0820湖南省名校2024届高三上学期月考数学题型分类汇编（单选题）第1辑PDF版含答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷

湖南省名校 2024 届高三上学期月考数学题型分类汇编
单选题
（第1辑）
目 录
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）
参考答案
说明：本套资源是2024届高三上学期数学学科月考试卷题型分类汇编，本辑为单选题，试
题来源于湖南省长郡中学和雅礼中学两所名校上学期月考试卷，可供高三学生上学期进行数
学总复习时学习和参考。湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）
1.集合A  x x2 x60  ，集合B   x log x1  ，则AB （ ）
2
A.
2,3 
B.
,3 
C.
2,2 
D.

0,2

   
2.已知R，向量a  3,，b1,2 ，则“3”是“a∥b”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.复数z abi（a,bR，i为虚数单位），z表示z的共轭复数， z 表示z的模，则下
列各式正确的是（ ）
A.z z B.zz  z
C.z2  z 2 D. z z  z  z
1 2 1 2
4.若直线l：3sinx2y 0与圆C：x2  y2 2 13y50交于M ，N 两点，则 MN
的最小值为（ ）
A.4 2 B.2 6 C.2 5 D.2 7
 1
2a ,0a  ,
  n n 2 2
5.数列 a 满足a  若a  ，则a 等于（ ）
n n1 1 1 5 2023

2a 1, a 1,
 n 2 n
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.现有长为89cm的铁丝，要截成n小段 n2 ，每段的长度为不小于1cm的整数，如果
其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
x 1 1
7.已知函数 f  x sin2  sinx 0 ，xR.若 f  x 在区间,2内没有
2 2 2
零点，则的取值范围是（ ）
 1  1 5 
A.0,  B.0,  ,1
 8  4 8 
 5  1 1 5
C.0,  D.0,  , 
 8  8 4 8a  
8.已知函数 f  x  x2  x2  x4 在区间,2 ， 3, 上都单调递增，则实数a
2
的取值范围是（ ）
A.0a2 3 B.0a4
C.0a4 3 D.0a8 3
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）
1. 若集合A  x x4k1,kN  ,B   x  x1  x9 0  ，则AB的元素个数为
（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
1i2023
2. 设aR，若复数 的虚部为3（其中i为虚数单位），则a （ ）
ai
1 1
A.  B. 3 C. D.3
3 3
       π       
3. 已知非零向量a，b满足b 3,1 ， a,b  ，若 ab a，则向量a在向量b方
3
向上的投影向量为（ ）
1 1  3  
A. b B. b C. b D. b
4 2 2
4. 设抛物线C：x2 2py 的焦点为F ，M x,4在C上，MF 5，则C的方程为（ ）
A. x2 4y B. x2 4y C. x2 2y D. x2 2y
5. 若函数 f  x exa1x在区间  0, 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A.
,1 
B.
,1 
C.
 0,
D.
,1 
6. 直线l: y kx1与圆O:x2  y2 1相交于A,B两点，则"k 1"是“OAB的面积为
1
”的（ ）
2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 π  π
7. 已知 0, ，且 2cos2sin  ，则sin2（ ）
 2  4
3 3
A.  B. C. 1 D.1
4 4
a2ea 1c
8. 若实数a,b,c,d 满足  1，则(ac)2(bd)2的最小值是（ ）
b d 1
A.8 B.9 C.10 D.11
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）
 
1．已知集合A x∣x2 4x30 ,B {x∣lnx1}，则AB （ ）
A．(1,e] B．[1,3] C．(0,e] D．(0,3]
23i
2．若i是虚数单位，则复数 的实部与虚部之积为（ ）
1i
5 5 5 5
A． B． C． i D． i
4 4 4 4
x 
3．函数y 2sin  (0 x9)的最大值与最小值之差为（ ）
 6 3 
A．2 3 B．0 C．2 D．2 3
 
4．已知函数 f(x)lg x2 4x5 在(a,)上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[5,) B．[2,) C．(,2] D．(,1]
5．已知F,F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且FPF 60, PF 3 PF ，
1 2 1 2 1 2
则C的离心率为（ ）
13 7
A． 7 B． C． D． 13
2 2
6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面
体，它体现了数学的对称美．如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三
棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面
体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角的正切值为（ ）2
A． B．1 C． 2 D．2 2
2
xy
7．设正实数x,y,z满足4x2 3xy y2 z 0，则 的最大值为（ ）
z
A．0 B．1 C．2 D．3
3lnx
8．已知函数 f(x) a2ax，若存在唯一的整数x ，使 f  x 0，则实数a的取
x 0 0
值范围是（ ）
ln3 ln2 ln3 ln2 ln2 ln3
A．(ln2,ln3) B．  ,  C．  ,  D．  , 
 5 2   5 2   2 3 
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）
1. 设集合M {x∣1 x3},N 2,1,0,1  ，则M N （ ）
A.
1,0,1 
B.

