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2027 届高二上学期 9 月月考
数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题58分）
一、单选题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 设 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算法则化简，再根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以
；
故选：B
2. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积.
【详解】解：由题意
在圆锥中，设底面半径为
圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形
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学科网（北京）股份有限公司∴
解得：
由几何知识得
圆锥的高：
∴圆锥体积：
故选：C.
3. 如图， 是水平放置的 的斜二测直观图，其中 ， .则以下正
确的有（ ）
A. B. 是等腰直角三角形
C. D. 的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直观图画出原图，逐一分析，计算判断，即得正确答案.
【详解】画出原图如下图所示，
根据斜二测画法的知识可知： ，则 ,
即三角形 是等腰直角三角形，面积为 .故A, B, C项正确，D项错误.
故选：ABC.
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学科网（北京）股份有限公司4. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和差的正弦公式计算 ，再结合正弦定理即可.
【详解】由题意可知， ，
又 ，
则由正弦定理 可得， .
故选：D
5. 要得到函数 的图象，只需 的图象
A. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）
B. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变）
C. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）
D. 向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）
【答案】D
【解析】
【分析】先将函数 的解析式化为 ，再利用三角函数图象的变换规律得
出正确选项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
因此，将函数 的图象向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横
坐标不变），可得到函数 的图象，故选D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：
（1）左右平移指的是在自变量 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.
6. 如图，在三棱柱 中， ， ， 底面 ，则异面直线
与 所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，将异面直线 与 所成的角转化为 或其补角，即可求解．
【详解】在三棱柱 中， ，
异面直线 与 所成的角为 或其补角，
连接 ， 底面 ， 平面 ，
，又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司平面 ，
又 平面 ， ，
由 ，可得 ，
， ，
又 ， ，
在 △ 中， ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：A．
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直
线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异
面直线所成的角．
7. 已知 ， ，且 ， ，则 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. 0 C. -1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断 ， 的范围，求得 ， ，将
化为 ，利用两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】因为 ， ,
所以 ， ,
因 为 ，所以 ,
因为 ，所以 ,
所以
,
故选：B
8. 如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差
为
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆柱的底面半径为 、高分别为 ，得 ，即 ，得到圆柱的侧面积
，求得圆柱的侧面积最大值，进而可求解球的表面积与圆柱的侧面积之
差，得到答案．
【详解】由题意知，球的半径 ，所以球的表面积为 .
设圆柱的底面半径为 、高分别为 ，则 ，得 ，
即 ，
所以圆柱的侧面积
，
所以当 ，即 时，圆柱的侧面积最大，最大值为 .
此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .
【点睛】本题主要考查了球的表面积和圆柱的侧面积公式的应用，以及组合体的性质的应用，其中解答中
根据组合体的性质，得到圆柱的底面半径和高的关系，求得圆柱的侧面积的表示是解答的关键，着重考查
了空间想象能力，以及推理与运算能力．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平行四边形 中，点 ， 分别是边 和 的中点， 是 与 的交点，则有（
）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可
判断.
【详解】解：如图所示：
对A， ，
又 ，
即 ，故A正确；
对B， ，故B错误；
对C，设 为 与 的交点，
由题意可得： 是 的重心，
故 ，
，故C正确；
对D， ，故D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
的
10. 三角形 三边 所对的角为 ， ，则下列说
法正确的是（ ）
A. B. 若 面积为 ，则 周长的最小值
为12
C. 当 ， 时， D. 若 ， ，则 面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得 ，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定
理即可求角 的大小；选项B：由三角形面积和角 可得 ，利用均值不等式求周长最小值即可；
选项C：利用边角互化后得到的 解 即可；选项D：利用正弦定理求 ，然后后面积公式
求解即可.
【详解】因为 ，
由题意可得 ，
整理得 ，
由正弦定理边角互化得 ，
又由余弦定理 得 ，所以 ，A正确；
当 时， ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，B正确；
由当 ， 时， ，解得 ，C错误；
由 ， 得 ，由正弦定理得 解得 ，
又因为 ，
所以 ，D正确；
故选：ABD.
11. 如图直角梯形 中， ， ， ，E为 中点.以 为折
痕把 折起，使点A到达点P的位置，且 则（ ）
A. 平面 平面 B.
C. 二面角 的大小为 D. 与平面 所成角的正切值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
先证明 平面 ，得 ，再结合 ，即证 平面 ，所以平面
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学科网（北京）股份有限公司平面 ，判断A正确；利用投影判断 ，判断B正确；先判断 即为二面角
的平面角，再等腰直角三角形判断 ，即C正确；先判断 为 与平面 所成的角，
再求正切 ，即知D错误.
