山东中学联盟2024年高考考前热身押题数学答案解析_2024年5月_01按日期_20号_2024届山东省中学联盟高三下学期5月考前热身押题_2024届山东省中学联盟高考考前热身押题数学试题

山东中学联盟 2024 年高考考前热身押题
数学答案解析
2024.5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1.答案：B
解析：因为函数 无零点,所以 解得 ，且 =0.3,
2 2
所以   =  −   +1 .故 ∆B= 项  正确 −.4<0, −2<  <2   <−2
2.答案：A
−2<  <2 =1−2   <−2 =0.4
解析：因为 ，所以 ，所以 的虚部是 .故A正确.
1+  1+  2+  1 3 1 3 3
3.答案：D  =2−  = 5 =5+5i   =5−5i   −5
解析：若公差 ，如数列-10,-9，-8，-7，…，0,1,2，…，则数列的前n项和 先减再增；
若 是递增数  列 > ， 0 如 ，则 为常数列，故 ；  
所以   甲既不是乙的充分  条  件 = 也  不是  乙  = 的 1 必要条件，故D  项 = 正 0 确.
4.答案：A
解析：因为函数 ＝ 是偶函数，所以 ，即 ＝

− 
1+所1以−  即  ，−故  A=正  确  .  −  sin −  1+1−  =−

(1−  ) 
5   .  答  案1：+B   −1 =     1+1−   ,   −1 =2,  =−2
解析：由题意知： 且 ,在△ 中，
由余弦定理知   =,   1 =  ,  1  = 3   = 3     1
2 
∠  1   = 3
所以 ，所以 ,离心率 ,
2      2
故B∠正  确 2  .  =  − 3 =3    ∠  2   =  = 3  =  = 1+  2 =2
6.答案：C
解析：因为 所以 ,
1 1
对于A项：  +  =   ,  +  =1 ,当且仅当 时取“=”，故A错误；
1 1  
对于B项：因  +为  =  +   +  ，=所2以+  +  ≥，2+2= 4  =  =2 ，当且仅当
时取“=”，故B   错 = 误  ； +  ≥ 2     ≥4    2  +    2  =    2   ≥    24=2  =  =2
对于C项：因为 ，所以 所以 , 等价于 等价于
−1
构造函数   =  +   =  −1>0,  >1  所    以>1 在  −1   上  单>调1,递增；    >  ,
1 ' 1 1  −1
所以   =    +恒  成−立1(，  >所1以),不  等  式=  −  2 =成  2立>，0故, 正  确  ；(1,+∞)
对于   项：>取  0 =0 ，则     >故1 错误 C
7.答案：D
D  =  =2  +  =2 2<3, D .
解析： ,
1
+         =sin  +  =2
数学答案解析 第 1 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}2  ，−所  以   2  =cos[  +  ，+故(  −正  确)]−cos [  +  −(  −  )]=−2sin (  +  )sin (  −  )=−sin (  −
1 1
8  .)答=案4 ：C     −  =−4 D .
解析： ①
+1 +   +2 =2
②
−1 −  4−  =4
将②式中 换为 得 ③
2−   1−  −  2+  =4
①+③得 ，所以 关于 中心对称；
+1 +  1−  =6   (1,3)
将②式中 换为 得： ④
2+    +1 −  2−  =4
1 -④得： ，所以 不是奇函数，故B错误；
2+  +  2−  =−2≠0  =   +2
即 ，所以 关于 对称，故C正确；
'
' 2+  −  ' 2−  =0  ' 2+  =  ' 2−   =    =2
又 , 无解，且 无周期，故A和D均误。
0 =0,  1 =3,  2 =6, ⋯   =3  =2024  
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.答案：AD
解析：对于A项，设A(x ,y ),B(x ,y ),直线AB：ykx2,
1 1 2 2
联立 ，消去y,得x2 8kx160，64k2 640,所以，x x 8k,x x 16,
1 2 1 2
2
C:x =8y 1 1 1 1 1
由 ，得y'  x，则点A处的切线：y x x x2，① 同理 点B处的切线：y x x x2,②
4 4 1 8 1 4 2 8 2
2
:  =8 
x x
联立①②，得x 1 2 ， y2， 所以，点P(4k,2)，故A正确；
2
对于B项，准线方程为 y 2，故B错误；
62 3
对于C项， AF  y 28,得y 6，所以P(4 3,6)，k k   ,
1 1 AB AF 4 3 3
故C错误；
4k2 4
对于D项, AB  y  y 4k(x x )88k2 8，点P到直线AB的距离为：d  ，
1 2 1 2
1k2
1 1 4k2 4 3
所以S  AB d  (8k2 8) 16(1k2)2，
ABP
2 2 1k2
当 k 0 时，ABP 有最小值16.故D正确.