0,1

C. {x∣1 x1} D. {x∣1 x1}
2. 已知i是虚数单位，若  a2i  1i 4i，则实数a （ ）
A.2 B.0 C. 1 D. 2
3. 设随机变量X  N(,2)，且P(X a)3P(X a)，则P(X a)（ ）
A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.25
4. 已知a log 6,blog 5,clog 2，则下列结论正确的是（ ）
2 4 3
A. b<c<a B. cb a
C. bac D. c<a<b
5. 已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（ ）
A. 6 B. 6 3 C. 9 D. 12
 π  
6. 已知角 0， ，且满足3 2sin   cos，则sin2cos =（ ）
 2  4 
25 25
A. 2 B. C.  D. 2
16 16
7. 在等腰ABC中，AC CB  2,CAB 30,ABC 的外接圆圆心为O，点P在优弧    
 PA PB 
 AB 上运动，则  PO2      PC 的最小值为（ ）
  
PA PB
  
A.4 B.2 C. 2 3 D. 6
x2 y2
 
8. 已知椭圆E：  1(ab0)的右焦点为F 3,0 ，过点F 的直线交椭圆E于
a2 b2
A,B两点，若AB 的中点坐标为
(1,-1)
，则椭圆E的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A.  1 B.  1
18 9 27 18
x2 y2 x2 y2
C.  1 D.  1
36 27 45 36
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）
1.若i为虚数单位，则  2i  1i  的虚部为（ ）
A.i B.1 C.i D.-1
2.若集合A x∣log x1  ,B{x∣x 1}，则Að B （ ）
2 R
A.{x∣0 x1} B.{x∣1 x2}
C.{x∣1 x0或0 x2} D.{x∣x2}
       
3.已知不共线的两个非零向量a,b ，则“ab与ab 所成角为锐角”是“ a  b ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
 π  π
4.要得到函数g

x
cos2x
的图象，可以将函数 f

x
sin2x
的图象（ ）
 3  6
π π
A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
3 3
π π
C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
6 6
2x4 x2 3,x0,
5.已知 f  x  若 f  x  为 ,0  0, 上的奇函数，
 g  x  ,x0,
g

a
0(a0)，则a（
）6 3 6
A. B. C. D.-1
2 2 2
x2 y2
6.已知双曲线C:  1(a 0,b 0)的左､右顶点分别为A,A ,F 为C 的右焦点，C
a2 b2 1 2
 π
的离心率为2，若P为C右支上一点，PF  FA ，记APA  0 ，则tan
2 1 2  2
（ ）
1
A. B.1 C. 3 D.2
2
 π
7.已知二面角l的平面角为 0 ,A,B,Cl,Dl,ABl,AB
 2
π S
与平面所成角为 .记ACD的面积为S ,BCD的面积为S ，则 1 的取值范围为
3 1 2 S
2
（ ）
1  1   3   3 
A. ,1 B. , 3 C. , 3  D. ,1 
2  2   2   2 
 
8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有5 nN* 根绳子，共有
10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则
这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
64 256 32 128
A. B. C. D.
315 315 315 315
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）
1. 若集合M  x|log x4  ，N  x|2x1  ，则M N （ ）
2
 1 
 
A. x 0 x8 B. x  x8
 2 
 1 
 
C. x 2 x16 D. x  x16
 2 
2. 记等差数列{a }的前n项和为S .若a ＝16，S ＝35，则{a }的公差为（ ）
n n 6 5 n
A.3 B.2 C. －2 D. －3
3. 已知z ，z 是关于x的方程x2 2x20的两个根.若z 1i，则 z （ ）
1 2 1 22
A. B.1 C. 2 D.2
2
xsinx
4. 函数 y  的图象大致为（ ）
ex
A. B.
C. D.
5. 已知2x2 kxm0的解集为 t,1  t  1 ，则km的值为（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学
基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面
的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C
处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为
（ ）（cos10°≈0.985）
A.45.25m B.50.76m C.56.74m D.58.60m
7. 已知定义域是R的函数 f  x  满足：xR， f  4 x  f x 0， f  1x  为偶函
数， f  1 1，则 f  2023 （ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-3
8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图
是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和
正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱
长为2 6，则模型中九个球的表面积和为（ ）
31π
A. 6π B. 9π C. D. 21π
4
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）
1. 若z 12i，则  1z z （ ）
A. 24i B. 24i C. 62i D. 62i
2. 全集U R，集合A{2,3,5,7,9}，B {4,5,6,8}，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. {2,3,5,7,9} B. {2,3,4,5,6,7,8,9} C. {4,6,8} D. {5}
xlog x
3. 函数 f  x  2 的部分图象大致是（ ）
2x 2x
A.
B.C.
D.
   