【详解】由题易知 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
在平面 内的射影为 ，
又 为正方形，所以 ， ，故B正确；
易知 即为二面角 的平面角，
又 ， ，所以 ，故C正确；
易知 为 与平面 所成的角，
又 ， ， ，
所以 ，故D错误.
【点睛】求空间中直线与平面所成角 的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦
值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用
了定义法.
第II卷（非选择题92分）
三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 ， ，且 ，则 与 的夹角为___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求出 ，再根据 计算可得；
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，设 与 的夹角为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ；
故答案为：
13. 如图，货轮在海上以40海里 时的速度由 向 航行，航行的方向角 ， 处有灯塔，
其方位角 ，在 处观察灯塔 的方位角 ，由 到 需航行0.5小时，则 到
灯塔 的距离是___________海里.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求解出 ， 的大小，然后根据正弦定理求解出 ，则 到灯塔
的距离可求.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 海里，且 ，
所以 海里，
故答案为： .
14. 如图，已知边长为4的菱形 中， .将菱形 沿对角线 折
起得到三棱锥 ，二面角 的大小为60°，则直线 与平面 所成角的正弦值为
______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由 ，可算得点C到平面 的距离为d，又由直线BC与平面 所成角的正
弦值为 ，即可得到本题答案.
【详解】∵四边形 是菱形， ，
，
为二面角 的平面角，
，
是等边三角形.
取 的中点 ，连接 ，则 .
，
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学科网（北京）股份有限公司平面 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
，
，
的边 上的高 ，
，
设点 到平面 的距离为 ，则 .
， ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题主要考查立体几何与折叠图形的综合问题，其中涉及到直线与平面所成角的求解.
四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 与 的夹角 ，且 ， ．
（1）求 ， ；
（2）求 在 方向上的投影向量的模．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】(1)根据数量积的运算公式即可求解，向量的模，结合数量积公式，可解得；(2)利用向量投影公
式计算模.
【小问1详解】
由已知，得 ．
；
【小问2详解】
，
在 方向上的投影向量的模为 ．
16. 在 中， 的对边分别为 .
的
（1）若 ，求 值；
（2）若 的平分线 交 于点 ，求 长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得出 ，再由余弦定理求得结果；
（2）设 ，把 表示成两个三角形的面积和，表示出 ，再求其取值范围；
【小问1详解】
已知 ，
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，
，
，
，
， 即 ，
.
【小问2详解】
由（1）知 ，由 ，则 .
设 ， ，
， ，
.
17. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ， 平面 ，
， 为 的中点， 为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求证 以及 ，再利用线面垂直的判定定理即可；
（2）取线段 的中点 ，求证四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；
（3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因四边形 为菱形且 ，则 为正三角形，
又 为 的中点，则 ，
又 ， 平面 ，则 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设 为线段 的中点，连接 、 ，
因 为 的中点，则 ，且 ，
又 且 ， 为 的中点，则 且 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
【小问3详解】
∵ ， 为正三角形，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
故三棱锥 的体积为 .
18. 已知函数 （其中 ， ， ， ）的部分图象如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司是图象的最高点， 为图象与 轴的交点， 为坐标原点.若 ， ， .
（1）求 的大小；
（2）求函数 的解析式；
（3）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】（1）在 中，由余弦定理求出 ，即可求出 的大小；
（2）根据图象可计算出最高点，即求出A，找出周期，根据 ，求出 ，再将 代入即可求出 ，
即求出解析式.
（3）根据关系可求出 ，然后计算出 ，利用
展开求解.
【详解】（1）在 中， ,
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学科网（北京）股份有限公司;
（2）由（1）知 ，即 ，
，周期 ，
即 ， ，
将 代入 ，得 ，
， ，
；
（3） ，
，
， ，
，
.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了根据余弦定理求角，根据三角函数图象求解析式，以及相关角的三角函数的求法.
19. 欲在某湿地公园内搭建一个形状为平面凸四边形 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，
其中 （单位：百米）， （单位：百米）， 为正三角形.建成后 将作为人们
旅游观光、休闲娱乐的区域， 将作为科普宣教文化的区域.
（1）当 时，求旅游观光、休闲娱乐的区域 的面积；
（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 在中由余弦定理得 ，再由勾股定理（或由正弦定理）可得 可得答
案；
（2）不妨设 ， ，在 中 ，在 中，由
余弦定理得 ，在 中，由正弦定理得 ，所以
，再根据 的范围可得答案，
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司在 中，∵ ，
由余弦定理得 ，
∴ ，（或由正弦定理得： ）
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，∴ ， ，∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
不妨设 ， ， ，
∴在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
，∴ ，
在 中，由正弦定理得 ，
∴ .
当且仅当 时，等号成立，
∴ 面积最大为 .
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学科网（北京）股份有限公司
