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公众号：高中试卷君
辽宁省教研教改联合体 2025 届高三第一次调研考试
数学试题
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 的实部为 的虚部为 ，则 在复平面内对应的点位于（
）
.
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知一组样本数据 ， ，…， ( )，现有一组新的数据 ， ，…，
， ，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，
则实数m的值是4
C. 50名学生在一模考试中的数学成绩 ，已知 ，则 的人
数为20人
D. 已知随机变量 ，若 ，则
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5. 已知双曲线 为坐标原点，若直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，
则 内切圆的半径等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 的极值点为 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 1
7. 在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使点 到达 的位置，且二
面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
.
A B. C. D.
8. 设 、 、 满足 ， ， ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的对称中心为 ，
C. 在 上的单减区间为
D. 在 上的极值点个数为1
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的
10. 已知抛物线 焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
与 的等差中项为 ．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴
交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为16
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则 的值域为
B. 若 ，则过原点有且仅有一条直线与曲线 相切
C. 存在 ，使得 有三个零点
D. 若 ，则 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在数列 中，已知 ， ，则数列 的前2024项和 __________．
13. 已知 ，若 ，使 成立，则
__________．
14. 设严格递增的整数数列 ， ，…， 满足 ， .设 为 ， ，…，
这19个数中被3整除的项的个数，则 的最大值为________，使得 取到最大值的数列 的
个数为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 已知 分别为 三个内角 的对边，且
（1）求 ；
的
（2）若 面积为 ， 为 边上一点，满足 ，求 的长．
16. 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值.
（2）若 在 只有一个零点，求 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，且
， .
（1）若 为 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，线段 上的点 满足 ，且平面 与平面
夹角的余弦值为 ，求实数 的值.
18. 测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为
0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守
门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球
时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1
和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的
概率为0.8.
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（1）求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；
（2）若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方
向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员
乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获
得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球
员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.
（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；
（ii）设 为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若 满足对于 ， ，直接写出
符合题意的 .（注：最终结果均保留两位小数.）
19. 设A，B为椭圆C： 的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线 上．
（1）求直线 ， 的斜率的乘积；
（2）证明： ；
（3）过右焦点F作x轴的垂线 ，E为 上异于F的任意一点，直线 交C于M，N两点，记直线 ，
， 的斜率分别为 ， ， ，是否存在 ， ， 的某个排列，使得这三个数成等差数列？
若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．
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