4. 在边长为3的正方形ABCD中，点E满足CE2EB，则ACDE （ ）
A.3 B. 3 C. 4 D.4
5. 某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆
台．其中半球的体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所
用原料密度为1.5g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）
（1.54.7）
A. 3045.6g B. 1565.1g C. 972.9g D. 296.1g
6. 已知数列a  为等比数列，其前n 项和为S ，a 0，则“公比q0”是“对于任意
n n 1
nN*，S 0”的（ ）
n
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的
最大值为( )
 
A. B.
4 2
3 5
C. D.
4 48. 已知函数 f  x  的定义域为R， f 2x f x, f 2f 4，且 f  x  在  1, 上
递增，则xf  x1 0的解集为（ ）
A.
2,04,
B.
,1  5,
C.
,2 

 4,
D.
1,05,
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）
1
1．已知复数z 1i（i为虚数单位），z是z的共轭复数，则 的值为
z
2 1
A．1 B． C． D． 2
2 2
 
2．设全集U  R，A x y  2xx2 ，B   y y  2x,xR  ，则  ð A  B 
U
A．  x x0  B．  x 0 x≤1 
C．  x1 x≤2  D．  x x2 
       
3．已知向量a，b满足 ab 7， a 3， b 4，则 ab 
A．5 B．3 C．2 D．1
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：
每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为
素数）的和，如30723，633，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，
则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是
1 1 2 3
A． B． C． D．
4 3 9 8
x3 a 1 
5．若函数 f  x   x2x1在区间 ,3上有极值点，则实数a的取值范围是
3 2 2 
 5  5  10  10
A．2,  B．  2,  C．2,  D．  2, 
 2  2  3   3 
ln3 2
6．已知a log 2，b ，c ．则a，b，c的大小关系是
3 ln4 3
A．abc B．acb
C．cab D．bac
7．已知tantan3，sin 2sinsin，则tan 3
A．6 B． C．6 D．4
2
x
8．已知函数 f  x  x3x2sin x  的零点分别为x ，x ，…，x ，nN*），则
4 1 2 n
x2 x2 x2 
1 2 n
1 1
A． B． C．0 D．2
2 4
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）
1. 已知集合A  x| x2 1  ，B  y| y1  ，则AB （ ）
A.  B. 1,1  C. [1,) D. [1,1)
2. 已知复数z满足(1i)2z24i，其中i为虚数单位，则复数 z 的虚部为（ ）
A.1 B. 1 C. i D. i
3. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需
要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时
按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解
下最少需要移动的次数记为 a （ n9， nN* ），已知 a 1， a 1，按规则有
n 1 2
a a 2a 1（n3，nN*），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ）
n n1 n2
A.31 B.16 C.11 D.7
6
 1
4. 二项式 x  的展开式中x4的系数与x6的系数之比为（ ）
 x
A.6 B.-6 C.15 D.-15
x  ex ex 
5. 函数 f  x  的部分图象大致为（ ）
2cosxA. B.
C. D.
6. 已知定义域是R的函数 f  x  满足：xR， f  4 x  f x 0， f  1x  为偶函
数， f  1 1，则 f  2023 （ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-3
   
7. 若点G 是 ABC 所在平面上一点，且 AGBGCG  0,H 是直线 BG 上一点，
  
AH  xAB yAC，则x2 4y2的最小值是（ ）．
A.2 B.1
1
1
C. D.
2 4
ln1.1
8. 已知ae0.05，b 1，c 1.1，则（ ）
2
A. abc B. cba
C. b  a c D. acb参考答案
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）参考答案
1.A
【解析】解不等式x2 x60，得2 x3，则A  x 2 x3  ，
解不等式log x1，得0 x2，即B   x 0 x2  ，
2
所以AB 2,3 ，故选A.
2.B
 
【解析】若向量a∥b，则321 0，即2 60，解得2或3，
 
所以“3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选B.
3.D
【解析】因为z abi，所以z abi，故A错误；
zz  abi  abi a2b2， z  a2 b2 ，故B错误；
z2 a2 b2 2abi， z 2 a2 b2，故C错误；
由复数的几何意义可知， z z   z  z ，则 z z  z  z ，故D正确.
1 2 1 2 1 2 1 2
故选D.
4.C
 2  
【解析】依题意，圆 C ： x2  y 13 18 ，故圆心 C 0, 13 到直线 l ：
2 13 413
3sinx2y 0的距离d  ，故 MN 2 18 2 5，当且
9sin24 9sin24
仅当sin20时等号成立，故 MN 2 5，故选C.
min
5.C
2 1 4 3 1 2
【解析】因为a   ，所以a  ，a  ，a  ，a  ，所以数列具有周期性，
1 5 2 2 5 3 5 4 5 5 5
3
周期为4，所以a $a  .故选C.
2023 3 5
6.B
【解析】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n段之和为定值，欲n尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，所以第二段为1，
又因为任意三条线段都不能构成三角形，
所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，
又因为每段的长度尽可能小，所以第三段为2，
为了使得n最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，
依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取
最后一段为35，这时n达到最大为9.故选B.
7.D
1cosx 1 1 2  
【解析】由题设有 f  x   sinx  sin x ,
2 2 2 2  4 