10.答案：ABD
解析：对于A项，因为 是四棱柱，上、下底面平行且平面 与上、下底面的交线分别为 和 ，
所以 ，故A正确  ；    −  1  1  1  1   1  2
1//  2
数学答案解析 第 2 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}对于B项，因为 平面 ,所以 ，又因为 是菱形，所以BD⊥AC，且AC ，
所以BD⊥平面  1  ⊥,    平  面  1  ,⊥所  以  BD⊥  ，  平  面  底面 ，所∩以  1  =  是平面
与底面    所1  成1 角  的  1平⊆面角。    1  1   1   1  ∩     =   ∠    1
又  因1  为     ， ，所以 ，在RT 中，
0
1  =   ，=2 ∠    =120   =  1  1 =2 3 ∆   1  1
所    以∠  1   1 = 3 ，所以 ，故B正确；
0 0 0 0
∠  1   1 =60 ∠    1 =90 −60 =30
对于C项， ，即 ,所以 ,
1 1 1 1 3
故C错误；VC1−BDC =VC−BDC1 3×2×2× 3×2= 3×2×2×4×h h= 2
对于D项，因为点 与点 关于平面 对称，由B项知∠ ，所以 到平面 的距离与C到平
' 0 '
C C BC1D COC1 =30 C BC1D
面 的距离相等，即 ，所以 到平面 的距离 ,
0 3 ' 0 3 3 3
BC1D d=OCsin30 = 2 C    h=2dsin60 =2× 2 × 2 =2
,故D正确.
1 1 3 3
1  1  .'−答   案  =： 3 BC×D 2×2× 3×2 = 2
解析：对A项，因为 ， ，所以 ,故A错误；
5 5  −5
对B项， 表示进  行~了   k次  ，前k-1  次(  未=发5生)，=所   以  (1（−  ) ） 故B正确；
−1
对C项， ,
=    =  =  (1−  ) ,
2 3 2
所以   =3 =  (1−  ) =  −2  +  =解  (得  ) (舍)
' 2 1
当   =时3，  −4  +1= 3  在−1  单−调1递=增0，当  =3，,  =时1， 在 单调递减，
1 ' 1 1 ' 1
所以  ∈(0,3)   >0,,  即(  ) (0,3的) 最大值为 ，  故∈C(3正确1；)   <0,  (  ) (3,1)
1 4 4
对D  项(，  )    =  3 =27   =3 27 ,
2 1
所以   =  +2  1−  +3  (1−  ，)用+⋯=代  换 得： ,
2 1 2 1
2  1−  +3  (1−  ) +⋯=  −  1−   2 1−   +3(1−  )  +⋯=1−  −(1−  )
2 2
=2 1−   +  1−  +3 1−   + 1−   +⋯
2 2
=2  1−  +3  1−  +⋯+2 1,故−  D正  +确3. 1−   +⋯
1 1 1
=三、  −填  空+题1−：  −本题1共−  3小=题  1，−  每−小1题5分，共15分．
12.答案：-5
解析：因为 ＝ ，所以 ,
     1,2     1=(2,−1)
故 。
2
13  .   答   1 案∙   ： 1  =    1     −    或 1 =    1·    −   或  1 =−5 或
或  −  ± 2=0  −  ±或6=0 4+ 7  −3  −2−2 (7写=出0一条4直−线即7可  )−3  −2+2 7=
0解析：4因+为1圆5  M，−圆  −N6的−半2径1相5等=且0均为4−，15  −  −6+2 15，=所0以直线 与MN平行（如图1）或过MN的
中点（2,2）（如图2）， 2  ∆    =  ∆    = 3 
数学答案解析 第 3 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}，所以 或 ，则圆心到直线 的距离为 或1.
