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2025-2026 学年贵州省铜仁市松桃民族中学高二（上）期末模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x−√3 y−2025=0的倾斜角为( )
5π 2π π π
A. B. C. D.
6 3 3 6
x2 y2
2.双曲线 − =1的渐近线方程是( )
25 16
16 25 5 4
A. y=± x B. y=± x C. y=± x D. y=± x
25 16 4 5
3.已知等比数列{a }中，a =2，a =8，则a =( )
n 1 3 4
A. 16 B. 16或−16 C. 32 D. 32或−32
4.已知直线 ： 与 ： 平行，则实数 的值是( )
l ax+2y+6=0 l x+(a−1)y+a2−1=0 a
1 2
A. −1或2 B. 0或1 C. −1 D. 2
5.圆x2+ y2−4x+2ay+6=0与直线x+ y−2=0相切，则圆的半径为( )
A. 3√2 B. 2√2 C. √3 D. √2
6.在平行六面体ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 中，M为BC 1 与B 1 C的交点，若⃗DA=⃗a， D ⃗ C= ⃗ b ，D ⃗ D = ⃗ c，则下
1
列向量中与⃗A M相等的向量是( )
1
1⃗ ⃗ 1⃗
A. − a+b+ c
2 2
1⃗ ⃗ 1⃗
B. − a+b− c
2 2
1⃗ 1⃗ ⃗
C. a+ b+c
2 2
1 1
D. ⃗a− ⃗b+⃗c
2 2
⃗ ⃗
7.已知向量a=(0,0,2) ，b=(1,−1,1) ，则向量⃗b在向量⃗a上的投影向量为( )
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1 1A. (0,0,2) B. (0,0,1) C. (0,0,−1) D. (0,0,−2)
x2 y2
8.过椭圆C ： + =1的中心作直线l交椭圆与M，T两点，F是椭圆的左焦点，则△MFT周长的最小
1 16 9
值是( )
A. 17 B. 14 C. 6+2√7 D. 8+2√7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列{a }是等差数列；公差为d，S 是其前n项和，a >0且a =0，则( )
n n 1 8
A. d<0 B. a +a =0 C. S 有最大值 D. S 有最小值
7 9 n n
10.已知直线l：ax+ y−3=0与圆C：x2+ y2+4x−2y−4=0，则下列说法正确的是( )
A. 直线l与圆C始终相交
B. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|最小时，a=−1
C. 圆C上一点P到直线l的最大距离为3+2√2
D. 若圆C上到直线l的距离为1的点有且仅有2个，则a>0
11.如图，若P是棱长为2的正方体ABCD−A B C D 的表面一个动点，则下列结论正确的是( )
1 1 1 1
A. 当P在平面BCC B 内运动时，四棱锥P−A A D D的体积不变
1 1 1 1
π π
B. 当P在线段AC上运动时，D P与A C 所成角的取值范围是[ , ]
1 1 1 6 2
C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2π+4√2
D. 若F是棱A B 的中点，当P在底面ABCD内运动，且满足PF//平面
1 1
B CD 时，PF长度的最小值是√6
1 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量⃗
a=(x,1,−2),
⃗
b=(2,2,3)
，若
⃗a⊥⃗b
，则
x=
．
13.若曲线 与直线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ．
y=√1−x2 (−1≤x≤1) kx−y+3=0 k
14.已知双曲线 ：x2 y2 的左、右焦点分别为 ， 点 在 上，点 在 轴上，
C − =1(a>0,b>0) F F . A C B y
a2 b2 1 2
⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗
，F A=− F B，则C的离心率为______．
F
1
A⊥F
1
B
2 3 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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2 1(1)已知直线l经过两直线2x+ y−8=0和x−2y+1=0的交点，且平行于直线4x+3 y−7=0，求直线l的
一般方程；
(2)已知圆C经过A(1,1)，B(2,−2)两点，且圆心C在直线l：x−y+1=0上，求圆C的标准方程．
16.(本小题15分)
在数列{a }中，a =0，a =4，且a =2a −a +2．
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明：{a −a }是等差数列；
n+1 n
(2)求{a }的通项公式．
n
17.(本小题15分)
已知点 是抛物线 ： 的焦点，纵坐标为 的点 在 上，以 为圆心、 为半径的圆交
F C y2=2px(p>0) 2 N C F NF y
轴于D，E，|DE|=2√3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过(−1,0)作直线l与抛物线C交于A，B，求k +k 的值．
NA NB
18.(本小题17分)
已知斜三棱柱ABC−A B C 的底面是正三角形，侧面A B BA是边长为2的菱形，且与底面ABC的夹角
1 1 1 1 1
为60°，∠A AB=60°，点O为AB中点．
1
(1)求证：平面ABC⊥平面A OC；
1
(2)求平面A OB与平面A OC 夹角的余弦值．
1 1 1
19.(本小题17分)
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼
|MQ|
斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比 =λ(λ>0,λ≠1)，λ是一
|MP|
个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，
x2 y2
其方程为x2+ y2=4，定点分别为椭圆C： + =1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率
a2 b2
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3 11
为e= ．
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于B，D(点B在x轴上方)，点S，T是椭圆C上
异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．
|BS|
(ⅰ)求 的取值范围；
|DS|
81π
(ⅱ)将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为 ，求直线l的方程．
8
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4 1参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.D
6.B
7.B
8.B
9.ABC
10.ACD
11.AD
12.2
13.[−3,−2√2)∪(2√2,3]
3√5
14.