k

令 f  x 0，则有x k，kZ，即x 4 ，kZ.
4 
因为 f  x 在区间,2内没有零点，
 5
k k
4 4
故存在整数k，使得 2 ，
 
 1
k ,

 4 1 k 5
即 因为0，所以k 1且k    ，故k 1或k 0,
k 5 4 2 8

  ,
 2 8
1 1 5
所以0 或  ，故选D.
8 4 8
8.D
a a2
【解析】设g  x  x2  x4，其判别式△ 160，
2 4
∴函数g  x 一定有两个零点，设g  x 的两个零点为x ，x 且x  x ，
1 2 1 2
a a2 a a2
 16  16
a 2 4 2 4
由x2  x40，得x  ，x  ，
2 1 2 2 2a
x4,x x ,
 2 1

 a
∴ f  x 2x2 x4,x x x ,
2 1 2

a
x4,x x .

2 2
①当a0时， f  x 在,x 上单调递减或为常函数，从而 f  x 在,2 不可能单
1
调递增，故a0；
②当a0时，g 2 a 0，故x 2，则2 x 0，
1 1
∵ f  x 在,x 上单调递增，
1
∴ f  x 在,2 上也单调递增，
  3
g 3  a10， 3 x ，
2 2
a 
由 f  x 在 ,x 和 x ,上都单调递增，且函数的图象是连续的，
 8 2  2
a    a
∴ f  x 在

, 上单调递增，欲使 f  x 在 3, 上单调递增，只需  3，得
8  8
a8 3，
综上，实数a的范围是0a8 3.故选D.
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）参考答案
1.B
【解析】
集合B   x 1 x9  ，A1,3,7,11,15,  ，
则AB1,3,7 
，即元素个数为3.
故选：B
2.A
【解析】1i2023 1i  1i  i 1i 1 i
复数      ，
ai ai a a a a
1 1
因为其虚部为3，所以 3，可得a  .
a 3
故选：A.
3.A
【解析】
           2  
因为 ab a，所以 ab a a ab0，
 2 1        2  
∴ a  a b 0，又b 3,1 ，所以 b  3 12  2，∴ a 1或 a 0（舍去），
2
  
所以 aba 2 1 ，
 
 
ab  1
所以a在b方向上的投影向量为   b b .
b  b 4
故选：A.
4.A
【解析】
抛物线x2 2py 的开口向上，
由于M x,4在C上，且 MF 5，
p
根据抛物线的定义可知4 5,p2，
2
所以抛物线C的方程为x2 4y.
故选：A
5.D
【解析】
由 f  x exa1x，得 f x exa11，
因为函数 f  x exa1x在区间  0, 上单调递增，
所以 f x exa110在区间  0, 恒成立，
所以xa10在区间  0, 恒成立，即a x1在区间  0, 恒成立，所以a 1.
故选：D
6.A
【解析】
2
由k 1时,圆心到直线l:y  x1的距离d  .所以弦长为 2 .所以
2
1 2 1
S   2  .所以充分性成立,由图形的对称性，当k 1时, OAB的面积
OAB
2 2 2
1
为 .所以必要性不成立.故选A.
2
7.B
【解析】
π
Q 2cos2sin( ) ，
4
Q 2  cos2sin2   2 (sincos),
2
1
(cossin)(cossin )0，
2
 π
又 0, ，则sin0,cos0，即cossin0
 2
1
所以cossin ，
2
 π
因为 0, ，所以2(0,π)，sin20.
 2
1 1 3
由cossin 平方可得1sin2 ，即sin2 ，符合题意.
2 4 4
3
综上，sin2 .
4
故选：B.
8.A
【解析】
由
a2ea
1，得ba2ea，令 f  x  x2ex，则 f' x 12ex，
b令 f '(x)=0得x ln2，当xln2时， f' x 0, f  x  单调递减，当xln2时，
f'
x
0,
f

x

单调递增；
1c
由 1，得d c2，令g  x x2，
d 1
   
f x ,g x 的图像如下图：
则(ac)2(bd)2表示 y f  x  上一点M  a,b  与 y  g  x  上一点N  c,d  的距离的
平方，
显然，当过M点的 f  x  的切线与g  x  平行时， MN 最小，
设 y f  x  上与 y  g  x  平行的切线的切点为M  x ,y  ，由 f' x 12ex 0 1，
0 0 0 0
解得x 0，
0
2
 022 
所以切点为M 0,2，切点到 y  g  x  的距离的平方为  8，
0
 11 
即(ac)2(bd)2的最小值为8；
故选：A.
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）参考答案
1．A
 
【解析】A x∣x2 4x30 (1,3),B {x∣lnx1}(0,e],AB (1,e]，故选
A．
2．B
23i (23i)(1i) 5 1 5 1
【解析】因为    i，所以实部为 ，虚部为 ，实部与虚部之
1i (1i)(1i) 2 2 2 25
积为 ．故选B．
4
3．D
 9    7
【解析】因为0 x9，所以0 x ，所以  x  ，
6 6 3 6 3 6
    