1  2 
∆    =2×2×2×    ∠    = 3 ∠    = 3 3  3
设直线 的方程为 或 ,若 或 ，所以 或
|  |
−  +  =0  −2=  (  −2)  = 2=1 3  =± 2 ± 6
若 或 ,所以 或
|2  −2| 4± 7
所  以 = 满足  2 +条1 = 件 1 的直线 3 有：  = 3 4± 或15 或 或
图2
或  −  ± 2=0  −  ±或6=0 4+ 7  −3  −2−2 7=0 4− 7  −
134  .−答2案+：2 7=0 4+ 15  −  −6−2 15=0 4− 15  −  −6+2 15 =0
解析：因为3函3数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 ， ,

2  =   =2   =2sin 2  +   3 =
,且 ，所以 ，即 ，
2    
2sin 3 +  =1 0<  < 2  =6   =2sin 2  +6
所以 .由 ，得 ,且 ，所以 .

=2sin 2  −6   =2 2sin 2  −6 =2 0<  <   = 3
由题意知 的内切圆的半径为1，则 ，所以 ,
1 1  3
∆    2  +  +  ×1= 2      3  +  +  = 2  
即 , 在 中，由余弦定理得： ，
3 2 2 2 
= 2   −  −  ∆     =  +  −2      3
所以 ，所以 ，所以 ,即 ，当且仅当
2 2 3 3
时+取  等−号2  ，  所=以2    A − BC  −的  面积的最2小   值−为   ≤ .2   −2     ≥2 3   ≥12  =
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
=2 3 3 3
15.(本题满分13分)
解：(1)第一轮选手的对战情况分别为 ， ， ， ， ， ，
故总方案数3；．．．．．．．．．．．   ．．  ．  3分        
(2)设事件 “选手 与选手 相遇”，
当对战为  =， 时，  ， 两  选手相遇的概率为 ；
1
当对战为 ， 时， ， 两选手相遇的概率为 ；
1 1 1
× =
当对战为 ， 时， ， 两选手相遇的概率为2 2 4；．．．．．．．．6分
3 1 3
4×4=16
抽到三种对战的概率均为 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
1
3
则 .
1 1 1 1 3 23
=3×1+3×4+3×16=48
数学答案解析 第 4 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}综上可知选手 与选手 相遇的概率为 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
23
(3)设采用方案一  ，二种  子选手夺冠的概48率分别为 ,则
1,  2
方案一： ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
3 3 3 1 3 27
1 =4×4+4×4×4×2= 32
方案二： ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
3
因此方案一  2 种 = 子4选手夺冠的概率更大. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
16.(本题满分15分)
解：（1）在五面体 中, 平面 ， 面 ，面 面 ，
所以 同理可证       ．  ．  /．/．．  ．  ．   ．．  ．  ．⊂．．   ．  ．  ．．  ．   ．  ．∩．．   ．  ．  =2分  
所以   //   且   //   ；
所以   //  是  梯  形  . =．3．  ．  ≠．2．  ．  =．．   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）  取    中点O， 中点 ，连结 .
因为面   面  ，  交线为    面,   ， ，
0
所以  ⊥  面  ⊥  .      ,   ⊂     ∠    =90
所以   是  二  面  角 的平面角.即 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
0
以 为∠  原  点  ,以  −  分  别−为  ， 轴(如∠图   )建  立=空60间直角坐标系 ，设 ，
则     ,    ,     ,   ,   −      =1
=   =   =2,   =3  1,3,0 ,  −1,2,0 ,  ．0．,1．, ．3 ．,  ．1．,2,．0 ,．．．．．．8分
设  面= 2,1的,0一,  个  法=向1量,−为1, 3 ,    = −，1,由−1, 3 得
  = ，  取 1,  1,  1 ，得  ⊥    ,  ⊥，    , ，
  ∙    =2  1+  1 =0
所以 ．．．．．．．  1 ．=．．3 ．．  1 1 0 = 分 −1  1 =2
  ∙    =  1−  1+ 3  1 =0
设面  =的−一1,2个,法3向量为 ，由 ,得
  =  ， 2, 取  2,  2 ，得  ⊥    ,  ，⊥     ,
  ∙    =  2−  2+ 3  2 =0
所以 ．．．．．．．．  2 ． = ． 1 ．12分  2 =0  2 = 3
  ∙    =−  2−  2+ 3  3 =0
所以  = 0, 3,1 ．．．．．．．．．．．．．．14分
  ∙   2 3+ 3 3 6
<  ,  >=  |  |= 2×2 2 = 8
所以二面角 的平面角的余弦值为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
3 6
17.(本题满分  1 − 5  分  ) −  8
解：(1)由题意得 ,解得： ,
2
−1 3
所以椭圆 的方程  的=标1准,  方=程  为=  =＝2. ．．．  ．=．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
2
2
(2)假设存  在定直线 ，显然直线4 +的  斜率1存在，设为 ,设 、 ,
'
1,  1   2,  2
数学答案解析 第 5 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}＝
联立方程组 5，消 得： ,
＝−3 2 2 40 64
2
2  1+4   − 3   + 9 =0
4 +  1
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
40 64
3  9
1+  2 =1+4  2 ,  1  2 = 1+4  2
∙    =  1  − 1 1 ∙  2  − 2 1 ．=．．   ． 1− ． 8 3  ．1  ．2  ．  2 ． − ． 8 3 ．=．  ． 2  ． 1  ． 2− ． 8 3 ．   1．   1 2． + ．  ． 2 ． + 8 6 9 4 分
2 2 2
=设直  线−5  、+1+及4直  线=1的倾角分别为 ， ，，设直线 与直线 交于点 .
