2024-2025 学年湖南省名校联盟高一下学期开学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 ( )
M={x∈N∗∣−4<x<2},N={−2,−1,0,1,2,3} M∩N=
A. {−2,−1,0,1} B. {−2,−1,0,1,2} C. {0,1} D. {1}
π
2.“x= +2kπ(k∈Z)”是“tanx=1”的( )
4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数 的零点在区间 内，且 ，则 的值为( )
f (x)=x+2x−2 (n,n+1) n∈Z n
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
4.把函数f (x)=cos2x的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍(纵坐标不变)，再将函数图象向左平移
1
个单位长度后，所得的图象对应的函数为( )
3
A. ( 1) B. ( 1)
y=cos x+ y=cos 4x+
3 3
C. ( 1) D. ( 1)
y=cos x− y=cos 4x−
3 3
1
5.生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位：心跳次数⋅min−1 )与体重W(单位：kg)的 次方成
3
反比．若A,B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2kg，脉搏率为210次⋅min−1.若B的脉搏率是140次
⋅min−1，则B的体重为( )
27
A. 6kg B. kg C. 8kg D. 9kg
4
6.若 (5)− 5 5 3，则 的大小关系为( )
a= 6,b=log ,c=log a,b,c
6 57 37
A. b<a<c B. b<c<a C. c<a<b D. c<b<a
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1 1{−x2+(2−a)x−5−2a,x<0 f (x )−f (x )
7.已知函数 f (x)= ，若对任意的 x ≠x ，都有 1 2 >0 ，则 a 的取值
2x+log (x+1),x≥0 1 2 x −x
2 1 2
范围是( )
A. (−∞,2) B. (−3,2) C. [−3,2] D. (−∞,2]
8.已知α,β均为锐角，sinα=2sinβcos(α+β)，则tanα的最大值为( )
√3 √2
A. √3 B. √2 C. D.
3 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
ax+b
9.已知函数f (x)= 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
(x+c) 2
A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. c>0
10.已知幂函数 的图象关于 轴对称，则下列说法正确的是( )
f (x)=(m2+m−1)xm−5 y
A. m=1
B.
f (−√3)<f (√5)
C. 若b2>a2>0，则f (a)>f (b)
D. 函数 (1)的最小值为
g(x)=f (x)+f 2
x
11.已知函数 ( π)的图象经过点( √3)，则下列说法正确的是( )
f (x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< 0,
2 2
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2 1π
A. 若f (x)的最小正周期为 ，则ω=4
2
B. 若 的图象关于点(π )中心对称，则
f (x) ,0 ω=1+3k(k∈N)
3
C. 若 在[ 2π]上单调递增，则 的取值范围是( 1]
f (x) 0, ω 0,
3 4
D. 若方程 1在 上恰有两个不同的实数解，则 的取值范围是(11 5]
f (x)= [0,π] ω ,
2 6 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数 ，且 的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象上，则
y=ax−4+7(a>0 a≠1) P P y=f (x) f (x)=
．
13.已知函数 ， ，则 ．
g(x)=5x5+2x3−29x−10 g(a)=−16 g(−a)=
b
14.已知a>−b,b>0，且a(a+2b−2)=(1+b)(3−b)，则 的最大值为 ．
a2+16
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
(1) 计算( 5 1 ) 0.5 + ( 2 10)− 3 1 −3×(√4+π) 0+√(√2−2) 2 ；
16 27
1
(2)计算7log 7 2−4log 3⋅log 8+ log 8+2log √3．
4 27 3 6 6
16.(本小题12分)
已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
