．．．．．．．．．17分 19.（本小题满分21 7−分2） +1 − >0 解：（1）因为 ， ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 3000 −1 1−2 3000 =2 3000 = 1−2 =2 −1 而 ,且31与9互质； 279= 31×9 3000 3×1000 1000 1000 0 1000 1 999 999 3000 =2 −1= 2 −1= 8 −1= 9−1 ，−1= 10009 − 10009 +⋯− 10009+ 1000 1000 0 1000 1 999 999 1000 −1 −1= 10009 − 10009 +⋯− 10009 所以 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 9| 3000 3000 5×600 600 6000 0 600 1 599 599 3000 =2 −1= 2 −1= 32 −1= 3，1+1 −1= 60031 + 60031 +⋯+ 60031+ 600 0 600 1 599 599 600−1= 60031 + 60031 +⋯+ 60031 所以 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 31| 3000 综上可知: ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 279| 3000 因为 0 1 −1 −1 −1 (2) +,且 n=为 奇+数 ，− + = + + + − +⋯+ + − + − + 所以 ； 0 1 −1 −1 −1 + = + − + = + + + − +⋯+ + − 能被 整除．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 + + （3） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 +1 ,1 = =1 =1+2+3+⋯数+学 答=案解2析 第 7 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}当 时， , 2 =2 2 ,1 = =1 = 2 +1 2 2 −1 2 −1 2 2 −1 2 −1 2 −1 2 , = =1 = =1 ，+ = +1 = =1 + =1 2 +1− 2 −1 2 −1 上=式 中=1 + 2 +1− , 由（2）知， 能被 整除，．．．．．．．．．10分 + 2 +1− =2 +1 2 , 2 +1 另一方面， 2 2 −1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 −1 2 −1 2 , = =1 = =1 + + = +1 + 2 = =1 + ， −1 2 −1 2 −1 2 −1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 =1上2式 中− + + ，2 所以 = =1也能 被 +整除2 .且− 与2 ++1 互质，+ 2 所以 +能被2 − =2 ，即 2 能, 被 整除. ． ．．． ．．．．．．．．．12分 类似可 证2 当, 当 2 +时1， 2 , ,1 ， 2 +1 =2 +1 2 ,1 = =1 = +1 2 +1 2 +1 2 −1 2 −1 2 −1 2 +1 2 −1 2 −1 2 +1, = =1 = =1 + +1 + = +2 ， = =1 + =1 2 +2− 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 所以 + +1 能被= =1整 除；+．．2 ．+．2．−． ．．．+．． ．+．1．．．．．．．．．．．．14分 2 +1, +1 另一方面， 2 +1 2 −1 2 −1 2 2 −1 2 −1 2 −1 2 +1, = =1 = =1 + = +1 + 2 +1 =， =1 + 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 所 以=1 2 +1− 能被+ 2 +整1除；且= =1与 + 2 互+质1．−． ．．．+．．2 ．+．1．．．．．．．．．16分 2 ，+1,能 被 2 +1 整除. +1 2 +1 综上2 可+知1 能被 2 +1整,1除. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分 , ,1 数学答案解析 第 8 页（共 8 页） {#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}