文档内容
南京市 2025 届高三年级学情调研
数学
2024.09
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ， ，则 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.12
3.已知 ， .若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.已知数列 为等差数列，前 项和为 .若 ， ，则 （ ）
A. B. C.9 D.18
5.若 是第二象限角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三
人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这
个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
7.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A.24 B.32 C.96 D.128
8.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上.若 ， ，则 的面积为（ ）
A. B.25 C. D.55
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得0分.
9.已知复数z，下列命题正确的是（ ）
A.若 ，则 B.若 ，则 的虚部为
C.若 ，则 D.若 ，则
10.对于随机事件A，B，若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
11.设函数 ，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于 对称
C. 的最小值为
D.方程 在 上所有根的和为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上
12. 展开式中的常数项是___________.
13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，
最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，直线 与 相交于另一点 .当
最小时， 的离心率为___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个
出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
8点前到（天数） 8点或8点后到（天数）
A方案 28 12
B方案 30 30
（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；
（2）小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天
中，8点前到单位的天数为随机变量X.若用频率估计概率，求 .
附： ，其中 ，
0.10 0.05 0.025 0.010 0.011
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16.（本小题满分15分）
如图，在四面体 中， 是边长为3的正三角形， 是以AB为斜边的等腰直角三角形，
E，F分别为线段AB，BC的中点， ， .（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线BD与平面 所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知数列 ， ， ， ，且 为等比数列.
（1）求 的值；
（2）记数列 的前 项和为 .若 ，求 的值.
18.（本小题满分17分）
已知 ， 是双曲线 的左、右焦点， ，点 在C
上.
（1）求 的方程
（2）设直线 过点 ，且与 交于A，B两点.
①若 ，求 的面积；
②以线段AB为直径的圆交 轴于P，Q两点，若 ，求直线 的方程.
19.（本小题满分17分）
已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在 处切线的方程；
（2）当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研
数学参考答案
2024.09
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A B A C C B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9 10 11
AB BCD ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.240 13. 14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证
明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
解：（1）假设 点前到单位与方案选择无关，
则 .
，
所以有 的把握认为8点前到单位与路线选择有关.
（2）选择 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.
当 时，则分两种情况：
①若周一8点前到单位，则 .
（2）若周一8点前没有到单位，则 .
综上， .
16.（本小题满分15分）解：（1）因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以 .
因为 ， ，即 ，所以 ，所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）取AC中点 ，连接DO，OE
因为 为正三角形，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为O，E分别为AC，AB中点，则 .
又因为 ，所以 .
以 为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
故 ， ， .
设平面 的法向量为 ，直线BD与平面 所成角为 ，
则 即 取 .
则 ，
所以BD与平面 所成角的正弦值为 .17.（本小题满分15分）
解：（1）因为 ，则 ， ， ， .
又 ，则 ， ， .
因为 为等比数列，则 ，所以 ，
整理得 ，解得 或2.
因为 ，故 .
当 时，
.
则 ，故 为等比数列，所以 符合题意.
（2）
当 为偶数时，
当 为奇数时 .
综上，
因为 ，又 ，故 ，所以 为偶数.
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍），所以 .
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题意可知 ，点 在 上，根据双曲线的定义可知 ，
即 ，所以 ，
则 ，所以 的方程为 .
（2）①设 ， .
因为 ，所以 ，
所以 点坐标为 ，
因为A，B在双曲线 上，所以
解得 ， ，所以 点坐标为 ，
所以 .
②当直线 与 轴垂直时，此时 不满足条件.
设直线 的方程为 ， ， ， ， .
直线 与 联立 消去 ，得 ，所以 ， .
由 ，得 且 .
以AB为直径的圆方程为 ，
令 ，可得 ，则 ， 为方程的两个根，
所以 ， ，
所以
.
解得 （舍）或 ，即 ，
所以直线 的方程为： .
19.（本小题满分17分）
解：（1）当 时， ，则 ，
所以曲线 在 处切线的斜率 .
又因为 ，所以曲线 在 处切线的方程为 .
（2） ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 .
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以 .
又因为 ，所以当 时， 在 上有且只有一个零点.
（3）①当 时， ，与当 时， 矛盾，
所以 不满足题意.
②当 时， ，
， ， .
记函数 ， ，
则 ，
当 时， ，所以 在 单调递增；
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，所以 .
又因为 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增.
（i）若 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
则 ，符合题意；
（ii）若 ，可得 ，则 .因为 ，且 在 上单调递增，
所以存在唯一的 ，使得 .
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
其中 ，且 .
所以
，
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 ，满足题意.
结合①②可知，当 时，满足题意.
综上， 的取值范围为 .
