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2024—2025 学年山西名校十月联合考试
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章至第
二章2.4.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量 ， .若 ，则 （ ）
A. 4 B. C. 8 D.
2. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则 （ ）
A. B.
.
C D.
.
3 若直线 与直线 垂直，且直线 与直线 ₄：
垂直，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 若点 在圆 ： 的外部，则 的取值范围为（ ）A. B.
.
C D.
5. 在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择
3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑
堵 中， ， ， 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图
中满足 的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7. 在四面体 中， 为 的外心， 底面 ， ， ， ，
则四面体 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，直线 ： ，过点 作 的垂线，垂足为 ，则点 到
轴的距离的最小值为（ ）
.
A B.C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9. 已知集合 ， ， ，则（
）
A. B.
C. D.
10. 已知一组数据为 ，其中 ，则（ ）
A. 这组数据的中位数不可能为3
B. 当这组数据的众数为1时，
C. 当 时，这组数据的方差为1.25
D. 当这组数据的平均数为2.2时， 的最小值为
11. 已知四棱柱 的底面是边长为 6 的菱形， 平面 ， ，
，点P满足 ，其中 ， ， ，则（ ）
A. 当P为底面 的中心时，
B. 当 时， 长度的最小值为
C. 当 时， 长度的最大值为6D. 当 时， 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若复数 满足 ，则 的虚部为______， ______.
13. 已知在正四棱台 中， ， ， ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为__________.
14. 已知函数 .若不等式 对任意
恒成立，则 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ，求B；
（2）若 ， ，求 的面积.
16. 如图，在正六棱柱 中， 为 的中点．设 ， ， .
（1）用 ， ， 表示向量 ， ；
（2）若 求 的值．17. 已知圆 经过点 ， ， .
（1）求圆 的标准方程；
（2）若一条光线从点 射向直线 ，经该直线反射后经过圆 上的点 ，求该光线从
点 到点 的路线长的最小值.
18. 如图，已知 四点均在直径为 的球B的球面上，
，直线PO与平面AOC所成的角为 ，点D在
线段PC上运动．
（1）证明：
（2）设平面BOC与平面KHD的夹角为 ，求 的最大值．
19. 过点 作斜率分别为 ， 的直线 ， ，若 ，则称直线 ， 是
定积直线或 定积直线．
（1）已知直线 ： ，直线 ： ，试问是否存在点 ，使得直线 ， 是
定积直线？请说明理由．（2）在 中， 为坐标原点，点 与点 均在第一象限，且点 在二次函数
的图象上．若直线 与直线 是 定积直线，直线 与直线 是 定积直线，直线
与直线 是 定积直线，求点 的坐标．
（3）已知直线 与 是 定积直线，设点 到直线 ， 的距离分别为 ， ，求
的取值范围．2024—2025 学年山西名校十月联合考试
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章至第
二章2.4.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
【12题答案】
【答案】 ①. ②.
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1） ，
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）存在，理由见解析
（2）
（3）
