文档内容
灌南县 2024～2025 学年度第一学期期中调研考试
高二数学试题
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷总分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 过点 且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率不存在且过点 直接写出方程即可.
【详解】因为倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，又过 ，
所以直线方程为 ，即 .
故选：C
2. 若抛物线 上的一点M到坐标原点O的距离为 ，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，则 ，解得 ，故 ，计算得到答案.【详解】设 ，M到坐标原点O的距离为 ，解得 ，故 .
点M到该抛物线焦点的距离为 .
故选： .
【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3. 已知直线过点 ，且在 轴与 轴上的截距互为相反数，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设所求直线的横截距为 ，分 和 讨论，设出直线方程，将点 代入，求出 即可
得出答案.
【详解】设所求直线的横截距为 ，
当 时，可设直线为 ，将点 代入，可得 ，
所以直线方程为 ，
当 时，可设直线为 ，将点 代入，可得 ，
所以直线方程为 ，
综上，直线 的方程为 或 .
故选：C.
4. 椭圆 ： 左右焦点分别为 、 ，焦距为2，直线 经过 交椭圆于 两点，
若 的周长为12，则椭圆标准方程为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可求出 ，再根据 求出 ，即可得解.
【详解】由 的周长为 ，
得 ，
又椭圆 的焦距 ，则 ，
所以 ，
所以椭圆标准方程为 .
故选：D.
5. 已知动直线 与圆 （圆心为 ）交于点 ， ，则弦
最短时， 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定动直线过圆内一定点 ，求出圆心 的坐标和半径，由 时，弦最短求解．
【详解】根据题意，圆 可化为 ，其圆心为 ，半
径 ，动直线 ，即 ，恒过点 .
设 ，又由 ，则点 在圆 的内部，
动直线 与圆 （圆心为 ）交于点 ，
当 为 的中点，即 与 垂直时，弦 最短，
此时 ，弦 的长度为 ，
此时 的面积 ，
故选：D.
6. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据线线平行公式可得 ，再根据平行线间的距离公式求解即可.
【详解】直线 与直线 平行，
∴ ，解得 ，故直线 为直线 ，化简得
，
∴它们之间的距离为 ．
故选：B．
7. 已 知 ， 直 线 ： 与 ： 的 交 点 在 圆 ：上，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】 ，所以直线 恒过点 ，
，所以直线 恒过点 ，
由两条直线的方程可以判断直线 与直线 互相垂直，
因此点 在以 为直径的圆上，线段 中点为 ，
半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由已知条件可知点 在圆 ： 上，
所以圆 与圆 相交或相切， ，
因此有 ，
解得： ，所以则 的最大值是 ，
故选：A
【点睛】关键点睛：通过直线方程判断交点 的位置，根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.
8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反
向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，从发出的光线经过图2中的 ， 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， ，则
的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用 表示 ，再在两个直角三角形中
借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线 都过点 ，如图，有 ， ，
设 ，则 ，显然有 ， ，
，
因此， ，在 ， ，即 ，解得 ，即 ，令双曲线半焦距为
c，
在 中， ，即 ，解得 ，
所以E的离心率为 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出 ，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，进而转化为 的齐次式，然后等式（不等式）两边分
别除以 或 转化为关于 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 （ 的取值范围）.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
的
B. 经过点 且在 轴和 轴上截距都相等 直线方程为
C. 点 关于直线 的对称点为
D. 过 ， 两点的直线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A，分别令 和 ，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；选项B，特
殊情况不成立；选项C，求出对称点坐标即可判断；选项D，利用两点式的前提条件可判断.
【详解】A，令 得 ，令 得 ，则直线 与两坐标轴围成的三角形的面积 ，故A正确；
B，经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线还有过原点的直线 ，故B错误；
C，设 关于直线 对称点坐标为 ，
则 ，解得 ，故C正确；
D，两点式使用的前提是 ，故D错误；
故选：AC.
10. 若点 为原点，且圆 与圆 没有公共点，则圆 的半径可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 8 D. 9
【答案】AD
【解析】
【分析】判断点O与圆C的位置，再利用两圆相离列出不等式求解即得.
【详解】由 得 的圆心 ，半径 ，
又 ，显然点O在圆C外，
由于圆O与圆C无公共点，则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内，
设圆O的半径为R，于是 或 ，即 或 ，
解得 或 ，所以圆O的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足.
故选：AD
11. 已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线与双
曲线 的右支交于 两点， 与 轴相交于点 的内切圆与边 相切于点 ．若 ，
则下列说法正确的有（ ）A. 双曲线 的渐近线方程为
B. 若直线 与双曲线 有且仅有1个公共点，则
C. 的最小值为12
D. 的内切圆的圆心在定直线上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知，画出图象，利用切线的几何性质以及双曲线定义求出双曲线方程，再通过双曲线方程
计算求解.