则∠     ∠  ,所以   ∠  ∠  ,  
即 MAP=  −  , NAP=  −     MAP=tan NAP ，．．．．．．．．．．10分
' '
−      −        −        − 
' '
tan  −  =1+         =1+     =tan  −  =1+         =1+    
所以 即 ，
' '
−       −  ' ' ' '
化简得1+  ： '    =1+  '    (  −    )(1+  且    )=(    −  ，)(1．+．  ．   ．  ．) ．．．．．．．．．．．．12分
'2
所以  ，    +  或   =    （+舍  ）   .    +    ≠0
'2 ' '
所以存在过点 的定直线 ，使直线 平分 ，该定直线的方程为 ；．．．．．．．15分
=1  =1  =−1
18.(本题满分17分)
∠     −  +1=0
解：（1）
2
'    2 3  +3 2  +5  +3   3  +3  
=    −   +  2 +；  2  −  =   −2   −  −1
' 2 
所=以  曲线2 =  2  在点−  ，−1 2−处2切线=的0=倾  斜   角0为0. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）由（  1=）  知  2  2 ，解得： 或 ，
'   1
当 时，   =   ,−2   −  −1 =0 ,  =2  =1+  ,
1 ' 1 ' '
所以  <0在  ∈ −∞,1上+单  调递  减  ，在<,0  ∈ 1+上  单,调2 递增  ,  在>,0  ∈上2单,+调∞递减   <,0
1 1
−∞,1+  1+  ,2 2,+∞ ,
所以 解得
极小值 2 2
1  +1 1 3  +3 1 2  +5  +3  +1  +1
2 2
所以   ；=．  ．．1+．  ．．=．  ．．．1．+．  ．−．．  ．．1．+．  ．+．．  ．．．=．  5分  <0,  <−1,
当  <−1 时， , , ,
' 1 ' 1 '
所以0<  在<1  上∈单−调∞递,2增，  在  ，>,0  ∈上2单,1调+递  减,  在  <,0  ∈ 上1+单  调,递+增∞   >,0
1 1
−∞,2 2 1+  1+  ,+∞ ,
所以 不成立
极小值 1  +1 1 2 3  +3 1 2  2 +5  +3  +1  +1
2 2
．．．   ．．．．=．  ．1．+．  ．=．  ．．．1．+．  ．．−．  ．．1．+．  7分+  =   <0 .
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，无极值，不满足题意.
'  2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
=1   =   −2 ≥0   −∞,+∞
当 时， , , ,
1 ' 1 ' '
所以  >1在  ∈ −∞,1上+单  调递  增  ，在>,0  ∈ 1+上  单,调2 递减  ,  在<,0  ∈上2单,+调∞递增   >,0
1 1
所以   −∞,1+  解得1+  ,2, 2,+∞ ,
极小值
2  3− 
2
=  2 =   <0,  >3
数学答案解析 第 6 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}综上可知实数 的取值范围为 或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（3）由（2）知，当 时， 在 上单调递增,在 上单调递减，
<−1  >3
=,即−1   ,(即0,2) ,两边取自(然2,对+数∞得) ： ．．．．．．．．．11分
2
4   2 2   
要  (  证)max =  2 =  2 <1   成=立   ，<只1需证  >  ，  <1 .
