2007年北京高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2007 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3
至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知cosθ•tanθ＜0，那么角是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数 f(x)3x(0 x≤2)的反函数的定义域为（ ）
Ａ．(0，) Ｂ．(1，9] Ｃ．(0，1) Ｄ．[9，)
3．函数 f(x)sin2xcos2x的最小正周期是（ ）
π
Ａ． Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π
2
x2 y2
4．椭圆  1(ab0)的焦点为F ，F ，两条准线与x轴的交点分别为M，N ，
a2 b2 1 2
若 MN ≤ FF ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
1 2
 1  2 1   2 
Ａ． 0，  Ｂ．  0，  Ｃ．  ，1  Ｄ． ，1 
 2  2  2   2 
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌
照号码共有（ ）
Ａ．  C1 2 A4 个 Ｂ．A2 A4 个
26 10 26 10
Ｃ．  C1 2 104个 Ｄ．A2104个
26 26
x y5≥，

6．若不等式组y≥a， 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）

0≤x≤2

Ａ．a5 Ｂ．a≥7 Ｃ．5≤a7 Ｄ．a5或a≥7
7．平面∥平面的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线，a∥，a∥
第1页 | 共7页Ｂ．存在一条直线a，a，a∥
Ｃ．存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥
Ｄ．存在两条异面直线a，b，a，a∥，b∥
8．对于函数① f(x) x2 ，② f(x)(x2)2，③ f(x)cos(x2)，判断如下两个命
题的真假：
命题甲： f(x2)是偶函数；
命题乙： f(x)在(，)上是减函数，在(2，)上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
1
9． f(x)是 f(x) x3 2x1的导函数，则 f(1)的值是 ．
3
10．若数列a 的前n项和S n2 10n(n1，2，3， )，则此数列的通项公式为
n n 
．
11．已知向量a =2，4，b=1，1．若向量b(a+b)，则实数的值是
．
1
12．在△ABC中，若tan A ，C 150，BC 1，则AB ．
3
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽
的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于
．
14．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 2 1 1 f(x) 3 2 1
则 f[g(1)]的值为 ；当g[f(x)]2时，x ．
第2页 | 共7页三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
xa
记关于x的不等式 0的解集为P，不等式 x1≤1的解集为Q．
x1
（I）若a3，求P；
（II）若Q P，求正数a的取值范围．
16．（本小题共13分）
数列a 中，a 2 a a cn（c是常数，n1，2，3， ），且a，a，a 成公比不为1
n 1 n1 n  1 2 3
的等比数列．
（I）求c的值；
A
（II）求a 的通项公式．
n
17．（本小题共14分）
π
D
如图，在Rt△AOB中，OAB ，斜边AB4．Rt△AOC可
6
以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC
的直二面角．D是AB的中点．
（I）求证：平面COD平面AOB；
（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．
18．（本小题共12分） B
O
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起
C
点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外
的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
19．（本小题共14分）
y
如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)， AB边所在
直线的方程为x3y60点T(1，1)在AD边所在直线上．
C
T
（I）求AD边所在直线的方程； D M
（II）求矩形ABCD外接圆的方程； N O B x
（III）若动圆P过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切， A
求动圆P的圆心的轨迹方程．
20．（本小题共14分）
已知函数 y kx与 y  x2 2(x≥0)的图象相交于 A(x，y )，B(x，y )，l ，l 分别
1 1 2 2 1 2
是y  x2 2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N 分别是l ，l 与x轴的交点．
1 2
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M 的横坐标，当x  x 时，写出t以x 为自变量的函数式，并求其定义域
1 2 1
第3页 | 共7页和值域；
（III）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10
9．3 10．2n11 11．3 12．
2
7
13． 14．1 1
25
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共12分）
x3
 
解：（I）由 0，得P x 1 x3 ．
x1
（II）Q  x x1≤1    x 0≤x≤2  ．
由a0，得P  x 1 xa  ，又Q P，所以a2，
即a的取值范围是(2，)．
16．（共13分）
解：（I）a 2，a 2c，a 23c，
1 2 3
因为a ，a ，a 成等比数列，
1 2 3
所以(2c)2 2(23c)，
解得c0或c2．
当c0时，a a a ，不符合题意舍去，故c2．
1 2 3
（II）当n≥2时，由于
a a c，
2 1
a a 2c，
3 2

a a (n1)c，
n n1
n(n1)
所以a a [12 (n1)]c c．
n 1  2
第4页 | 共7页又a 2，c2，故a 2n(n1)n2 n2(n2，3， )．
1 n 
当n1时，上式也成立，
所以a n2 n2(n1，2， )．
n 
17．（共14分）
解法一： A
（I）由题意，CO AO，BO AO，
BOC是二面角BAOC是直二面角，
CO BO，又 AO BOO，
 
D
CO平面AOB，
又CO平面COD．
平面COD平面AOB．
（II）作DE OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，
CDE是异面直线AO与CD所成的角．
1 E
在Rt△COE 中，CO BO2，OE  BO1， O B
2
C
CE  CO2 OE2  5．
1
又DE  AO 3．
2
CE 5 15
在Rt△CDE 中，tanCDE    ．
DE 3 3
15
异面直线AO与CD所成角的大小为arctan ．
3
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O(0，0，0)， A(0，0，2 3)，C(2，0，0)，
D(0，1，3)，
z
 
OA(0，0，2 3)，CD(2，1，3)，
A
 
 OA CD
cosOA，CD 
 
OA CD

D
6 6
  ．
2 3 2 2 4

6
异面直线AO与CD所成角的大小为arccos ．
4
O B y
x C
第5页 | 共7页18．（共13分）
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为
A6 1512
P 10  ≥.1512．
106 106
C393 1458
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为P 6  0.01458．
106 106
19．（共14分）
解：（I）因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD
的斜率为3．
又因为点T(1，1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y13(x1)．
3x y20．
x3y60，
（II）由 解得点A的坐标为(0，2)，
3x y2=0
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)．
所以M 为矩形ABCD外接圆的圆心．
又 AM  (20)2 (02)2 2 2．
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2  y2 8．
（III）因为动圆P过点N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆P与圆M 外切，
所以 PM  PN 2 2，
即 PM  PN 2 2．
故点P的轨迹是以M，N 为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支．
因为实半轴长a 2，半焦距c2．
所以虚半轴长b c2 a2  2．
x2 y2
从而动圆P的圆心的轨迹方程为  1(x≤ 2)．
2 2
20．（本小题共14分）
第6页 | 共7页y kx，
解：（I）由方程 消 y得x2 kx20． ￿￿￿￿￿①
y  x2 2
依题意，该方程有两个正实根，
k2 80，
故 解得k 2 2．
x x k 0，

1 2
（II）由 f(x)2x，求得切线l 的方程为y 2x (xx ) y ，
1 1 1 1
x 1
由y  x2 2，并令y 0，得t  1 
1 1 2 x
1
k k2 8 4
x ，x 是方程①的两实根，且x  x ，故x   ，k 2 2，
1 2 1 2 1 2 k k2 8
x 是关于k的减函数，所以x 的取值范围是(0，2)．
1 1
t是关于x 的增函数，定义域为(0，2)，所以值域为(，0)，
1
x 1
（III）当x  x 时，由（II）可知 OM  t  1  ．
1 2 2 x
1
x 1 x x x x
类似可得 ON  2  ． OM  ON  1 2  1 2 ．
2 x 2 x x
2 1 2
由①可知x x 2．
1 2
从而 OM  ON 0．
当x  x 时，有相同的结果 OM  ON 0．
2 1
所以 OM  ON ．
第7页 | 共7页