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2024 级高二学年上学期 9 月考试
数学试题
时长：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若点 在圆 （ 为常数）外，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知焦点在 轴上 的椭圆 的焦距为 ，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线 ，从点 射出的光线经直线 反射后经过点 ，则光线从 到
的路程为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6. 已知椭圆E: ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点
坐标为(1，－1)，则E的方程为
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
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学科网（北京）股份有限公司C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
7. 已知点 ，若 P，Q 是直线 ： （ ）上的两点，且对任意 ，
恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 满足， ，则 的
最大值为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题为真命题的是（ ）
A. 过点 且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B. 直线 的一个方向向量为
C. 当 时，两直线 ， 相互垂直
D. 直线 恒过定点
10. 已知椭圆 的左，右焦点为 ， ， ， 分别为它的左右顶点，点 为椭圆上的动点（
不在 轴上），下列选项正确的是（）
A. 的周长为 B. 存在点 使得
C. 直线 与直线 的斜率乘积为 D. 的最小值为1
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学科网（北京）股份有限公司11. 在平面直角坐标系xOy中，圆 ，若曲线 上存在四个点 ，
过动点 作圆O的两条切线，A，B为切点，满足 ，则k的值可能为（ ）
.
A -7 B. -5 C. -2 D. –1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点 ， ，经过点 作直线l，若直线l与线段 总有公共点，设直线l的斜
率为k，则k的取值范围是____________．
13. 曲线 围成的图形的面积是___________.
14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 ，开口直径为 ．旅客使用纸杯喝
水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ，点 和点 分别是直线 上一动点.
（1）若直线 经过原点 ，且 ，求直线 的方程；
（2）设线段 的中点为 ，求点 到原点 的最短距离.
16. 已知圆心为 的圆经过点 ， 和 ．
（1）求圆M的方程；
（2）若过点 的直线 被圆M截得的弦长为 ，求直线m的方程．
17. 已知椭圆C： （ ） 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于
点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形 的面积.
18. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“棋盘距
离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线 .
（1）已知圆C： ，圆 ： 的圆心分别为C， ，且
，判断圆C与圆 的位置关系；
（2）若直线 与（1）问结论中的圆 自上而下交于 ， 两点，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点；
若（1）问结论中的圆 与 轴自上而下交于 两点.
①设 ， ，求 的值；
②求证：直线 ､ 交点 在定直线上.
19. 已知动圆 与圆 ： 和圆 ： 都内切，记动圆圆心 的轨迹为
.
（1）求 的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线
上一点 处的切线方程为： .试运用
该性质解决以下问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ， ，切
点分别为 ， .
（ⅰ）证明： ；
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学科网（北京）股份有限公司（ⅱ）点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，直线 交曲线 于 ， 两点.记
， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
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