5
{2x+ y−8=0 {x=3
15.解：(1)联立两直线方程 ，解得 ，
x−2y+1=0 y=2
即两直线的交点坐标为(3,2)，
因为直线l平行于直线4x+3 y−7=0，设直线l的方程为4x+3 y+c=0，c≠−7，
将点(3,2)代入可得4×3+3×2+c=0，
解得c=−18，
即直线l的一般方程为4x+3 y−18=0；
(2)圆心C在直线l：x−y+1=0上，可设圆心C的坐标为(a,a+1)．
因为圆C经过A(1,1)，B(2,−2)两点，所以|AC|=|BC|，
即 ，
√(a−1) 2+(a+1−1) 2=√(a−2) 2+(a+1−(−2)) 2
即 ，解得 ，
(a−1) 2+a2=(a−2) 2+(a+3) 2 a=−3
所以圆心 的坐标为 ，半径 ，
C (−3,−2) r=|AC|=√(−3−1) 2+(−2−1) 2=5
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5 1故圆 的标准方程为 ；
C (x+3) 2+(y+2) 2=25
16.解：(1)证明：因为数列{a }中，a =0，a =4，且a =2a −a +2，
n 1 2 n+2 n+1 n
则(a −a )−(a −a )=a −2a +a =(2a −a +2)−2a +a =2，
n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1 n n+1 n n+1 n
且a −a =4，
2 1
所以数列{a −a }是以4为首项，2为公差的等差数列；
n+1 n
(2)由(1)得：a −a =4+(n−1)×2=2n+2，
n+1 n
所以a −a =4，a −a =6，a −a =8，…，a −a =2n，
2 1 3 2 4 3 n n−1
(n−1)(4+2n)
则a −a =4+6+8+⋯+2n= =n2+n−2，
n 1 2
又 ，所以 ．
a =0 a =n2+n−2
1 n
2
17.解：(1)由题知，N点的横坐标为 ，
p
p 2 p
所以|NF|= + ，|OF|= ，
2 p 2
|DE|
所以|NF|2=|DF|2=|OF|2+(
)
2
，
2
p p 2
所以( ) 2+(√3) 2=( + ) 2 ，解得p=2，
2 2 p
所以抛物线C的方程为y2=4x．
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6 1(2)由(1)知N(1,2)，设直线AB的方程为x=my−1，
{x=my−1
联立 ，消去x并整理得y2−4my+4=0，Δ=(4m) 2−4×4>0，即m2>1，
y2=4x
设A(x ,y )，B(x ,y )，则y + y =4m，y y =4，
1 1 2 2 1 2 1 2
y −2 y −2 y −2 y −2
所以k +k = 1 + 2 = 1 + 2
NA NB x −1 x −1 m y −2 m y −2
1 2 1 2
2m y y −2(1+m)(y + y )+8 8m−2(1+m)×4m+8
= 1 2 1 2 = =2．
m2y y −2m(y + y )+4 4m2−2m×4m+4
1 2 1 2
18.解：(1)证明：在斜三棱柱ABC−A B C 中，由点O为△ABC边AB中点，得CO⊥AB，
1 1 1
在菱形A B BA中，由∠A AB=60°，
1 1 1
得△A A B为正三角形，A O⊥AB，
1 1
而A O∩CO=O，A O，CO⊂平面A OC，
1 1 1
则AB⊥平面A OC，又AB⊂平面ABC，
1
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7 1所以平面ABC⊥平面A OC．
1
(2)由(1)知∠A OC为侧面A B BA与底面ABC所成的角，则∠A OC=60°，
1 1 1 1
由A A =AB=AC=BC=2，得A O=CO=√3，则△A OC为正三角形，
1 1 1
在平面A OC内过点A 作A D⊥OC于D，由平面ABC⊥平面A OC，
1 1 1 1
平面ABC∩平面A OC=OC，则A D⊥平面ABC，过O作Oz//A D，
1 1 1
则直线OB，OC，Oz两两垂直，以O为原点，直线OB，OC，Oz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
√3 3
