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滨城高中联盟 2024-2025 学年度上学期高一期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.
1. 命题 ， 的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. “ ”是“ ”成立的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ，则 的大小关系是（）
A. B. C. D.
4. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A. B.
C. D.
5. 若正实数a，b满足 则 有（）
A. 最小值，且最小值为 B. 最小值，且最小值为
为
C. 最大值，且最大值 D. 最大值，且最大值为
的
6. 根据表格中 数据，可以判断方程 的一个根所在的区间是（）
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x -1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上函数 的图象是连续不断地，且满足以下条件：① ， ；②
，当 时，都有 ；③ .则下列选项不成立的是（）
A. B. 若 ，则 的取值范围是
C. 若 ，则 D. 函数 有最小值
8. 已知函数 ， ，若 ， ，使得
，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列结论中正确的有（）
A. 若 且 ，则
B. 若 ，则
C若 ，则
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D.
10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”
为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ，
.已知函数 ，则关于函数 的结论中正确的是（）
A. B. 是奇函数
C. 在 上是单调递增函数 D. 的值域是
的
11. 下列命题中正确 是（）
A. 已知函数 ，若函数 在区间 上是增函数，则 取值范围是
的
B. 函数 在 上的值域为
C. 若关于 的方程 的两根分别为 ， ，且 ，则有
D. 函数 ，则不等式 的解集为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ___________.
13. 若函数 （ 且 ）经过的定点是P，则P点的坐标是________．
14. 定义 若函数 ，则 的最大值为______；
若 在区间 上的值域为 ，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 已知全集 集合 ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求a的取值范围．
16. 计算下列各式的值.
（1）
（2）已知 ，求 的值.
17. 若函数 的定义域是 ，且对任意的 ，都有 成立，且当
时， .
（1）求 ，判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 的单调性；
（3）解不等式 .
18. 已知 是定义在 上的奇函数.
（1）求实数 ， 的值.
（2）试判断并证明函数 的单调性；
（3）已知 ，若对任意 且 ，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
19. 已知二次函数 满足 ，且该函数的图象经过点 ，在x轴上截得的线段长为
4，设 .
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（1）求 的解析式；
（2）求函数 在区间 上的最小值；
（3）设函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
求a的取值范围.
滨城高中联盟 2024-2025 学年度上学期高一期中考试
数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.
1.
【答案】C
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2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15.
【解析】
【分析】（1）化简集合 ，由集合的并、补运算求解即可；
（2）通过讨论 和 即可求解.
【小问1详解】
集合 ， ，
；
【小问2详解】
， ，
①当 时， ， ，
②当 时，则 ，解得 ，
综上所述，a的取值范围为 ；
16.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解；
（2）由已知分别求得 和 的值，代入即可得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为 ，
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所以 ，
，
所以 .
17.
【解析】
【分析】（1）令 ，得 ，即可由 求解，
（2）根据单调性的定义即可求解，
（3）根据奇偶性以及单调即可求解.
【小问1详解】
函数 对任意的 ，都有 ，
令 ，得 ， ，
是奇函数，证明如下：
用 代替 ，得 ，则 ，
所以 是奇函数.
【小问2详解】
在 上单调递增，
证明：任取 ，则 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
【小问3详解】
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由 可得 ，
由于 在 上单调递增，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集是 .
18.
【解析】
【分析】（1）由 是奇函数，可得 对任意的 成立，可得实数 ， 的值，代入
验证后即可求解；
（2）根据题意设任意的 ， ，由单调函数定义即可判断；
（3）利用换元法令 ，若不等式 恒成立，再根据基本
不等式性质即可求解.
【小问1详解】
因为 是奇函数，则 ，
整理得： ，
要使上式对任意的 成立，
则 ，解得 或 ，
当 时， 的定义域为 ，不合题意，
当 时， 的定义域为 ，符合题意，
所以
【小问2详解】
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任意的 ，
有 ，
所以 ，故函数 是 上的增函数；
【
小问3详解】
，
因为 恒成立，
等价于 恒成立，令 ， ，
则 ，
则 ，可得 在 时恒成立，
由基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立，故 .
19.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；
（2）根据 ， ， 分类讨论求解即可；
（3）由题意 ，利用换元法求解函数 的最小值，结合（2）中 的最小值列
不等式求解即可.
【小问1详解】
因为 ，则 的图象关于直线 对称且在x轴上截得的线段长为4， 的图象与
x轴的交点分别为 ， ，所以设 .
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该函数的图象经过点 ，解得 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，其对称轴方程为 ，
当 ，即 时， .
当 ，即 时，
当 ，即 时，
综上所述，当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
【小问3详解】
若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
等价于
函数 ，
因为 ，所以 ，所以当 时， 取得最小值
当 时， ，所以 ，不成立
当 时， ，所以 ，
解得 或 ，所以
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当 时， ，所以 ，解得 ，所以
综上所述，a的取值范围是 .
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