所以当 x  时，有最小值为2sin 

 3，
6 3 3  3 
   
所以当 x  时，有最大值为2sin 2，所以最大值与最小值之差为2 3，故
6 3 2 2
选D．
4．A
 
【解析】由于 f(x)lg x2 4x5 在(a,)上单调递增，而 y lgx在(0,)上单调
a2 4a50,
递增，所以 所以a5，故a的取值范围是[5,)，故选A．
a2,
5．C
【解析】由双曲线的定义得，||PF ||PF ||2a ，又 PF 3 PF ，所以
1 2 1 2
PF a, PF 3a，所以在△FPF 中，有
2 1 1 2
FF 2  PF 2  PF 2 2 PF  PF cosFPF ，即4c2 9a2 a2 23aacos60，
1 2 1 2 1 2 1 2
c2 7 c 7 7
化简得4c2 7a2，即  ，所以离心率e   ，故选C．
a2 4 a 4 2
6．D
【解析】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，平面EFG和平面GHK 为有公共
顶点的两个正三角形所在平面，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(1,0,2),F(2,1,2),G(2,0,1),H(2,1,0),K(1,0,0)，
  
设平面EFG的法向量为m(x,y,z),EF (1,1,0),EG (1,0,1)，
 
 EFm x y 0, 
所以  令x 1,y 1,z 1，所以m(1,1,1)，
EGm xz 0,
  
设平面GHK 的法向量为n(a,b,c),GH (0,1,1),GK (1,0,1)，
 
 GH n bc  0, 
所以  令a 1,b1,c1，所以n(1,1,1)，
GKn ac  0,
 
  mn 1 1
设平面EFG和平面GHK 的夹角为，则cosm,n      ，
|m||n| 3 3 3
  1
因为平面EFG和平面GHK 的夹角为锐角，所以cos|cosm,n| ，
3
2 2 sin
所以sin 1cos2 ,tan 2 2 ，故选D．
3 cos
7．B
xy xy 1 1
【解析】z 4x2 3xy y2，则    1．
z 4x2 3xy y2 4x y 4x y
 3 2  3
y x y x
8．C
3lnx 3lnx
【解析】由 f(x)0，得 a2ax，令g(x) ,h(x)a2ax，则
x x
3(1lnx)
g(x) ，则g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，作出g(x)的大
x2
致图象如图所示，1 
易知h  x 的图象是恒过，点  ,0 的直线，若a0，则显然不符合题意；若a0，则
2 
3ln2
a4a,
g(2)h(2),   2 ln3 ln2
 即 解得 a ．故选C．
g(3)h(3),

3ln3 5 2
a6a,
 3
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案
1.B
【解析】
由已知得M N

0,1

．
故选：B
2.A
【解析】
因为aR，  a2i  1i a2 a2  i4i，
a20
所以 ，解得a2．
a24
故选:A
3.D
【解析】
随机变量X  N(,2)，显然P(X a)P(X a)1，
而P(X a)3P(X a)，所以P(X a)0.25.
故选：D
4.B
【解析】
log 6 2log 6
因为clog 21blog 5log 6 2 = 2 =log 6 a ，
3 4 4 log 4 2 2
2
即cb a．
故选：B．
5.C【解析】
圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，
由已知OD1,SO 2，可知OSD 30，所以圆锥的轴截面为正三角形，
1 1 1
AO
因为SO3，所以圆锥底面圆半径AO SOtan30  3 ，母线SA 2 3 ，
cos60o
则圆锥的表面积为S  π( 3)2 π 32 3 9π．
故选：C．
6.D
【解析】
 π 4 π
由已知得3 2sin    3(sincos)cos，∴tan ，∵(0, )，
 4 3 2
4 3
∴sin ,cos ,sin2cos2.
5 5
故选：D.
7.D
【解析】
BC
由已知AC CB  2,CAB 30，所以圆O的外接圆直径为2R 4，
sinA
因为APC ABC BPC BAC  30，
  
PA PB PC
所以     3  ，
PA PB PC
所 以
      
 PA PB   2 3PC  1   1 
 PO2      PC  PO  PC  |PC|22 3 PC  (PC 2 3)26
  PA PB   PC  2 2
    
，   
因为 AC  PC  2R ，即2 PC 4，所以 PC 2 3时，取到最小值6．
故选：D．
8.A
【解析】
x2 y2

1  1 1
a2 b2
根据题意设A  x ,y  ,B  x ,y ，代入椭圆方程可得 ；
1 1 2 2 x2 y2
2  2 1
a2 b2
x2 x2 y2  y2 y  y b2 x x
两式相减可得 1 2  1 2  0，整理可得 1 2  1 2 ；
a2 b2 x x a2 y y
1 2 1 2
又因为AB的中点坐标为 (1,-1) ，可得x x  2,y  y 2；
1 2 1 2
y  y b2
因此过A,B两点的直线斜率为k  1 2  ，
AB x x a2
1 2
又F

