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长春外国语学校2025-2026学年第一学期月考高二年级 4.已知直线 和直线 平行，则这两条平行线之间的距离为
数学试卷
A． B． C． D．
出题人 ： 杨柳 审题人： 孙洁
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页.考试结束后，将答题卡交回.
5.已知点 , ，若直线 与线段AB相交，则实数k的取值范围是
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区. A． B.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； C． D．
在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
6.如图，在空间四边形 中， ， ， ，点 在
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷
上，且 ， 为 的中点，则 等于
一．单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
A． B．
1.若直线 的倾斜角为 ，则实数
C． D．
A． B． C． D．
7.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 与点 重合，若此时 轴与直线
2.已知空间向量 ，若 ，则
也正好重合,则 的值是
A．2 B． C．1 D．
A． B． C． D．
3.在三棱锥 中， 是平面 内一点，且 ，则
8.正方体 棱长为4，点 满足 ，点 满足 ，则
A． B．1 C．2 D．3
试卷第1页，共3页的最小值为 C.点 到直线 的距离为
A． B．2 C．4 D． D. 和平面 的距离为
二．多选题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符
第Ⅱ卷
合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.
9.已知点 ，点B在坐标轴上，经过 两点直线的方向向量为 ，则下列选项中，可以
12.直线 和 的交点坐标为_____________.
是点B的坐标的是
13.已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量坐标为
A. B. C. D.
___________.
14.已知点 和点 关于直线 对称，斜率为 的直线 过点 且与直线 相
10.对于直线 和直线 ，以下说法正确的有
交于点 ，若 的面积为2，则 =_______________.
A． 的充要条件是 B．若 ，则 四．解答题：本题共5小题，总分共77分.
15.(13分)已知直线 .
C．直线 一定过定点 D．点 到直线 的距离的最大值为5
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
11.如图，在棱长为2的正方体 中，点E是 的中点，则下列说法正确的是
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
A. 与 所成角的余弦值为
16.(15分)已知直线 ．
B. 与平面 所成角的正弦值为 (1)求直线 所过定点的坐标；
(2)若直线 不经过第四象限，求实数 的取值范围；
(3)若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线 的方程.
试卷第1页，共3页的中点，如图所示.
(1)求证： 平面BCDE；
17.(15分)如图，直三棱柱 中， 分别为 和 的中
点． (2)求点M到平面 的距离；
(1)证明： 平面 ；
(3)在线段 上是否存在点N（N不与端点 、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，
(2)若 ，求 与平面 所 求出 的值；若不存在，请说明理由.
成角的余弦值.
18（. 17分）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12 m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成
角为30°，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路
面宽线OD确定的平面内．
(1)当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？
(2)如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警
示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．
19.(17分)在 中， ， ， ，D、E分别是AC、AB上的点，满足
且DE经过 的重心，将 沿DE折起到 的位置，使 ，M是
试卷第1页，共3页目要求的.
1.A
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.C
8.A
二．多选题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符
合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分.
9. BC
10.BCD
11.ACD
三．填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.
12.
13.
14.0
四．解答题：本题共5小题，总分共77分.
15.(1) (2) 或
长春外国语学校2025-2026学年第一学期月考高二年级
（1）由直线 可得斜率为 ，............2分
数学答案
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
一．单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
试卷第1页，共3页则依题意有 ，解得 ， .................3分 由图可得 ，............6分
所以所求直线方程为 ，整理得 ；..................6分
解得 ，因此，实数 的取值范围是 ....................7分
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ，...........8分
（3）已知直线 ，且由题意知 ，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为 ，
令 ，得 ，得 ，..............8分
代入 得 ，此时 ；..............10分
令 ，得 ，得 ，....................9分
当直线的截距都不为0时，设直线方程为 ，
则 .................12分
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，.............12分
所以当 时， 取最小值，................14分
综上所述：所求直线方程为 或 ...................13分
此时直线 的方程为 ，即 ............15分
16.(1) (2) (3)
17.(1)证明见解析 (2)
（1）由 ，即 ，
（1）取 的中点为 ，连接 ，
则 ，解得 ，所以直线过定点 ................3分
因为 ， ，故 ，
（2）因为直线 不过第四象限，结合图形可知，直线 的斜率存在，所以 ，
由直三棱柱的性质可得 ，故 ，
此时，直线 的方程可化为 ，记点 ，则 ，.........4分
故四边形 为平行四边形，故 ，......................3分
试卷第1页，共3页而 平面 ， 平面 ，故 平面 .........................7分
灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝ x+14，①….......4分
（2）因为 ，故 ，故 ，设 .
因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，
由直三棱柱可得 平面 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，....................8分 可设 的斜率为 ，则 ＝ ，
则 , 又C（6 ，0），
故 ，且 . 所以直线AC的方程为：y＝ （x﹣6 ），…②...........7分
因为 ，故 即 ，故 （ 舍去），........................10分 由①②组成方程组，求得点A（ ，15）；..................9分
故 ， ，又 . 所以|AB|＝ ＝2，...............10分
即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；
设平面 的法向量为 ，则 ,
（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，
则M（6 ， ），A（ ，15），.....................12分
所以 ，取 ，.............................13分
所以直线AM的方程为：y﹣15＝ （x﹣ ），.............15分
故 与平面 所成角的正弦值为 ..............14分
令y ＝0，解得x ＝7 ，
N N
故 与平面 所成角的余弦值为 ....................15分
所以CN＝7 ﹣6 ＝ ...............................17分
18.（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2） m.
所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为 m．
（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，...........1分
19.(1)证明见解析 (2) (3)存在；
试卷第1页，共3页（1）因为在 中， ， ，所以 ，
即 ，令 则 ， ， ，...........14分
因为折叠前后对应角相等，所以 ，所以 平面 ，..............2分
同理，设平面DEN的法向量为 ， ，
，.......3分，又 ， ，所以 平面BCDE；..................5分
（2）因为DE经过 的重心，故 ，由（1）知 平面BCDE，以 为 轴， 则 ，即 ，令 ，则 ，故 ，........16分
为 轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，......................6分 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足 ，即 ， ，故存在这样的点，
由几何关系可知， ，
，所以 .................17分
故 ， ..............7分
， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即
，令 ，则 ，...............9分
设M到平面 的距离为d， ..............10分
（3）设 ， ，即 ，
即 ， ，.............12分
， ，设平面CMN的法向量为 ，则有 ，
试卷第1页，共3页