y=f (x) R x>0 f (x)=3x−3
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若关于x的方程f (x)=2a+3恰有两个实数根，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
1+x 4−y
(1)已知x>0,y>0，且 + =2，求x+ y的最小值；
x y
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3 1解关于 的不等式 ．
(2) x ax2−(2a+3)x+6<0(a∈R)
18.(本小题12分)
已知函数 是奇函数，且 ．
f (x)=ln(√1+x2−ax) f (1)>0
(1)求a的值；
(2)判断f (x)的单调性，并证明；
若对任意实数 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
(3) x f (4sin2x+cosx−3)+f (m)<0 m
19.(本小题12分)
π
已知函数f (x)=√3sinωx+acosωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为 ，且
4
(π) ．
f (0)+f =3
6
(1)求f (x)的解析式；
π
(2)将函数f (x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若
12
，且 ，求 的最大值；
g(x )g(x )=9 x ,x ∈[−2π,2π] 2x −x
1 2 1 2 1 2
记函数 在区间[ π]上的最大值为 ，最小值为 ，设函数 ，求函数 在区
(3) f (x) t,t+ M m H(t)=M −m H(t)
4 t t t t
间[ π 5π]上的值域．
,
12 12
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4 1参考答案
1.D
2.A
3.B
4.A
5.B
6.D
7.C
8.C
9.AD
10.ACD
11.AC
12. 3
x2
13.−4
1
14. /0.25
4
15.解： (1) ( 5 1 ) 0.5 + ( 2 10)− 3 1 −3×(√4+π) 0+√(√2−2) 2
16 27
=
[(9) 2] 1
2+
[(4) 3]−
3
1
−3+2−√2
4 3
9 3
= + −3+2−√2=2−√2；
4 4
1
(2)7log 7 2−4log 3⋅log 8+ log 8+2log √3
4 27 3 6 6
lg3 lg8
=2−4× × +log 2+log 3
lg4 lg27 6 6
lg3 3lg2
=2−4× × +log (2×3)=2−2+1=1．
2lg2 3lg3 6
16.解： 因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
(1) y=f (x) R x>0 f (x)=3x−3
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5 1当x=0时，f (0)=0；
当 时， ，所以 ，
x<0 −x>0 f (x)=−f (−x)=−3−x+3
{
3x−3,x>0
综上， ；
f (x)= 0,x=0
−3−x+3,x<0
(2)函数f (x)的图象如图所示：
5 3 3 1
所以−2<2a+3<2且2a+3≠0，解得− <a<− 或− <a<− ，
2 2 2 2
故 的取值范围是( 5 3) ( 3 1)．
a − ,− ∪ − ,−
2 2 2 2
1+x 4−y 1 4 1 4
17.解：(1)因为 + =2，所以得 +1+ −1=2，即 + =2，
x y x y x y
所以 1 (1 4) 1( y 4x)．
x+ y= (x+ y)⋅ + = 5+ +
2 x y 2 x y
y 4x √ y 4x
因为x>0,y>0，所以 + ≥2 ⋅ =4．
x y x y
y 4x 3
当且仅当 = ，即y=2x时，即x= ,y=3时，等号成立；
x y 2
9
此时(x+ y) = ；
min 2
(2)当a=0时，−3x+6<0，解集为(2,+∞)，
当 时， ，
a≠0 ax2−(2a+3)x+6=(x−2)(ax−3)<0
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6 1当 时，3 ，解集为( 3) ；
① a<0 <2 −∞, ∪(2,+∞)
a a
当 3时，3 ，解集为( 3)；
② 0<a< >2 2,
2 a a
3
③当a= 时，解集为⌀；
2
当 3时，3 ，解集为(3 )．
④ a> <2 ,2
2 a a
综上所述： 时，解集为( 3) ； 时，解集为 ； 3时，解集为( 3)；
a<0 −∞, ∪(2,+∞) a=0 (2,+∞) 0<a< 2,
a 2 a
3时，解集为 ； 3时，解集为(3 )．
a= ⌀ a> ,2
2 2 a
18.解： 因为函数 是一个奇函数，
(1) f (x)=ln(√1+x2−ax)
所以 ，即 ，
f (x)+f (−x)=0 ln(√1+x2−ax)+ln(√1+x2+ax)=0
可得 ，即 ，
(√1+x2−ax)(√1+x2+ax)=1 (1+x2)−a2x2=1