3,0

和AB的中点
(1,-1)
在直线上，所以k 
10

1
，
AB 13 2
b2 1
即  ，可得a2 2b2；
a2 2
又易知c3，且a2 b2 c2 b2 9，计算可得a2 18,b2 9；
所以椭圆E的方程为
x2

y2
1，代入AB的中点坐标为
(1,-1)
，得
12

1 2

3
1，
18 9 18 9 18
则其在椭圆内部，则此时直线AB与椭圆相交两点.
故选：A.
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）参考答案
1.D
【解析】因为  2i  1i 22ii13i，故选D.
2.B
【解析】不等式log x1解得0 x2，则A{x∣0 x2}，
2
B{x∣x 1}, B{x∣x 1}{x∣1 x1},A B{x∣1 x2}，故选B.
R R
3.C     
【解析】因为a,b 不共线，可知ab与ab 不共线，
             
则ab与ab 所成角为锐角等价于 ab  ab  0，即a2 b2，即 a  b ，
     
所以“ab与ab 所成角为锐角”是“ a  b ”的充分必要条件.故选C.
4.B
 π   5π  5π
【解析】 f  x sin2x ,g  x sin2x  sin2x ，
 12  6   12
5π π π
  ，故选B.
12 12 3
5.C
【解析】由题意可得当a0时， f

a

g

a
0，
因为 f

x

为
,0  0,
上的奇函数，所以 f

a
f a 
，
所以g  a f a 2a4 a2 30,  a2 1  2a2 3  0，
3 6
所以a2 1（舍去），或a2  ，因为a0，所以a .故选C.
2 2
6.A
 
【解析】设C的焦距为2c，点P x ,y ，由C 的离心率为2可知c2a,b 3a，
0 0
c2 y2
因为PF  FA ，所以x c，将P  c,y  代入C的方程得  0 1，即 y  3b，
2 0 0 a2 b2 0
3b 3b
所以tanPA F  3,tanPAF  1，
2 ca 1 ca 
31 1
故tan tan PA F PAF   .
2 1 131 2
故选A.
7.C
【解析】作AE CD，垂足为E，连接BE，
因为AB l，即AB CD,AEAB  A,AE,AB平面AEB，
故CD 平面AEB,BE 平面AEB，故CD BE，
又CD 平面，故平面AEB平面，平面AEB平面 BE，
则AB在平面内的射影在直线BE上，则ABE为AB与平面所成角，即π
ABE  ，
3
由于AE CD,CD  BE，故AEB为二面角l的平面角，即
 π
AEB 0 ，
 2
1
AECD
S AE
2
1   ，
S 1 BE
2 BECD
2
AE BE AB
在ABE中，   ，
sinABE sinBAE sinAEB
AE sinABE 3 1
则    ，
BE sinBAE 2 sinBAE
π π 2π
而0 ，则BAE  π  ，
2 3 3
π 2π 1 
则BAE  , ,sinBAE  ,1  ，
6 3  2 
AE sinABE 3 1  3 
故     , 3，

BE sinBAE 2 sinBAE  2 
故选C.
8.D
【解析】不妨令绳头编号为1,2,3,4,,2n，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2
外有2n2种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下n1根绳子进行打结，
 