则O(0,0,0),A(−1,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),A (0, , )，
1 2 2
⃗ √3 3 ⃗ ⃗ ⃗
OA =(0, , ),OB=(1,0,0,),A C =AC=(1,√3,0)，
1 2 2 1 1
⃗
设平面A
1
OC
1
的法向量为m=(x,y,z) ，
⃗ ⃗
{
m
⃗
⊥A
⃗
C
{ m⋅A
1
C
1
=x+√3 y=0
1 1
则 ，则 ，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √3 3
m⊥OA
1
m⋅OA
1
=
2
y+
2
z=0
⃗
取z=1，得m=(3,−√3,1) ，
设平面A OB的法向量为⃗n=(a,b,c)，
1
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8 1⃗ ⃗
{⃗
n⊥O
⃗
B
{
n⋅OB=a=0
则 ⃗ ⃗ ，则 ⃗ ⃗ √3 3 ，
n⊥OA
1
n⋅OA
1
=
2
b+
2
c=0
⃗
取c=1，得n=(0,−√3,1) ，
⃗ ⃗
⃗ ⃗ |m⋅n| 4 2√13
所以平面A OB与平面A OC 夹角的余弦值为|cos〈m,n〉|= = = ．
1 1 1 ⃗ ⃗ √13×2 13
|m||n|
|MF| √(x−c) 2+ y2
19.解：(1)设M(x,y)，由题意 = =λ(常数)，
|MA| √(x−a) 2+ y2
2c−2aλ2 λ2a2−c2
整理得x2+ y2+ x+ =0，
λ2−1 λ2−1
{2c−2aλ2
=0
λ2−1 c 1
故 ，又 = ，解得a=2√2，c=√2．
λ2a2−c2 a 2
=−4
λ2−1
x2 y2
∴b2=a2−c2=6，椭圆C的方程为 + =1．
8 6
1
|SB|⋅|SF|⋅sin∠BSF
S 2 |SB|
(2)(ⅰ)由 △SBF = = ，
S 1 |SD|
△SDF |SD|⋅|SF|⋅sin∠DSF
2
S |BF| |BS| |BF|
又 △SBF = ，∴ = ，(或由角平分线定理得)
S |DF| |DS| |DF|
△SDF
|BF|
令 |DF| =λ，则 B ⃗ F=λF ⃗ D ，设D(x 0 ,y 0 )，则有3x2 0 +4 y2 0 =24，
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9 1{x =√2(λ+1)−λx
又直线l的斜率k>0，则x ∈(−2√2,√2)， B 0，
0 y =−λ y
B 0
代入3x2+4 y2−24=0，得3[√2(1+λ)−λx ] 2+4λ2y2−24=0，
0 0
即(λ+1)(5λ−3−√2λx )=0，
0
3 1
∵λ>0，∴λ= ∈( ,1)．
5−√2x 3
0
|SB| |TB| |BF|
(ⅱ)由(ⅰ)知， = = ，
|SD| |TD| |DF|
由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为C ，半径为r，与直线l的另一个交点为N，
1
1
|BF| |NB| |BF| 2r−|BF| r=
则有 = ，即 = ，解得 1 1 ．
|DF| |ND| |DF| 2r+|DF| −
|BF| |DF|
81 9 1 1 2√2
又S =πr2= π，故r= ，∴ − = ，
圆C 1 8 2√2 |BF| |DF| 9
√ 3 1
又|DF|=√(x −√2) 2+ y2= (x −√2) 2+6− x2=2√2− x ，
0 0 0 4 0 2 0
1 1 1 1 5−√2x 1 2−√2x 2√2
∴ − = − = 0 − = 0 =
|BF| |DF| λ|DF| |DF| 1 1 1 9 ，
3(2√2− x ) 2√2− x 3(2√2− x )
2 0 2 0 2 0
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10 1√2 √ 3 3√10
解得x =− ，y =− 6− x2=− ，
0 2 0 4 0 4
−y √5
∴k= 0 = ，
√2−x 2
0
√5 √10
∴直线l的方程为y= x− ．
2 2
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11 1