所以 ，解得 或 ．
(1−a2)x2=0 a=1 a=−1
当 时， ，此时 ，不符合题意；
a=1 f (x)=ln(√1+x2−x) f (1)=ln(√1+12−1)<0
当 时， ，此时 ，满足题意，
a=−1 f (x)=ln(√1+x2+x) f (1)=ln(√1+12+1)>0
综上，a=−1；
(2)f (x)在R上单调递增，
不妨设0≤x <x ，
1 2
√1+x2+x
所以f (x )−f (x )=ln(√1+x2+x )−ln(√1+x2+x )=ln 1 1，
1 2 1 1 2 2 √1+x2+x
2 2
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7 1又 ，所以 ，所以 ，
0≤x <x √1+x2<√1+x2 √1+x2+x <√1+x2+x
1 2 1 2 1 1 2 2
√1+x2+x
所以 1 1<1，所以f (x )−f (x )<0，即f (x )<f (x ) ，
√1+x2+x 1 2 1 2
2 2
所以f (x)在[0,+∞)上单调递增，
又f (x)是奇函数且定义域为R，所以f (x)在(−∞,+∞)上单调递增；
若对任意实数 ，不等式 恒成立，
(3) x f (4sin2x+cosx−3)+f (m)<0
即 ，
f (4sin2x+cosx−3)<−f (m)
又 是奇函数，所以 ，
f (x) f (4sin2x+cosx−3)<f (−m)
又f (x)在(−∞,+∞)上单调递增．所以4sin2x+cosx−3<−m对任意实数x恒成立，
又 4sin2x+cosx−3=4(1−cos2x)+cosx−3=−4cos2x+cosx+1=−4 ( cosx− 1) 2 + 17，
8 16
1 17 17
所以当cosx= 时，4sin2x+cosx−3取得最大值 ，所以 <−m，
8 16 16
解得 17，即 的取值范围是( 17)．
m<− m −∞,−
16 16
π 2π
19.解：(1)由题意可知，函数f (x)的最小正周期为T=4× =π，所以ω= =2，
4 T
所以 ，所以 (π) π π 3 1 ，
f (x)=√3sin2x+acos2x f (0)=a,f =√3sin +acos = + a
6 3 3 2 2
故 (π) 3 3 ，
f (0)+f = + a=3
6 2 2
解得a=1，
所以 ( π)；
f (x)=√3sin2x+cos2x=2sin 2x+
6
π
(2)将函数f (x)的图象向左平移 个单位长度，
12
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8 1可得 [ ( π ) π] ( π)的图象，
y=2sin 2 x+ + =2sin 2x+
12 6 3
再向上平移 个单位长度，得到 ( π) 的图象，
1 g(x)=2sin 2x+ +1
3
所以−1≤g(x)≤3，
又 ，所以当 时， ，
x ,x ∈[−2π,2π] g(x )g(x )=9 g(x )=3,g(x )=3
1 2 1 2 1 2
又 ，所以 π [ 11π 13π]，
x ,x ∈[−2π,2π] 2x+ ∈ − ,
1 2 3 3 3
π π
要使2x −x 最大，则2x + 最大，2x + 最小．
1 2 1 3 2 3
π 5π π 7π
所以当2x + = 最大，2x + =− 最小时，
1 3 2 2 3 2
13π 23π
即x = ,x =− ,2x −x 取得最大值，
1 12 2 12 1 2
49π
最大值为2x −x = ；
1 2 12
因为 [ π 5π]，所以 π [π ] ( π) π 2π [5π 3π]，
(3) t∈ , 2t+ ∈ ,π ,2 t+ + =2t+ ∈ ,
12 12 6 3 4 6 3 6 2
当 [ π π)时， 在[ π]上单调递增，在[π π]上单调递减，
t∈ , f (x) t, ,t+
12 6 6 6 4
所以 ( π π) ( π)，
M =2,m =2sin 2t+ + =2cos 2t+
t t 2 6 6
此时 ( π) [ π π)；
H(t)=2−2cos 2t+ ,t∈ ,
6 12 6
又 [ π π)，所以 π [π π)，所以 ( π) ( 1]
t∈ , 2t+ ∈ , cos 2t+ ∈ 0, ,
12 6 6 3 2 6 2
所以H(t)的取值范围为[1,2)；
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9 1当 [π 5π]时， 在[ π]上单调递减，
t∈ , f (x) t,t+
6 12 4
所以 ( π)， ( π π) ( π)，
M =2sin 2t+ m =2sin 2t+ + =2cos 2t+
t 6 t 2 6 6
此时 ( π) ( π) ( π )；
H(t)=2sin 2t+ −2cos 2t+ =2√2sin 2t−
6 6 12
又 [π 5π]，所以 π [π 3π]，所以 ( π ) [√2 ]，
t∈ , 2t− ∈ , sin 2t− ∈ ,1
6 12 12 4 4 12 2
所以 的取值范围为 ，
H(t) [2,2√2]
综上，函数 的值域为 ．
H(t) [1,2√2]
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10 1