2
两边2同  除−得2  :+1    −  >0 ,即 2  −2  +1    .−．  ．>．0．  ．∈．(0．,+．∞．)．．．．．．．．．13
2    2   
分  2  −2    −  −1>0 2  −2    >  +1
只需证： ,即证 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
令 2  −2    >1+1=2 ，  −    −1>0, ,解得： ,
' 1  −1
当   =  时−，    −1,  ∈(0,+在∞)  上单  调=递1减−，  =当  =0 ∞时，  =1 在 ∞上单调递增.
' '
所以 ,经检验，当 时原不等式成立.．．．．．．．．．．．．．．．．16分
∈(0,1)   <0,   (0,1)  ∈ (1,+ )   >0,   (1,+ )
综上可  知 (  不 )  等   式 =  1 =0  =1 得证. ．．．．．．．．．．．．．．．．17分

19.（本小题满分21  7−分2）  +1    −  >0
解：（1）因为 ， ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
3000
−1 1−2 3000
=2  3000 = 1−2 =2 −1
而 ,且31与9互质；
279= 31×9
3000 3×1000 1000 1000 0 1000 1 999 999
3000 =2 −1= 2 −1= 8 −1= 9−1 ，−1=  10009 −  10009 +⋯−  10009+
1000 1000 0 1000 1 999 999
1000 −1 −1=  10009 −  10009 +⋯−  10009
所以 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
9|  3000
3000 5×600 600 6000 0 600 1 599 599
3000 =2 −1= 2 −1= 32 −1= 3，1+1 −1=  60031 +  60031 +⋯+  60031+
600 0 600 1 599 599
600−1=  60031 +  60031 +⋯+  60031
所以 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
31|  3000
综上可知: ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
279|  3000
因为
0  1  −1  −1  −1
(2)  +,且  n=为  奇+数  ，−  +  =    +  +    +  −  +⋯+    +  −  +

−  + 
所以 ；
0  1  −1  −1  −1
+  =  +  −  +  =    +  +    +  −  +⋯+    +  − 
能被 整除．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

+   + 
（3） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
+1
,1 =  =1  =1+2+3+⋯数+学  答=案解2析 第 7 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}当 时， ,
2 
=2   2  ,1 =  =1  =  2  +1
2  2  −1  2  −1 2  2  −1  2  −1  2  −1
2  ,  =  =1  =  =1  ，+  =  +1  =  =1  +  =1 2  +1− 
2  −1 2  −1
上=式  中=1  + 2  +1−  , 由（2）知， 能被 整除，．．．．．．．．．10分
+ 2  +1−  =2  +1  2  ,  2  +1
另一方面，
2  2  −1  −1 2  −1 2  −1 2  −1 2  −1 2  −1  −1 2  −1
2  ,  =  =1  =  =1  +  +  =  +1  + 2  =  =1  +
，
−1 2  −1 2  −1 2  −1  −1 2  −1 2  −1 2  −1 2  −1
  =1上2式  中−  +  + ，2  所以 =  =1也能  被 +整除2  .且−  与2 ++1  互质，+ 2 
所以  +能被2  −  =2  ，即  2  能,  被  整除. ．  ．．．  ．．．．．．．．．12分
类似可  证2  当,  当  2  +时1，  2  ,    ,1 ，
2  +1
=2  +1  2  ,1 =  =1  =  +1 2  +1
2  +1 2  −1  2  −1 2  −1 2  +1 2  −1  2  −1 
2  +1,  =  =1  =  =1  +  +1 +  =  +2  ， =  =1  +  =1 2  +2−
2  −1 2  −1  2  −1 2  −1 2  −1
所以 +  +1 能被=  =1整  除；+．．2  ．+．2．−．  ．．．+．．  ．+．1．．．．．．．．．．．．14分
2  +1,   +1
另一方面，
2  +1 2  −1  2  −1 2  2  −1 2  −1  2  −1
2  +1,  =  =1  =  =1  +  =  +1  + 2  +1 =，  =1  +
2  −1 2  −1  2  −1 2  −1 2  −1
所  以=1 2  +1−  能被+ 2  +整1除；且=  =1与  + 2  互+质1．−．  ．．．+．．2  ．+．1．．．．．．．．．16分
2  ，+1,能  被 2  +1 整除.  +1 2  +1
综上2  可+知1  能被  2  +1整,1除. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分
,    ,1
数学答案解析 第 8 页（共 8 页）
{#{QQABaYCQggCAAJIAABgCAwlyCgOQkACCAKoOBBAAoAAAiANABAA=}#}