参考答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年04月试卷(1)_0406四川省南充市高级中学2024-2025学年高二下学期4月考试题

《南充高中高 2023 级第四学期第一次月考数学试卷》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D B C D A D AB BD BCD 1 3 12. √2+1 13. /0.1 14. 10 1015 15.（1）解：用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目； 由题意知，𝑃(𝑌)=0.6,𝑃(𝑁)=1−𝑃(𝑌)=0.4……………………………………………....3分 6 所以第二次答题通过面试的概率𝑃(𝑁𝑌)=𝑃(𝑁)𝑃(𝑌)=0.4×0.6=0.24或 ………...…..6分 25 （2）解：由题意，李明未通过的概率为𝑃(𝑁𝑁𝑁)=0.4×0.4×0.4=0.064，………..…9分 117 所以李明通过面试的概率为𝑃 =1−𝑃(𝑁𝑁𝑁)=1−0.064=0.936或 ………………..13分 125 16．（1）因为𝑓(𝑥)= 𝑙𝑛𝑥 −2𝑥2，所以𝑓′(𝑥)= 1−𝑙𝑛𝑥 −4𝑥 = 1−𝑙𝑛𝑥−4𝑥3 ……………………..6分 𝑥 𝑥2 𝑥2 （2）因为𝑓′(𝑥)= 1−𝑙𝑛𝑥 −4𝑎𝑥，所以𝑓′(1)=1−4𝑎，……………………………………10分 𝑥2 𝑎 由题意知，(1−4𝑎)⋅ =−1，即4𝑎2−𝑎−3=0， 3 3 所以(4𝑎+3)(𝑎−1)=0，所以𝑎 =1或𝑎 =− ……………………………………………15分 4 17．（1）证明：连接𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，连接𝐸𝑂， ∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∴点𝑂为𝐴𝐶的中点， ∵点𝐸为𝑃𝐶的中点 ∴𝐸𝑂 ∥𝑃𝐴，………………………………………………………………2分 又 答案第1页，共5页 P A ⊥ 平面𝐴𝐵𝐶𝐷,∴𝐸𝑂 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷， 又∵𝐸𝑂 ⊂平面𝐵𝐷𝐸，∴平面𝐵𝐷𝐸 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷；………………………………………...……4分 （2）∴𝐸𝑂 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∴𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝐸两两垂直， 以𝑂为原点，以𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ,𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ,𝑂⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ 向量方向为𝑥,𝑦,𝑧轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，∵底面ABCD为菱形，且∠𝐴𝐵𝐶 =60°，PA= AB=2,∴𝐴𝐶 =2，𝐵𝑂 =√3, 1 ∵𝑂,𝐸分别为𝐴𝐶,𝑃𝐶的中点，∴𝑂𝐸 = 𝑃𝐴=1，𝑂𝐶 =𝑂𝐴=1, 2 则𝑂(0,0,0),𝐵(√3,0,0),𝐶(0,1,0),𝐷(−√3,0,0)，𝐹(0,−1,1)， 则𝐹⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(√3,1,−1)，𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(2√3,0,0)，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(0,1,0)， 设平面 答案第2页，共5页 B F D 的一个法向量为𝑚⃗⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)， 𝑚⃗⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =2√3𝑥 =0 𝑥 =0 则有{ ，即{ ， 𝑚⃗⃗ ⋅𝐹⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =√3𝑥+𝑦−𝑧 =0 𝑦 =𝑧 令𝑦=1，则𝑚⃗⃗ =(0,1,1)，……………………………………………………………………6分 ∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∴𝑂𝐶 ⊥𝐵𝐷， ∵平面𝐵𝐷𝐸 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且平面𝐵𝐷𝐸∩平面 A B C D = B D ，𝑂𝐶 ⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，  O C ⊥ 平面𝐵𝐷𝐸， ∴𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(0,1,0)为平面𝐵𝐷𝐸的一个法向量， 设二面角 E − B D − F 大小为𝜃， 则𝑐𝑜𝑠𝜃 =|𝑐𝑜𝑠⟨𝑚⃗⃗ ,𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ⟩|= |𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ | = |0+1+0| = √2 . |𝑚⃗⃗⃗ |⋅|𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ | √0+1+1√0+1+0 2 所以二面角 E − B D − F 𝜋 的大小为 ；…………………………………………………………9分 4 （3）不存在，理由如下：……………………………………………………………………10分 因为点𝑀在线段𝑃𝐵上，设𝑃⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ =𝜆𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ (0≤𝜆 ≤1)， 𝑃(0,−1,2)，𝐶(0,1,0)，𝐴(0,,−1,0)则𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(0,2,−2)， 则𝑃⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ =(0,2𝜆,−2𝜆)，则𝑀(0,2𝜆−1,2−2𝜆)，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ =(0,2𝜆,2−2𝜆)，………………...12分 𝜋 由题知直线𝐴𝑀与平面𝐵𝐷𝐹所成夹角为 ， 6 则𝑠𝑖𝑛 𝜋 =|𝑐𝑜𝑠𝑚⃗⃗ ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ |= |𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ | = |0+2𝜆+2−2𝜆| = 1 6 |𝑚⃗⃗⃗ |⋅|𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ | √0+1+1√(2𝜆)2+(2−2𝜆)2 2 即16=2(8𝜆2−8𝜆+4)，解出𝜆 = 1±√3………….. ……………………………………...…14分 2 因为0≤𝜆 ≤1，且1±√3不在区间[0,1]里，故线段𝑃𝐶上不存在这样的点𝑀……………….15分 218（1）因为𝑎 =𝑆 +2𝑛+1，所以𝑆 −𝑆 =𝑆 +2𝑛+1，.. ………………………...…2分 𝑛+1 𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑛 所以𝑆 =2𝑆 +2𝑛+1，所以 𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛+1，所以 𝑆𝑛+1− 𝑆𝑛 =1， 𝑛+1 𝑛 2𝑛+1 2𝑛 2𝑛+1 2𝑛 所以{ 𝑆𝑛}是公差为1的等差数列；.. ………………………………………………..............…5分 2𝑛 （2）①因为 答案第3页，共5页 S 2 11 = a 2 1 = 1 ，所以 𝑆𝑛 =1+(𝑛−1)×1=𝑛，所以𝑆 =𝑛⋅2𝑛， 2𝑛 𝑛  b n = S 3 nn = n   2 3  n ， 2 1 2 2 2 3 2 n−1 2 n T =1  +2  +3  + +(n−1)  +n  ， n 3 3 3 3 3  2 3 T n = 1   2 3  2 + 2   2 3  3 + 3   2 3  4 + + ( n − 1 )   2 3  n + n   2 3  n + 1 ， 两式相减得1 𝑇 = 2 +( 2 ) 2 +( 2 ) 3 +⋯+( 2 ) 𝑛 −𝑛×( 2 ) 𝑛+1 ， 𝑛 3 3 3 3 3 3 = 2 3 − 1  − 2 3 2 3  n + 1 − n   2 3  n + 1 = 2 − ( n + 3 )   2 3  n + 1 ， 2 n T =6−(2n+6)  ．. ………………………………………………...........................…11分 n 3 ②6−𝑇 <𝜆﹒( 3 ) 𝑛 对任意的𝑛 ∈𝑵∗恒成立， 𝑛 4 所以(2𝑛+6)﹒2𝑛 <𝜆﹒( 3 ) 𝑛 则𝜆＞(2𝑛+6)﹒( 8 ) 𝑛 对任意的𝑛 ∈𝑵∗恒成立， 4 9 令𝐶 =(2𝑛+6)﹒( 8 ) 𝑛 ; 𝑛 9 所以𝐶 −𝐶 =( 8 ) 𝑛+1 (2𝑛+8)−( 8 ) 𝑛 (2𝑛+6)=( 8 ) 𝑛 (10−2𝑛)，…..……….............13分 𝑛+1 𝑛 9 9 9 则当𝑛＜5时，{𝐶 }为递增数列，𝐶 ＜𝐶 ＜𝐶 ＜𝐶 ＜𝐶 ； 𝑛 1 2 3 4 5 当𝑛 =5时，𝐶 =𝐶 ； 5 6 当𝑛＞5时，{𝐶 }为递减数列，𝐶 ＞𝐶 ＞...𝐶 ＞𝐶 …………………………......................15分 𝑛 6 7 𝑛−1 𝑛 当𝑛 =5或6时，(𝐶 ) =𝐶 = 219 ，故𝜆＞ 219 . …………………………..........................17分 𝑛 𝑚𝑎𝑥 5 310 31019（1）由题，折痕轨迹是椭圆，𝐸(1,0)，𝐹(−1,0)，半径𝑅 =4，|𝑃𝐹|+|𝑃𝐸|=4＞|𝐹𝐸|， 设椭圆标准方程为𝑥2 + 𝑦2 =1，其中𝑎 =2，𝑐 =1，𝑏 =√3. 𝑎2 𝑏2 故椭圆标准方程为𝑥2 + 𝑦2 =1. ………………………………………….............................….2分 4 3 设𝑀(𝑥 ,𝑦 )，𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )；两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为𝑘,则设直 0 0 1 1 2 2 𝑥2 𝑦2 + =1, 线𝑀𝐴方程为𝑦−𝑦 1 =𝑘(𝑥−𝑥 1 )．由{ 4 3 消去𝑦有 𝑦−𝑦 =𝑘(𝑥−𝑥 ), 1 1 (4𝑘2+3)𝑥2−8𝑘(𝑘𝑥 −𝑦 )𝑥+4(𝑘𝑥 −𝑦 )2−12=0． 