令n nN* 根绳子打结后可成圆的种数为a ，那么经过一次打结后，剩下n1根绳子打
n
结后可成圆的种数为a ，由此可得，a  2n2  a ,n 2，
n1 n n1
a a a
所以 n 2n2, n1  2n4  ,, 2 2，所以
a a a
n1 n2 1a
n  2n2  2n4 22n1 n1  !，
a
1
显然a 1，故a 2n1 n1  !；
1 n
另一方面，对2n个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
C2 C2 C2 C2 2n 2n1  2n2  21  2n  !
N  2n 2n2 2n4 2   ;
n! 2nn! 2nn!
a 2n1 n1  ! 22n1n!  n1  !
P  n  
所以 N  2n  !  2n  ! .
2nn!
128
所以当n5时，P  ，故选D.
315
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）参考答案
1.D
【解析】
 1  1 
M  x|log x4  x|0 x16 ，N x|x ，则M N x  x16.
2  2  2 
故选：D.
2.A
【解析】
a a
解：由等差数列性质可知，S ＝ 1 5 ×5＝5a ＝35，解得a ＝7，
5 3 3
2
设等差数列的公差为d，
a +2d 7
所以 1 ，解之得d 3.
a 5d 16
1
故选：A.
3.C
【解析】
法一：由z ，z 是关于x的方程x2 2x20的两个根，得z z 2，
1 2 1 2
所以z  2z  21i1i，所以 z  1i  2.
2 1 2
法二：由z ，z 是关于x的方程x2 2x20的两个根，得z z 2，
1 2 1 22 2 2 2 2
所以z   ，所以 z     2 .
2 z 1i 2 1i 1i 2
1
故选：C.
4.D
【解析】
xsinx xsin x  xsinx
令 f  x  ，该函数的定义域为R， f x    f  x ，
ex e x ex
xsinx
所以，函数 y  为偶函数，排除AB选项，
ex
xsinx
当0 xπ时，sinx 0，则 y   0，排除C选项.
ex
故选：D.
5.B
【解析】
因为2x2 kxm0的解集为 t,1  t  1 ，
所以x=1为方程2x2 kxm0的一个根，
所以km 2．
故选:B．
6.B
【解析】
设球的半径为R，
R R
AB 3R,AC ，BC 3R 100，
tan10 tan10
25
R ，2R50.76
0.985
故选:B.
7.B【解析】
因为 f  1x  为偶函数，所以 f  x  的图象关于直线x1对称，所以 f  2x  =f  x  ，又
由 f  4 x  f x 0，得 f 4 x f x，所以
f  8 x  f 4x  f  6 x ，所以 f  x2 f  x  ，所以 f  x4  f  x  ，
故 f  x  的周期为4，所以 f  2023  f  3  f  1  1．
故选:B．
8.B
【解析】
如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则 CE BE  6 ，AE DE  246 3 2 ，
过点A作 AF ⊥底面BCD，垂足在DE上，且DF 2EF，
所以DF 2 2,EF  2，故AF  AD2 DF2  248 4，
点O为最大球的球心，连接DO并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，
设最大球的半径为R，则OF OM R，
AO OM 4R R
因为Rt△AOM ∽RtAEF ，所以  ，即  ，解得R 1，
AE EF 3 2 2
OM 1
即OM =OF =1，则AO413，故sinEAF  
AO 3
设最小球的球心为J ，中间球的球心为K，则两球均与直线AE相切，设切点分别为H,G，
连接HJ,KG，则HJ,KG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a,b，
则AJ 3HJ 3a,AK 3GK 3b，则JK  AK AJ 3b3a，
又JK ab，所以3b3aab，解得b2a，
1
又OK  Rb AOAK 33b，故4b3R2，解得b ，
2
1
所以a  ，
4
模型中九个球的表面积和为4πR2 4πb244πa244π4ππ 9π.故选：B
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）参考答案
1.C
【解析】
 1z z  22i  12i 244i2i62i．
故选:C.
2.C
【解析】
韦恩图的阴影部分表示的集合为(ð A)B，而全集U R，集合A{2,3,5,7,9}，
U
B {4,5,6,8}，
所以(ð A)B {4,6,8}.
U
故选：C
3.A
【解析】
易知 f  x  xlog 2 x 的定义域为  x x 0  ，
2x 2x
xlog x xlog x
因为 f x  2  2 f  x ，
2x 2x 2x 2x
 
所以 f x 为奇函数，排除答案B，D；2
又 f  2  0，排除选项C．
22 22
故选:A．
4.A
【解析】
以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，
由题意得A  0,3  ,E  1,0  ,C  3,0  ,D  3,3 ，
 
所以AC  3,3 ，DE 2,3 ，
 
所以ACDE 32 3 3 3.
故选：A.
5.C
【解析】
2
设半球的半径为R，因为V  πR3 144πcm3，
半球
3
所以R 6，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，
1  1 
所以V  S S  S S h 32π62π 32π62π 363πcm3，
圆台 上 下 上 下
3 3
所以该实心模型的体积为V V V 144π63π207πcm3，
半球 圆台
所以制作该模型所需原料的质量为207π1.52074.7972.9g
故选：C.
6.A
【解析】
若a 0，且公比q0，则a aqn1 0，所以对于任意nN*，S 0成立，故充分
1 n 1 n
性成立；1
若a 0，且q  ，则
1
2
 n
 1
a 1    
S 
1   2 

2
a

1


1

n

2
a

1 1 n


1

n
 0 ，
n
1



1

3 1  2  3 1  2 
 2
所以由对于任意nN*，S 0，推不出q0，故必要性不成立；
n
所以“公比q0”是“对于任意nN*，S 0”的充分不必要条件.
n
故选:A.
7.C
【解析】
在同一坐标系中，作出y＝sinx和y＝cosx的图象，
 2
当m＝ 时，要使不等式恒成立，只有a＝ ，
4 2
 2
当m＞ 时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sinx和y＝cosx的图象不在y＝a＝ 的同一
4 2
侧.
3
∴由图可知m的最大值是 .
4
故选：C.
8.D
【解析】
解：函数 f  x  ，满足 f  2x  f x  ，则 f  x  关于直线x1对称，
所以 f
2 
f

4
f 
4

，即 f
2 
f

4
0，
又 f

x

在
 1,
上递增，所以 f

x

在
,1 
上递减， 
则可得函数 f x 的大致图象，如下图：
2 x0 x4
所以由不等式xf  x1 0可得， 或 ，解得1 x0或x5，
2 x10 x14
故不等式xf  x1 0的解集为 1,0  5, .
故选：D.
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）参考答案
1．B
2．D
【解析】易知 A  x 0≤x≤2  ， B   y y 0  ，∴ ð A  x x0或x2  ，故
U
   
