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2024-2025 学年度（上）沈阳市五校协作体期末考试
高二年级数学试卷
时间：120分钟 分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分）第二部分：非选择题型
（12—19题92分）
第I卷（选择题共58分）
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2已知向量 ，若 ，则 （ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在 的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.直线 与直线 平行，则实数 值为（ ）
A.1 B.1或 C. D. 或2
5.用红，黄，蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂
颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A.12 B.24 C.30 D.36
6.已知圆 ，圆 ，其中 ，若两圆外切，则 的取
值范围为（ ）
A. B. C. D.7.在棱长为2的正方体 中，点 是侧面正方形 内的动点，点 是正方形
的中心，且 与平面 所成角的正弦值是 ，则动点 的轨迹图形的面积为
（ ）
A. B. C. D.
8.过双曲线 的右焦点 向其一条渐近线作垂线 ，垂足为 与另一条渐近线交
于 点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列说法命题正确的是（ ）
A.已知 ，则 在 上的投影向量为
B.若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C.已知三棱锥 ，点 为平面 上的一点，且
D.若向量 （ 是不共面的向量）则称 在基底 下的坐标为 ，若在基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为
10.过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ，交其准线于点 在线段 上，
若 ，且 为原点则下列说法正确的是（ ）
A.
B.以 为直径的圆与准线相切
C.直线 斜率为
D.
11.2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯
努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系 中，把到定点 距离之积等于
定值 的点的轨迹称为双纽线，已知点 是双纽线 上一点，下列关于双纽线的说法正
确的是（ ）
A.双纽线是中心对称图形
B. 的最大值为
C.
D. 到 距离之和的最小值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在多项式 的展开式中， 的系数为32，则 __________.
13.已知椭圆 和双曲线 焦点相同， 是它们的公共焦点， 是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲
线的离心率分别为 和 ，若 ，则 __________.
14.已知曲线 上任意一点 ，都有 的和为定值，则实数
的取值范围是__________.
四､解答题
15.（1）已知 （ 为正整数）.展开式的所有项的二项式系数和为64
①求该式的展开式中所有项的系数之和；
②求该式的展开式中无理项的个数；
③求该式的展开式中系数最大的项.
（2）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种
不同的站法？
①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
②4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
③2名老师之间必须有男女学生各1人.
16.如图，在直四棱柱 中，底面 为矩形，且 ，且 分别为
的中点.
（1）证明： 平面 .（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
（3）求点F到平面 的距离.
17.已知双曲线 的离心率为2，实轴的左，右顶点分别为 ，虚轴的上，
下顶点分别为 ，且四边形 的面积为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知直线 与 交于 两点，若 ，求实数 的取值范围.
18.如图， ，点 在平面 的同侧， ， ，
平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
19.已知 和 为椭圆 上两点.
（1）求椭圆 的离心率；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 不在 轴上）.
（i）若 的面积为 ，求直线 的方程；（ii）直线 和 分别与 轴交于 两点，求证：以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值.
高二年级数学答案
考试时间：120分钟考试分数：150分
一､单选题
1.B 2B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B
二､多选题
9.ACD 10.ABD 11.ACD
三､填空题
12. 13. 14.
四､解答题
15.【详解】（1）由 可得①令 可得
所以展开式中所有项的系数之和为729；
② 的通项为
所以当 时可得展开式中的无理项，所以共有3个无理项；
（3）由（2）及题意可知 解得 ，
，
所以展开式中系数最大的项为.
（2）①由题意可得共 种不同的站法.
②先排老师和女学生共有 种站法，再排男学生甲有 种站法，最后排剩余的3名男
学生有 种站法，所以共有 种不同的站法
③先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有 种站法，
两老师的站法有 种，再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有 种，所
以共有 种不同的站法.
16.【详解】（1）不妨设 ，则 ，如图建立空间直角坐标系，
则所以
设 是平面 的一个法向量，
则 ，取 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ，
又 ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面 .
（2）设 是平面 的一个法向量， ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（3）因为 ，平面 的一个法向量 ，所以F到平面 的距离为
17.【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形 是菱形，且 ，
四边形 的面积为 ，①
又离心率为 ，②
联立①②可得 ，双曲线 的标准方程为 .
（2）设 ，线段 中点 ，
联立 消去 整理可得
，
即 且 ①，
.
.
.
，
②，
又 ③，
由①②③得 或 ，
实数 的取值范围是 .
18.【详解】（1）因为 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，因为 ，
所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系 .
在四边形 中，因为 ，
，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
，
设 ，则 ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，故取 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
两边同时平方得
所以 ，解得 ，或 （舍去），
所以 ，所以 .
19.【详解】（1）由 可知 ，求出 ，
代入 ，得 ，
则 ，
可知椭圆 的离心率为 .
（2）（i）由（1）可知椭圆 的方程为 ，
设 ，过点 的直线 为 ，与 联立得：
恒成立.
所以
得 ，所以 ，直线的方程 为： .
（ii）由（i）可知，
直线 的方程为 ，令 ，得
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
记以 为直径的圆与 轴交于 两点，
由圆的弦长公式可知，
所以 ，为定值.