1 1 1 1 令𝛥=0，整理得(𝑥 2−4)𝑘2−2𝑥 𝑦 𝑘+𝑦 2−3=0 1 1 1 1 注意到方程(𝑥 2−4)𝑘2−2𝑥 𝑦 𝑘+𝑦 2−3=0的𝛥=4𝑥 2𝑦 2−4(𝑥 2−4)(𝑦 2−3) 1 1 1 1 1 1 1 1 又𝐴(𝑥 ,𝑦 )满足椭圆方程𝑥1 2 + 𝑦1 2 =1，代入上式，𝛥 =0 1 1 4 3 故方程(𝑥 2−4)𝑘2−2𝑥 𝑦 𝑘+𝑦 2−3=0有两个相等的实根，即𝑘 =− 3𝑥1. ....................4分 1 1 1 1 4𝑦1 又𝑘 =− 3𝑥1 = 𝑦0−𝑦1，整理有3𝑥 𝑥 +4𝑦 𝑦 =4𝑦 2+3𝑥 2 =12； 4𝑦1 𝑥0−𝑥1 0 1 0 1 1 1 同理，点𝐵(𝑥 ,𝑦 )也满足方程3𝑥 𝑥 +4𝑦 𝑦 =4𝑦 2+3𝑥 2 =12； 2 2 0 2 0 2 2 2 则直线𝐴𝐵方程为3𝑥 𝑥+4𝑦 𝑦=12，即𝑘 =− 3𝑥0,即𝑘 ﹒𝑘 =− 3 0 0 𝐴B 4𝑦0 𝑂𝑀 𝐴𝐵 4 3 综上𝑘 ﹒𝑘 的值为− . ……………………………………………….............................….6分 𝑂𝑀 𝐴𝐵 4 （2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即 答案第4页，共5页 A , B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点， 此时𝑀的坐标为(±2,±√3)． …………………………………………................................….7分 当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为𝑘，交点为𝑀(𝑥 ,𝑦 )， 0 0 𝑥2 𝑦2 + =1, 则过𝑀的切线方程为𝑦−𝑦 0 =𝑘(𝑥−𝑥 0 )．由{ 4 3 消去𝑦有 𝑦−𝑦 =𝑘(𝑥−𝑥 ), 0 0 (4𝑘2+3)𝑥2−8𝑘(𝑘𝑥 −𝑦 )𝑥+4(𝑘𝑥 −𝑦 )2−12=0． 0 0 0 0 令𝛥=0，整理得(𝑥 2−4)𝑘2−2𝑥 𝑦 𝑘+𝑦 2−3=0(𝑥 2 ≠4)． 0 0 0 0 0 因为𝑘 ,𝑘 是关于𝑘的一元二次方程的两个根， 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑦2−3 𝑦2−3 所以𝑘 ﹒𝑘 = 0 ．由𝑘 ﹒𝑘 =−1，得 0 =−1，…………….......................…..9分 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑥2−4 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑥2−4 0 0 即𝑥 2+𝑦 2 =7(𝑥 2 ≠4)，点𝑀(±2,±√3)也在圆𝑥 2+𝑦 2 =7上， 0 0 0 0 0 综上，动点𝑀的轨迹方程为𝑥2+𝑦2 =7. …………………………................................……11分②设𝑀(𝑥 ,𝑦 )，𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )；由(1)知，直线𝐴𝐵方程为： 𝑥0𝑥 + 𝑦0𝑦 =1 0 0 1 1 2 2 4 3 𝑥2 𝑦2 + =1, 由{ 4 3 消去𝑦有(4𝑦 2+3𝑥 2)𝑥2−24𝑥 𝑥+48−16𝑦 2 =0， 𝑥0𝑥 + 𝑦0𝑦 =1, 0 0 0 0 4 3 𝑥 +𝑥 = 24𝑥0 , 即{ 1 2 4𝑦0 2+3𝑥0 2 , ………………………................................ …………………..……13分 𝑥 𝑥 = 48−16𝑦0 2 , 1 2 4𝑦0 2+3𝑥0 2 又𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ﹒𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 ，且𝑦 𝑦 = 36−9𝑥0 2 1 2 1 2 1 2 4𝑦0 2+3𝑥0 2 则𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ﹒𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 = 48−16𝑦0 2 + 36−9𝑥0 2 = 84−16𝑦0 2−9𝑥0 2 …………………….......15分 1 2 1 2 4𝑦0 2+3𝑥0 2 4𝑦0 2+3𝑥0 2 4𝑦0 2+3𝑥0 2 且𝑀(𝑥 ,𝑦 )满足𝑥 2+𝑦 2 =7，即𝑥 2 =7−𝑦 2代入上式， 0 0 0 0 0 0 −7𝑦 2+21 168 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ﹒𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ = 0 =−7+ 𝑦 2+21 𝑦 2+21 0 0 因为𝑦 2 ∈[0,7],所以𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ﹒𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =−7+ 168 ∈[−1,1]; 0 𝑦0 2+21 综上，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ﹒𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 的取值范围为[−1,1] ……………………................................ …….....……17分 答案第5页，共5页