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区县高中学校25届高三一诊模拟联考
数学答案
1. B
2. B.
.
3 D
4.A
5. D
6. A.
7. A
8.C
9. ：ACD.
10.AC
11.ABC.
12 .
13. .
14. .
15.
当 时， ； 1分
当 时， ， 3分
则 ， 4分
显然 时， ，满足上式， 5分
综上 ， ； 6分
（2）由上知: ， 8分
学科网（北京）股份有限公司故 ， 10分
易知 单调递增， 11分
时， ， 12分
又 ，即 ，证毕. 13分
16.
【小问1详解】
因为 为 的中点，所以 . 2分
因为 ，
所以 和 为全等的等边三角形.
所以 .又因为 为 的中点，所以 . 5分
又因为 ， 平面 ，所以 平面 . 6分
又因为 平面 ，所以平面 平面 . 7分
【小问2详解】
不妨设 ，由（1）知， 和 分别为等边三角形，所以 .
又因为 为 的中点，所以 .
在Rt 中， .
在 中， ，所以 .
所以 两两互相垂直. 9分
学科网（北京）股份有限公司以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.由题知，
所以， ， . 10分
设平面 的一个法向量为 .
则 ，即 ，令 ，则 ， 11分
所以， . 12分
设平面 的一个法向量为 .
则 ，即 ，令 ，则 ， 13分
所以， . 14分
设平面 与平面 所成角为 ，则 . 15分
17.
（1）由 得 ，而 为三角形内角， 3分
故sinB>0,得 ，而 为三角形内角， 或 6分
（2）由 得 ， 7分
又 ，∴ ，故 ，
学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ，故 ， 8分
∴ ，而 为三角形内角， ∴ . 10分
又 即 ， 12分
又 ，而 为三角形内角，故 ， 14分
. 15分
18.
（1）由已知小李第 天和第 天都没有观看虚拟主播 直播的概率为 ， 2分
所以小李第 天和第 天至少有一天观看虚拟主播 直播的概率为 . 4分
（2）①由已知 服从二项分布 ，所以 ， 6分
由 ， 7分
当 时， ，所以 ，即 ， 8分
当 时， ，所以 ，即 ， 9分
综上，当 时， 最大. 10分
②因为 ，所以 或 ， 11分
当 时， ， 12分
， 13分
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 14分
， 15分
. 17分
19.
（1）解：当 时， ， 1分
∴ ， 2分
∴ ； 3分
（2）当 时， ，∴ ， 4分
令 ，则 ，
当 时，ℎ ′(x)<0；当 时，ℎ ′(x)>0，
所以当 时，ℎ(x)取得最小值 ，
则 ，即 ， 6分
∴ ，∴f′(x)>0，
∴ 在 上单调递增， 7分
∴ ，得证； 8分
（3）当 时， ，
，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上递增， ， 上递减， 10分
由题意， ，得 ， 11分
，
由 得到 ，记 ， 13分
则 ， 14分
，所以 ， ，
∴ 在 上递减，在 上递增. 15分
∴ ，
设 ，则 ,故 在 上为增函数， 16分
当 时， ，
∴ . 17分
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