【详解】因为 的内切圆与边 相切于点 ，如图，
由切线长定理可知 ，
所以
，
所以 ，
则双曲线 的方程为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，故A正确．对于B选项，由 消去 并化简得
注意到当 时，方程 有唯一解，
即此时直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，所以B选项错误．
是
对于 选项，当 垂直于 轴时，|PQ) 通径，由双曲线性质可知，通径最短，
所以|PQ)的最小值为 ，C选项正确．
对于 选项，如图，
设 的内切圆圆心为 ，半径为 ，
设 与圆 分别相切于点 ，
由切线长定理得
，
而 ，两式相加得 ，所以 是双曲线 的右顶点，
所以 轴，则圆心 在直线 上，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 请写出一个焦点在 轴，并与双曲线 有相同渐近线的双曲线的方程：______.【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设所求双曲线的方程为 ，再根据焦点在y轴上，可得 ，即可得解.
【详解】设所求双曲线的方程为 ，
因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以 ，
则可取 ，
所以所求双曲线的方程为 （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）
13. 若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先由 得 ，表示以 为圆心，以1为半径的半圆，
画出图像，由图像根据直线与圆位置关系，即可得出结果.
【详解】由 得 ，表示以 为圆心，以 为半径的半圆，
其图象如下：
由图像可得，当直线 过点C(0,1)时，直线 与曲线 恰有一个公共点，此时 ；
当直线 过点A(0,−1)时，
直线 与曲线 恰有两个公共点，此时 ；
当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径，
即 ，且 ，解得 ，
因此，由图像可得，为使直线 与曲线 恰有一个公共点，
实数b的取值范围为 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，动点 均在椭圆上， 是坐标原
点，记 和 的斜率分别为 ； 与 的面积分别为 .若 ，则 的最
大值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 的坐标，不妨设点 在第一象限，点 在第二象限，设出直线 的方程，
与椭圆方程联立，求出 两点的纵坐标，求出 的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由椭圆的方程可得 ，
在
不妨设点 第一象限，点 在第二象限，
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程可得 ，
解得 （ 舍去），所以 ，
因为 和 的斜率 ，所以 ，
则直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ，
解得 （ 舍去），所以 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 的最大值为 ，
由椭圆及直线的对称性，满足条件时 的最大值为 .
故答案为： .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 平行四边形 中，已知 ， ， .
（1）求直线 的方程；
（2）求 中 边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，利用平行四边形的性质和点斜式求出即可；
（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系，点斜式求解即可；
【小问1详解】
设 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .【
小问2详解】
因为 ，
所以 中 边上的高所在直线的方程为 ，即 .
16. 已知圆 过两点 ， 且圆心在直线 上.
（1）求该圆 的方程；
（2）求过点 的直线被圆 截得弦长最大时的直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出 的中垂线，根据 求出圆心坐标，求出半径即可得解；
（2）直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，求出直线方程.
【详解】解：（1）因为圆 过两点 ， ，
设 的中点为 ，则 ，
因为 ，所以 中垂线方程为 ，即
的
又因为圆心在直线 上，
解得 ，圆心 ，
故圆的方程为 .
（2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线 过点 ，由过点 ， 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
故直线 的方程为 .
17. 已知动点 与点 的距离比其到直线 的距离小1.
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）求点 与点 的距离的最小值，并指出此时 的坐标.
【答案】（1）
（2）最小值为 ， 或
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）设 ，求出 即得解.
【小问1详解】
由题意知动点 到 的距离与它到 的距离小1即与到直线 的距离相等，
所以动点M的轨迹为以 为焦点、以直线 为准线的抛物线，
因此动点 的轨迹方程为 .
【小问2详解】
设 ，
由两点间的距离公式得： ，
当 ，即 时， ，即当 或 时，点 与点 的距离最小，最小值为 .
18. 已知圆C： ，直线l过定点 ．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求 的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【答案】（1） 或
【解析】
【分析】（1）通过直线 的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆 C相切，圆心到直线的距
离等于半径即可求解直线 的方程；
（2）设直线方程为 ，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到 的面积的表达式，
利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.
【详解】（1）①若直线l 的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意.
1 1
②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为 ，即 ．
1 1
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求
1
直线l 的方程是x=1或 .
1
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为 ，
则圆心到直线l 的距离
1
又∵△CPQ的面积
＝
∴当d＝❑√2时，S取得最大值2.∴ ＝❑√2 ∴ k＝1 或k＝7
所求直线l 方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
1
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，
以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合
理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 为椭圆 上两个不同的点，且 ，
①求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标；
②过 点作直线 的垂线，垂足为 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，定点坐标为 ；② .
【解析】
【分析】（1）根据离心率和 关系得到方程，解出即可；
（2）①先考虑斜率不存在的情况，再采用设线法，设 ，再将其与椭圆方程联立得到韦达
定理式，代入向量表达式化简即可；
②根据①中结论得 在以 为直径的圆上，则得到最值情况.
【小问1详解】
由题意知 ，故 ，即 ，
又因为椭圆过点 ，所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为: .
【小问2详解】
①设 ， ，
，
(i)当直线 斜率不存在时，设 ，
联立 得 ，
，
解得 (舍)或 ，此时 .
(ii)当直线 斜率存在时，设 ，
联立 得 ，
.
又 ，
，
整理得 ，
将 代入整理得 ，
，
或 ，当 时， ， 过点 ，不成立；
当 时， ，则 过定点 ，
综上所述， 过定点 .
② 过定点 ，
，即 在以 为直径的圆上，
圆心为 的中点 ，半径 ，
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再将向
量式化简整理，最后代入韦达定理式即可.