ð A B x x2 ．故选D．
U
3．D
         
【解析】由条件 ab  a  b 知a，b同向共线，所以 ab  a  b 1，故选D．
4．C
【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任
C1 8 2
取两个数含有1l的概率为 p  8   ，故选C．
C2 36 9
9
5．C
1  1 1 
【解析】由题意 f '  x  x2 ax1在区间 ,3上有零点，∴a  x ，x  ,3，
2  x 2 
10
∴2≤a ，又当a 2时， f '  x  x1 2≥0， f  x 单调，不符合，∴a  2，∴
3
10
2a ，故选C．
3
6．B2 2
【 解 析 】 ∵ c log 33 log 39 log 38 log 2a ， ∴ c a ， 又
3 3 3 3 3
2 2 ln3
c log 43 log 316  log 3 27 log 3 b，∴cb，∴acb．故选
3 4 4 4 4 ln4
B．
7．A
【解析】由条件知coscos0，sincoscossin2sinsin，两边同
3
除 以 coscos 得 ： tantan2tantan ， ∴ tantan ， 从 而
2
tantan
tan  6，故选A．
1tantan
8．A
 1
【解析】由 f  x 0 x x2 xsin x  0，x 0为其中一个零点，
 
 4
1
x2 
1
令g  x  x2 xsin x  ，∵g  0 0，∴令g  x 0 4 sin x ，
4 x
∵1≤sin x ≤1
1
x2 
2
1  1 1
∴ 4 ≤1，∴x2  ≤ x ，∴ x   ≤0，∴x ，所以 f  x ）共有三个
x 4  2 2
1 1 1
零点 ，0， ，∴x2 x2 x2  ，故选A．
2 2 1 2 n 2
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案
1.B
【解析】
因为x2 1，所以1 x1，即A x|1 x1  ，所以AB   x|1 x1  .
故选：B.
2.B
【解析】24i 24i 2i4
由题意，化简得z    2i，则 z  2i ，所以复数 z 的虚部为1．
(1i)2 2i 2
故选：B
3.D
【解析】
由题意，a 1，a 1，a a 2a 1（n3，nN*），解下第4个圆环，则n4，
1 2 n n1 n2
即a a 2a 1，而a a 2a 1121 4 ，因此a 4217，
4 3 2 3 2 1 4
所以解下第4个圆环最少需要移动的次数为7.
故选：D.
4.B
【解析】
1
由题设T Crx6r( )r (1)rCrx62r，
r1 6 x 6
所以含x4项为T 1 1 C1x4 6x4，含x6项为T 1 0 C0x6  x6，，
2 6 1 6
则系数之比为-6.
故选：B.
5.C
【解析】
x  ex ex 
解：根据题意，对于函数
f

x
 ，
2cosx
x  ex ex  x  ex ex 
有函数 f x   f  x ，
2cosx 2cosx
 
即函数 f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ；
x  ex ex 
当x0时，cosx[1,1]，则恒有 f  x  0 ，排除D；
2cosx
故选：C.
6.B
【解析】
因为 f  1x  为偶函数，所以 f  x  的图象关于直线x1对称，所以 f  2x  =f  x  ，又由 f  4 x  f x 0，得 f 4 x f x，所以
f  8 x  f 4x  f  6 x ，所以 f  x2 f  x  ，所以 f  x4  f  x  ，
故 f  x  的周期为4，所以 f  2023  f  3  f  1  1．
故选:B．
7.C
【解析】
设G(x,y)，A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) ，
1 1 2 2 3 3
    x x x y  y  y
因为AGBGCG  0，所以x 1 2 3 ，y  1 2 3 ，
3 3
所以点G是ABC的重心，
 
设点D是AC的中点，则AC 2AD，B、G、D共线，如图，
  
又AH  xAB2yAD．
因为B、H、D三点共线，所以x2y 1，
 x2y 2 1 1 1
所以x2 4y2  x2  2y 2   ，当且仅当x2y，即x ，y  时取等
2 2 2 4
号，即x2 4y2的最小值是 1 .
2
故选：C．
8.D
【解析】
令 f  x ex x1  x0  ，则 f x ex 10，
\ f (x)在0,上单调递增， f  x  f  0  0，即ex  x1，e0.1 1.1，
e0.05  1.1，即a c；1 1x
令g  x lnxx1，则g x  1 ，
x x
当x0,1时，g x 0；当x 1, 时，g x 0；
gx在 0,1 上单调递增，在1,上单调递减，g  x  g  1 0，
lnx x1（当且仅当x1时取等号），ln x  x 1，
lnx ln1.1
即 1 x（当且仅当x1时取等号）， 1 1.1，即bc；
2 2
综上所述：acb.
故选：D.