2007年北京高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2007 年北京高考文科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3 至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知cosθ•tanθ＜0，那么角是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数 f(x)3x(0 x≤2)的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0，) Ｂ．(1，9] Ｃ．(0，1) Ｄ．[9，) 3．函数 f(x)sin2xcos2x的最小正周期是（ ） π Ａ． Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π 2 x2 y2 4．椭圆  1(ab0)的焦点为F ，F ，两条准线与x轴的交点分别为M，N ， a2 b2 1 2 若 MN ≤ FF ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） 1 2  1  2 1   2  Ａ． 0，  Ｂ．  0，  Ｃ．  ，1  Ｄ． ，1   2  2  2   2  5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌 照号码共有（ ） Ａ．  C1 2 A4 个 Ｂ．A2 A4 个 26 10 26 10 Ｃ．  C1 2 104个 Ｄ．A2104个 26 26 x y5≥，  6．若不等式组y≥a， 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）  0≤x≤2  Ａ．a5 Ｂ．a≥7 Ｃ．5≤a7 Ｄ．a5或a≥7 7．平面∥平面的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线，a∥，a∥ 第1页 | 共7页Ｂ．存在一条直线a，a，a∥ Ｃ．存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥ Ｄ．存在两条异面直线a，b，a，a∥，b∥ 8．对于函数① f(x) x2 ，② f(x)(x2)2，③ f(x)cos(x2)，判断如下两个命 题的真假： 命题甲： f(x2)是偶函数； 命题乙： f(x)在(，)上是减函数，在(2，)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③ 第II卷（共110分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 1 9． f(x)是 f(x) x3 2x1的导函数，则 f(1)的值是 ． 3 10．若数列a 的前n项和S n2 10n(n1，2，3， )，则此数列的通项公式为 n n  ． 11．已知向量a =2，4，b=1，1．若向量b(a+b)，则实数的值是 ． 1 12．在△ABC中，若tan A ，C 150，BC 1，则AB ． 3 13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽 的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于 ． 14．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 f(x) 3 2 1 则 f[g(1)]的值为 ；当g[f(x)]2时，x ． 第2页 | 共7页三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分） xa 记关于x的不等式 0的解集为P，不等式 x1≤1的解集为Q． x1 （I）若a3，求P； （II）若Q P，求正数a的取值范围． 16．（本小题共13分） 数列a 中，a 2 a a cn（c是常数，n1，2，3， ），且a，a，a 成公比不为1 n 1 n1 n  1 2 3 的等比数列． （I）求c的值； A （II）求a 的通项公式． n 17．（本小题共14分） π D 如图，在Rt△AOB中，OAB ，斜边AB4．Rt△AOC可 6 以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC 的直二面角．D是AB的中点． （I）求证：平面COD平面AOB； （II）求异面直线AO与CD所成角的大小． 18．（本小题共12分） B O 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起 C 点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外 的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 19．（本小题共14分） y 如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)， AB边所在 直线的方程为x3y60点T(1，1)在AD边所在直线上． C T （I）求AD边所在直线的方程； D M （II）求矩形ABCD外接圆的方程； N O B x （III）若动圆P过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切， A 求动圆P的圆心的轨迹方程． 20．（本小题共14分） 已知函数 y kx与 y  x2 2(x≥0)的图象相交于 A(x，y )，B(x，y )，l ，l 分别 1 1 2 2 1 2 是y  x2 2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N 分别是l ，l 与x轴的交点． 1 2 （I）求k的取值范围； （II）设t为点M 的横坐标，当x  x 时，写出t以x 为自变量的函数式，并求其定义域 1 2 1 第3页 | 共7页和值域； （III）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（O是坐标原点）． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｃ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10 9．3 10．2n11 11．3 12． 2 7 13． 14．1 1 25 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） x3   解：（I）由 0，得P x 1 x3 ． x1 （II）Q  x x1≤1    x 0≤x≤2  ． 由a0，得P  x 1 xa  ，又Q P，所以a2， 即a的取值范围是(2，)． 16．（共13分） 解：（I）a 2，a 2c，a 23c， 1 2 3 因为a ，a ，a 成等比数列， 1 2 3 所以(2c)2 2(23c)， 解得c0或c2． 当c0时，a a a ，不符合题意舍去，故c2． 1 2 3 （II）当n≥2时，由于 a a c， 2 1 a a 2c， 3 2  a a (n1)c， n n1 n(n1) 所以a a [12 (n1)]c c． n 1  2 第4页 | 共7页又a 2，c2，故a 2n(n1)n2 n2(n2，3， )． 1 n  当n1时，上式也成立， 所以a n2 n2(n1，2， )． n  17．（共14分） 解法一： A （I）由题意，CO AO，BO AO， BOC是二面角BAOC是直二面角， CO BO，又 AO BOO，   D CO平面AOB， 又CO平面COD． 平面COD平面AOB． （II）作DE OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO， CDE是异面直线AO与CD所成的角． 1 E 在Rt△COE 中，CO BO2，OE  BO1， O B 2 C CE  CO2 OE2  5． 1 又DE  AO 3． 2 CE 5 15 在Rt△CDE 中，tanCDE    ． DE 3 3 15 异面直线AO与CD所成角的大小为arctan ． 3 解法二： （I）同解法一． （II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O(0，0，0)， A(0，0，2 3)，C(2，0，0)， D(0，1，3)， z   OA(0，0，2 3)，CD(2，1，3)， A    OA CD cosOA，CD    OA CD  D 6 6   ． 2 3 2 2 4  6 异面直线AO与CD所成角的大小为arccos ． 4 O B y x C 第5页 | 共7页18．（共13分） 解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为 A6 1512 P 10  ≥.1512． 106 106 C393 1458 （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为P 6  0.01458． 106 106 19．（共14分） 解：（I）因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD 的斜率为3． 又因为点T(1，1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y13(x1)． 3x y20． x3y60， （II）由 解得点A的坐标为(0，2)， 3x y2=0 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)． 所以M 为矩形ABCD外接圆的圆心． 又 AM  (20)2 (02)2 2 2． 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2  y2 8． （III）因为动圆P过点N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆P与圆M 外切， 所以 PM  PN 2 2， 即 PM  PN 2 2． 故点P的轨迹是以M，N 为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支． 因为实半轴长a 2，半焦距c2． 所以虚半轴长b c2 a2  2． x2 y2 从而动圆P的圆心的轨迹方程为  1(x≤ 2)． 2 2 20．（本小题共14分） 第6页 | 共7页y kx， 解：（I）由方程 消 y得x2 kx20． ￿￿￿￿￿① y  x2 2 依题意，该方程有两个正实根， k2 80， 故 解得k 2 2． x x k 0，  1 2 （II）由 f(x)2x，求得切线l 的方程为y 2x (xx ) y ， 1 1 1 1 x 1 由y  x2 2，并令y 0，得t  1  1 1 2 x 1 k k2 8 4 x ，x 是方程①的两实根，且x  x ，故x   ，k 2 2， 1 2 1 2 1 2 k k2 8 x 是关于k的减函数，所以x 的取值范围是(0，2)． 1 1 t是关于x 的增函数，定义域为(0，2)，所以值域为(，0)， 1 x 1 （III）当x  x 时，由（II）可知 OM  t  1  ． 1 2 2 x 1 x 1 x x x x 类似可得 ON  2  ． OM  ON  1 2  1 2 ． 2 x 2 x x 2 1 2 由①可知x x 2． 1 2 从而 OM  ON 0． 当x  x 时，有相同的结果 OM  ON 0． 2 1 所以 OM  ON ． 第7页 | 共7页